摘要：圓周角定理是每年中考必考的一個(gè)基本知識(shí)點(diǎn)，在解決平面幾何的求值、判斷、證明、綜合等相關(guān)問題中都有著廣泛的應(yīng)用.本文中結(jié)合實(shí)例，就圓周角定理的應(yīng)用加以實(shí)例剖析，有效指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí).

關(guān)鍵詞：圓周角定理；應(yīng)用；線段；判斷；證明

運(yùn)用圓周角定理，可以將圓周角相等的問題轉(zhuǎn)化為弧相等、弦相等或者線段相等等問題，在圓中涉及角或線段的求值、圖形判斷與計(jì)算、綜合證明等問題，經(jīng)常要用到圓周角定理及其推論.下面就圓周角定理的一些常見應(yīng)用加以實(shí)例剖析.

1 角或線段的求值問題

結(jié)合圓周角定理，并綜合相似三角形等其他相關(guān)知識(shí)，可以用來(lái)破解涉及長(zhǎng)度、比值以及面積等角或線段的求值問題，破解的關(guān)鍵是在綜合運(yùn)用圓周角定理、平行截割中的相關(guān)性質(zhì)與定理、相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形射影定理等，有效考查與培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理能力與代數(shù)運(yùn)算能力等.

例1 如圖1所示，AB為⊙O的直徑，弦AC，BD交于點(diǎn)P，若AB=3，CD=1，則sin∠APD=.

分析：結(jié)合圓周角中的相關(guān)定理確定兩三角形相似，利用相似比并結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式來(lái)求值.

解析：連接AD，結(jié)合題目條件并利用圓周角定理及推論，得△CDP∽△BAP.

于是cos∠APD=PDPA=CDBA=13.

所以sin∠APD=1-132=223.

故填答案：223.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角的相關(guān)定理與推論，以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想.在解題過程中注意探索，溝通已知與未知、條件與結(jié)論的聯(lián)系，不斷轉(zhuǎn)化，以獲得解題思路.

例2 如圖2所示，已知圓內(nèi)接△ABC，∠C的平分線CD延長(zhǎng)后交圓于點(diǎn)E，連接BE，BD=3，CE=7，BC=5，則線段BE=.

分析：根據(jù)同弧、等弧所對(duì)的圓周角的特點(diǎn)可轉(zhuǎn)化為角與角的相等關(guān)系，利用相似三角形過渡，建立相應(yīng)的關(guān)系式即可求解線段長(zhǎng)度.

解析：由圓周角定理中同弧所對(duì)的圓周角相等，知∠EBA=∠ECA.又因?yàn)椤螮CA=∠ECB，所以∠EBA=∠ECB.又因?yàn)椤螧ED=∠CEB，所以△BDE∽△CBE，則有BECE=BDBC.

所以BE7=35，解得BE=215.

故填答案：215.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理及兩個(gè)三角形相似的判定與應(yīng)用等.這里解題的關(guān)鍵是圓周角與相似三角形知識(shí)間的聯(lián)系，圓中知識(shí)的綜合應(yīng)用是對(duì)知識(shí)和能力的綜合考查，也是根本所在.

2 圖形判斷或綜合證明問題

結(jié)合圓周角定理，綜合相似三角形來(lái)解決圖形判斷或綜合證明問題等，相應(yīng)方法很多，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)條件，結(jié)合圖形選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?判斷相似的推理思路主要有：（1）先找兩組內(nèi)角相等；（2）若只有一組角對(duì)應(yīng)相等，再判斷這個(gè)角的兩鄰邊是否對(duì)應(yīng)成比例；（3）若無(wú)角對(duì)應(yīng)相等，則要證明三邊對(duì)應(yīng)成比例.在圖形判斷與綜合證明問題中往往以圓為背景來(lái)設(shè)置.

例3 如圖3所示，點(diǎn)A，P，B在⊙O上，∠APB=90°，PC平分∠APB，交⊙O于點(diǎn)C，則△ABC的形狀為（" ）.

A.等腰非直角三角形

B.等腰直角三角形

C.等邊三角形

D.無(wú)法確定

分析：結(jié)合圓周角的相關(guān)定理與推論加以分析，通過直徑與直角的關(guān)系及等弧對(duì)等弦進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而判定三角形的形狀.

解析：因?yàn)閳A周角∠APB=90°，所以AB為⊙O的直徑，從而∠ACB=90°.

又由于PC平分∠APB，則C為AB的中點(diǎn)，則有AC=CB，從而AC=BC.

所以△ABC為以∠ACB為直角的等腰直角三角形.

故選擇答案：B.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理及三角形的性質(zhì)等.涉及圓中相關(guān)的弦、弧，以及直角等問題，往往考慮應(yīng)用圓周角定理及其相關(guān)的推論求解.

