摘" "要：“新定義”題是在高考數(shù)學(xué)中新出現(xiàn)的一種問題類型，此類問題可以更好地考查學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、綜合運用知識分析問題、解決問題的能力和創(chuàng)新思維。通過例題分析總結(jié)新定義題型的特征，展現(xiàn)其結(jié)構(gòu)和功能，并結(jié)合實例探討新定義題型的解題策略，明晰新定義題型的本質(zhì)，提高解題能力。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);新高考;新題型;新定義

中圖分類號：G633.6" " 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A" " 文章編號：1009-010X（2024）29-0009-05

2019年教育部提出了由“一核”“四層”“四翼”構(gòu)成的高考評價體系，強(qiáng)調(diào)對學(xué)生綜合素質(zhì)的發(fā)展要求，由此推動了高考評價改革在考試內(nèi)容、要求上的進(jìn)一步深化和探索，以“能力立意”為特點的“新定義”問題應(yīng)運而生。它突出對學(xué)生創(chuàng)新能力、遷移能力、自主學(xué)習(xí)能力等各方面能力的全面考查，因此分析、研究新定義題型的特點及其解題策略很有必要。

一、新定義題型的概念

在不同的文獻(xiàn)中對“新定義”題型的名稱和定義有著不同的說法，比如：新定義題、新信息題、信息遷移題、新定義型問題、定義型創(chuàng)新題以及定義型信息題。雖然各位學(xué)者對其表述不一，但是對其本質(zhì)有著一致的看法，也就是創(chuàng)設(shè)一個復(fù)雜且真實的情境（可以是現(xiàn)實情境，也可以是科學(xué)研究情境、數(shù)學(xué)情境等），將情境信息與學(xué)生之前所學(xué)相關(guān)知識進(jìn)行交叉融合，通過再抽象，形成一個新定義，最后提出系列問題，要求學(xué)生運用新定義分析問題、解決問題。

例1 “數(shù)”在量子代數(shù)研究中發(fā)揮了重要作用.設(shè)q是非零實數(shù)，對任意n∈N*，定義“q-數(shù)”（n）q=1+q+…qn-1.利用“q-數(shù)”可定義“q-階乘”（n）！q=（1）q（2）q…（n）q.和“q-組合數(shù)”，即對任意k∈N，n∈N*，k≤n，（）q=

（1）計算：（）2;

（2）證明：對于任意k，n∈N*，k+1≤n，（）q=（）q+qk （）q;

（3）證明：對于任意k，m∈N，n∈N*，k+1≤n，（）q-（）q=∑ qn-k+i（）q.

本題以量子代數(shù)這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)熱點研究為背景，在已有“數(shù)”的概念基礎(chǔ)上引發(fā)學(xué)生新的數(shù)學(xué)思考：在對“q-數(shù)”這一概念進(jìn)行定義后，借助“q-數(shù)”繼續(xù)給予“q-階乘”以及“q-組合數(shù)”相應(yīng)的表達(dá)形式;在對每一個概念的涵義進(jìn)行充分說明之后向?qū)W生提出具有內(nèi)在邏輯性的三個問題，考查學(xué)生在不同水平的解題能力。

第一問通過一道計算題考查學(xué)生對“q-數(shù)”的理解程度以及計算能力;第二問更多體現(xiàn)對學(xué)生邏輯推理能力的考查，需要在對（）q的涵義進(jìn)行深刻解析之后，根據(jù)（）q的定義找到其變式（）q以及（）q的表達(dá)方式，最后驗證等式兩邊的結(jié)果是否一致;最后一問不僅對學(xué)生的運算能力、邏輯推理能力以及閱讀能力提出要求，還體現(xiàn)出對其遷移能力的考查：解題的關(guān)鍵思想即借助第二問獲得的結(jié)論，將等式的兩邊進(jìn)行相加再經(jīng)化簡得到所求結(jié)果。

通過上述例題我們可以看出，雖然三個新定義以三個新的名稱呈現(xiàn)，但它們實際上離不開已學(xué)知識的本源。比如“q-數(shù)”是建立在等比數(shù)列前n項和這一知識的基礎(chǔ)之上的，“q-階乘”則更是突出對階乘思想的靈活運用。因此新定義題型并不是空中樓閣，它是以所學(xué)知識為地基，通過逐級抽象而獲得。

