摘 要：角的概念及其表達(dá)方式是構(gòu)建學(xué)生空間認(rèn)知與邏輯分析能力的基礎(chǔ)，針對(duì)初中生直觀感知強(qiáng)于數(shù)學(xué)邏輯的特點(diǎn)，教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)實(shí)現(xiàn)從直觀感知向數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)化，以角為核心，深入探討其表達(dá)方式.具體來(lái)說(shuō)，首先，通過分類初步建立角的概念；其次，鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐，直觀感知角的特征；最后，深入分析并掌握角的數(shù)學(xué)表達(dá)方式.

關(guān)鍵詞：角的概念；角的表達(dá)方式；教學(xué)設(shè)計(jì)

在幾何教學(xué)體系中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與圖形辨識(shí)能力對(duì)于后續(xù)知識(shí)體系的建構(gòu)具有至關(guān)重要的基礎(chǔ)性作用.鑒于角的區(qū)分與精準(zhǔn)描述不僅是幾何學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是深化空間理解與邏輯分析能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，因此，幫助學(xué)生有效掌握角的識(shí)別與表達(dá)策略顯得尤為重要.對(duì)于初中生群體來(lái)說(shuō)，由于其在圖形認(rèn)知上往往傾向于依賴直觀經(jīng)驗(yàn)而非嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)邏輯，教學(xué)過程需特別注重引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)從直觀感知向數(shù)學(xué)思維的轉(zhuǎn)變.因此，本教學(xué)設(shè)計(jì)以角的概念為核心，圍繞角的表達(dá)方式展開深入探討，以期從根本上提升學(xué)生的幾何認(rèn)知與理解能力，為他們后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

1 角的認(rèn)識(shí)

角，作為構(gòu)成幾何形狀的核心元素之一，其概念貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教育體系，深刻影響著學(xué)生對(duì)空間形態(tài)的理解與構(gòu)建.［1］在人教版數(shù)學(xué)教材中，為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)角概念的深入理解，其設(shè)計(jì)遵循了循序漸進(jìn)、逐層深入的原則，劃分為兩個(gè)關(guān)鍵階段.第一階段，針對(duì)二年級(jí)學(xué)生，在上冊(cè)教材中設(shè)置了“角的初步認(rèn)識(shí)”章節(jié).通過生活實(shí)例引導(dǎo)學(xué)生直觀感受角的存在，培養(yǎng)他們識(shí)別日常生活中角形物體的能力.同時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用簡(jiǎn)潔明了的語(yǔ)言，如“頂點(diǎn)”與“兩邊”的表述，來(lái)描述角的基本構(gòu)成要素，從而初步構(gòu)建起對(duì)角的認(rèn)知框架，并激發(fā)學(xué)生對(duì)角的學(xué)習(xí)興趣.第二階段，隨著學(xué)生認(rèn)知水平的提升及數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的夯實(shí)，七年級(jí)下冊(cè)教材推出了“角的知識(shí)與技能”章節(jié)，以進(jìn)一步深化角的學(xué)習(xí)內(nèi)容.此階段不僅要求學(xué)生掌握角的準(zhǔn)確繪制技巧及度量方法，還系統(tǒng)地引入了角的分類體系（銳角、直角、鈍角等），探討角的內(nèi)在性質(zhì)（角的和、差、平分等性質(zhì)），并深入剖析角與三角形、多邊形等幾何形態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系.通過這一系列系統(tǒng)且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)過程，學(xué)生不僅能夠全面且深刻地理解角的概念，還能靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜的幾何問題，為后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)而穩(wěn)固的基礎(chǔ).

2 基于角的概念分析角的表達(dá)方式的教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1 探究角的概念

師：回顧小學(xué)階段，同學(xué)們已經(jīng)對(duì)角有了初步的感知.現(xiàn)在，請(qǐng)大家拿出練習(xí)本，動(dòng)手嘗試畫一個(gè)角，并細(xì)致觀察你所繪制的圖形.在這個(gè)過程中，請(qǐng)思考并嘗試用自己的話給“角”下一個(gè)定義.