例4 如圖4，PC切⊙O于點(diǎn)C，過圓心的割線PAB交⊙O于A，B兩點(diǎn)，BE⊥PE，垂足為E，BE交⊙O于點(diǎn)D，F(xiàn)是PC上一點(diǎn)，且PF=AF，F(xiàn)A的延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)G.

求證：（1）∠FGD=2∠PBC；（2）PCAG=POAB.

分析：（1）結(jié)合輔助線的構(gòu)造及切線的性質(zhì)確定OC⊥PC，進(jìn)而根據(jù)條件得到兩直線平行，確定對(duì)應(yīng)角相等，再利用圓周角定理轉(zhuǎn)化角之間的關(guān)系，結(jié)合三角形外角的性質(zhì)，利用等量代換來(lái)證明；（2）結(jié)合輔助線的構(gòu)造，利用圓的性質(zhì)得到直徑所對(duì)的圓周角為直角，并通過線段相等來(lái)轉(zhuǎn)化對(duì)應(yīng)的角的關(guān)系，進(jìn)而判斷對(duì)應(yīng)三角形相似，再結(jié)合三角形相似的性質(zhì)來(lái)證明線段的比例關(guān)系.

證明：（1）連接OC，由于PC切⊙O于點(diǎn)C，則有OC⊥PC.

又BE⊥PE，可得OC∥BE，則有∠POC=∠PBE.

由圓周角定理中同弧所對(duì)的圓周角相等，可得∠PBE=∠FGD，則∠POC=∠FGD.

而∠POC=∠PBC+∠OCB=2∠PBC，所以∠FGD=2∠PBC.

（2）連接BG，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以可知∠AGB=90°.

又OC⊥PC，則可得∠PCO=90°，于是∠AGB=∠PCO.

又FP=FA，可得∠FPA=∠PAF=∠BAG，所以△PCO∽△AGB，于是PCAG=POAB.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理、圓的基本性質(zhì)、三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等相關(guān)知識(shí).借助圖形的直觀，合理并巧妙地轉(zhuǎn)化，是證明問題的關(guān)鍵所在，也是在不斷化歸與轉(zhuǎn)化過程中尋找證明的突破口.

3 綜合應(yīng)用問題

結(jié)合圓周角定理，以及平面幾何的相關(guān)知識(shí)，可以破解一些平面幾何中的創(chuàng)新應(yīng)用、推理歸納、猜想總結(jié)類的綜合應(yīng)用問題等.

例5 如圖5-1，5-2，5-3，……5-n，M，N分別是⊙O的內(nèi)接正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE……正（n+2）邊形ABCDE…的邊AB，BC上的點(diǎn)，且BM=CN，連結(jié)OM，ON.

……

（1）求圖5-1中∠MON的度數(shù)；

（2）圖5-2中∠MON的度數(shù)是，圖5-3中∠MON的度數(shù)是；

（3）試探究∠MON的度數(shù)與正n邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫出答案）.

分析：（1）通過輔助線的構(gòu)造，結(jié)合圓周角定理及相關(guān)知識(shí)，借助全等三角形的判定與性質(zhì)加以求解；（2）仿照第（1）小題的解法，合理歸納即可求出對(duì)應(yīng)的角度；（3）進(jìn)一步歸納總結(jié)，確定規(guī)律性的結(jié)論.

解析：（1）連接OB，OC，由于正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，則知∠OBM=∠OCN=30°，∠BOC=120°，又因?yàn)锽M=CN，OB=OC，所以△OBM≌△OCN，則有∠BOM=∠NOC.

所以∠MON=∠BOC=120°.

（2）仿照第（1）小題的解法，可知圖5-2中∠MON的度數(shù)是90°，圖5-3中∠MON的度數(shù)是72°.

（3）由（1）（2）不難發(fā)現(xiàn)，∠MON=360°n.

點(diǎn)評(píng)：合理借助圓周角定理等圓的相關(guān)知識(shí)及全等三角形的判定與性質(zhì)等，合理歸納，巧妙推理，得以破解此類創(chuàng)新性的綜合應(yīng)用問題.

圓周角定理有效溝通了圓周角相等、弧相等、弦相等、線段相等等相關(guān)要素之間的關(guān)系，實(shí)現(xiàn)角與線段之間的合理變形與轉(zhuǎn)化.利用圓周角定理及其對(duì)應(yīng)的推論，解決角或線段的求值、圖形判斷、綜合證明等相關(guān)的數(shù)學(xué)問題，很好地考查直觀想象、邏輯推理、代數(shù)運(yùn)算等數(shù)學(xué)素養(yǎng).