師生活動(dòng)：學(xué)生動(dòng)手繪制，隨后積極分享自己的理解.有的學(xué)生說(shuō)：“角是由兩條線組成的，它們有一個(gè)共同的點(diǎn).”教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)行引導(dǎo)，補(bǔ)充并規(guī)范定義，即由兩條具有公共端點(diǎn)的射線構(gòu)成的圖案被稱為角.這個(gè)公共端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn)，這兩條射線則被稱為角的邊.角不僅是三角形中最基本的元素，而且在幾何證明和解題中起著關(guān)鍵的作用，它被廣泛應(yīng)用于線段相等的證明、兩直線平行的判定等多個(gè)方面.教師特別強(qiáng)調(diào)“公共端點(diǎn)”的重要性，并引導(dǎo)學(xué)生觀察兩條射線之間的相對(duì)位置關(guān)系，進(jìn)一步鞏固角的概念.同時(shí)，教師還通過平面三角形的實(shí)例，展示角在復(fù)雜圖形中的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生的探索欲和求知欲.

【設(shè)計(jì)意圖】通過師生共同繪制角度的實(shí)踐活動(dòng)，讓學(xué)生直觀感受角的形態(tài)，初步認(rèn)識(shí)到角在幾何學(xué)中的基礎(chǔ)性和重要性，進(jìn)而引發(fā)對(duì)角定義的思考與討論.［2］同時(shí)，通過強(qiáng)調(diào)“公共端點(diǎn)”和射線之間的相對(duì)位置，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和分析能力.此外，利用與圖形結(jié)合的實(shí)例幫助學(xué)生將抽象的幾何知識(shí)具象化，逐步改變其直觀判斷幾何圖形的固有習(xí)慣，提升學(xué)生的幾何直觀能力.

2.2 角的表示及運(yùn)用

師：如何描述角？角在幾何學(xué)中有哪些表示方法？

當(dāng)在一個(gè)角的內(nèi)部，如∠ABC內(nèi)部（如圖1）引入一條新射線時(shí)，如何系統(tǒng)地繪制并標(biāo)注所有新形成的角？

師生活動(dòng)：學(xué)生根據(jù)學(xué)習(xí)單上的任務(wù)指引，自主閱讀課本中的相關(guān)內(nèi)容，理解角的基本表示方法.隨后，教師邀請(qǐng)幾位學(xué)生上臺(tái)，在黑板上標(biāo)注出圖中所有角的表示方法.此環(huán)節(jié)鼓勵(lì)學(xué)生相互觀摩，促進(jìn)學(xué)習(xí)交流.教師歸納總結(jié)角的表示方法，主要包括以下三種.

（1）用“∠”加上三個(gè)大寫字母表示，其中代表頂點(diǎn)的字母位于中間位置，如∠ABC.這種方法清晰地指出了角的頂點(diǎn)和兩邊所在的直線.

（2）使用“∠”加上一個(gè)位于頂點(diǎn)的大寫字母表示，強(qiáng)調(diào)該方法僅適用于頂點(diǎn)處僅有一個(gè)角的情況，如∠A.通過討論“∠BAC能否簡(jiǎn)化為∠A”的問題，加深學(xué)生對(duì)這一點(diǎn)的理解.

（3）采用“∠”加上一條弧線連接角的兩邊，并在弧線上標(biāo)注一個(gè)數(shù)字或小寫希臘字母表示，這種方法尤其適用于圖中存在多個(gè)角且需要區(qū)分的情況，如∠1、∠α等，它強(qiáng)調(diào)了角的唯一性和可識(shí)別性.

【設(shè)計(jì)意圖】本環(huán)節(jié)采用實(shí)踐操作與理論講解相結(jié)合的方式來(lái)加深學(xué)生對(duì)角表示方法的理解與掌握.通過引導(dǎo)學(xué)生自主閱讀、思考、交流、實(shí)踐、整理和總結(jié)，旨在培養(yǎng)其良好的閱讀學(xué)習(xí)習(xí)慣和思維能力.設(shè)置在復(fù)雜圖形中找角并準(zhǔn)確表示角的相關(guān)題目，評(píng)估學(xué)生對(duì)角概念的理解程度，鍛煉他們的圖象識(shí)別能力和分類思考的能力，避免部分學(xué)生在尋找角時(shí)出現(xiàn)缺乏組織結(jié)構(gòu)的情況，鼓勵(lì)學(xué)生回到角的本質(zhì)特征上，進(jìn)行有條理、有方向的思考，為后續(xù)的幾何學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2.3 角的分類與度量

師：若將“圓規(guī)”的兩側(cè)視為射線，那么如何準(zhǔn)確判斷其形成的角是銳角、直角、鈍角、平角還是周角？這些角在幾何學(xué)中又有哪些具體應(yīng)用？

師生活動(dòng)：學(xué)生首先分享了自己對(duì)角的初步認(rèn)識(shí)，教師隨即引導(dǎo)學(xué)生用“圓規(guī)”模擬射線的旋轉(zhuǎn)，通過實(shí)際操作感受角的形成過程，嘗試從動(dòng)態(tài)視角重新定義角.得到一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形叫作角.隨后，教師利用幾何畫板動(dòng)態(tài)展示不同角度的旋轉(zhuǎn)過程，幫助學(xué)生直觀理解銳角、直角、鈍角、平角及周角的區(qū)別與聯(lián)系.

【設(shè)計(jì)意圖】通過“圓規(guī)”模擬和幾何畫板的直觀展示，激發(fā)學(xué)生對(duì)角概念的深入思考，幫助學(xué)生擺脫靜態(tài)、片面的理解，建立起對(duì)角度形成過程的動(dòng)態(tài)認(rèn)知.

師：回顧學(xué)習(xí)單上繪制的角，你能確定它的尺寸嗎？有哪些方法可以驗(yàn)證測(cè)量結(jié)果？請(qǐng)同學(xué)們利用手頭的工具（量角器）進(jìn)行操作，并回顧量角器的使用方法.對(duì)于特定角度（30°、45°、60°、90°），是否還有其他快速測(cè)量的方法？

師生活動(dòng)：在學(xué)生嘗試使用量角器測(cè)量角的尺寸時(shí)，教師適時(shí)提醒量角器的正確使用方法，并通過PPT動(dòng)畫展示量角器的操作步驟，幫助學(xué)生鞏固記憶.對(duì)于特定角度，教師引導(dǎo)學(xué)生回憶三角尺上的標(biāo)準(zhǔn)角度，并鼓勵(lì)他們使用三角尺進(jìn)行快速驗(yàn)證.同時(shí)，教師強(qiáng)調(diào)在測(cè)量過程中保持工具的準(zhǔn)確性以及讀數(shù)的精確性.

【設(shè)計(jì)意圖】通過實(shí)際操作與PPT動(dòng)畫的輔助，加深學(xué)生對(duì)角尺寸測(cè)量方法的掌握.引入三角尺快速測(cè)量特定角度的方法，不僅拓寬了學(xué)生的解題思路，也培養(yǎng)了他們的靈活應(yīng)變能力.

3 結(jié)語(yǔ)

在初中幾何教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與圖形判斷能力對(duì)后續(xù)學(xué)習(xí)至關(guān)重要.本文聚焦于幫助學(xué)生掌握區(qū)分與描述角的方法，針對(duì)初中生特點(diǎn)，提出通過分類建立角的概念，動(dòng)手實(shí)踐感知角的特征，以及深入分析角的數(shù)學(xué)表達(dá)方式的教學(xué)策略，旨在引導(dǎo)學(xué)生從直觀感知轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)思維，提升幾何認(rèn)知與理解能力，促進(jìn)其用數(shù)學(xué)語(yǔ)言精準(zhǔn)表達(dá)與認(rèn)識(shí)世界的能力.

參考文獻(xiàn)

［1］鞏子坤，許佳敏，張芳銘，等.凸顯角本質(zhì)的學(xué)習(xí)路徑研究：初識(shí)角的概念［J］.中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2024（3）：6-9+36.

［2］李建國(guó)，趙亞洲.突出概念獲得過程錘煉學(xué)生數(shù)學(xué)眼光——以“同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角”教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)通訊，2023（21）：14-17.