二、“新定義”題型的結(jié)構(gòu)與功能

（一）新定義題型的結(jié)構(gòu)

每一種題型都有其獨特的組成結(jié)構(gòu)，因此要想解決新定義題型首先要清楚它的具體組成結(jié)構(gòu)，做到“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。一般來說，新定義題型通常以一種新穎的情境出現(xiàn)，通過對其中的相關(guān)概念或結(jié)構(gòu)進(jìn)行全新的定義，向?qū)W生提出具有聯(lián)系性的系列問題，考查學(xué)生通過推理運算、類比遷移等方式解決問題的能力，其具體結(jié)構(gòu)組成如下圖：

例2 “信息熵”是信息論之父香農(nóng)定義的一個重要概念。香農(nóng)在1984年發(fā)表的論文《通信的數(shù)學(xué)理論》中指出，任何信息都存在冗余，把信息中排除了冗余后的平均信息量稱為“信息熵”，并給出了計算信息熵的數(shù)學(xué)表達(dá)式：設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，3，…，n（n∈N* ），且P（x=i）=pigt;0（i=1，2，3，…，n），∑ pi=1，定義X的信息熵H（X）=-∑ pilog2pi.

（1）當(dāng)n=1，計算H（X）;

（2）若pi=（i=1，2，3，…，n），判斷并證明當(dāng)n增大時，H（X）的變化趨勢;

（3）若n=2m（m∈N*），隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1，2，3，…，m，且P（Y=j）=Pj+P2m+1-j （j=1，2，3，…，m），證明：H（X）gt;H（Y）.

上述例題以“信息熵”這一信息領(lǐng)域的情境展開話題，體現(xiàn)出新定義題型的跨學(xué)科性。在解釋完何為“信息熵”之后，又對其表達(dá)形式進(jìn)行定義，并提出相關(guān)的系列問題，學(xué)生需要借助給出的相關(guān)概念，經(jīng)理解—轉(zhuǎn)化過程來解決問題。

學(xué)生在解決（1）題時需要在讀懂信息熵表達(dá)形式的基礎(chǔ)上經(jīng)過推理得到n=1時的表達(dá)式，進(jìn)而通過計算得到正確結(jié)果。（2）題則要求學(xué)生在正確代入pi=的基礎(chǔ)之上掌握求取函數(shù)單調(diào)性的方法。學(xué)生在解決前兩問之后對“信息熵”的表達(dá)式已經(jīng)有了比較全面的認(rèn)知。（3）題考查學(xué)生的類比遷移能力，即P（Y=j）=Pj+P2m+1-j時H（Y）的表達(dá)形式，此外還需熟練運用對數(shù)函數(shù)的運算法則來簡化解題過程。

（二）新定義題型的功能

作為備受關(guān)注的新題型之一的新定義題型，在對學(xué)生發(fā)出挑戰(zhàn)的同時也鍛煉其各方面的能力，使得學(xué)生在遷移、創(chuàng)新、自主學(xué)習(xí)等方面的能力得到了彰顯和提升。

1.考查學(xué)生的遷移創(chuàng)新能力。喻平教授指出，知識是發(fā)展學(xué)科關(guān)鍵能力的本源，可將其分為知識理解、知識遷移與知識創(chuàng)新三個維度，其中知識理解為關(guān)鍵能力一級水平，知識遷移為關(guān)鍵能力二級水平，知識創(chuàng)新則屬于關(guān)鍵能力三級水平，因此學(xué)生的發(fā)展不能僅停留在知識理解層面，還要加強(qiáng)解決綜合問題的能力，將已學(xué)知識進(jìn)行交叉融合進(jìn)而解決問題，這就需要學(xué)生具備較強(qiáng)的遷移能力。優(yōu)秀的學(xué)生往往能夠在遷移過程中自主思考所學(xué)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，并且通過這些聯(lián)系得出新的理解，使其創(chuàng)新能力得到提升，也就是通常所說的“無師自通”。新定義題型作為一種綜合性題目，可以更準(zhǔn)確地對學(xué)生的遷移、創(chuàng)新能力進(jìn)行考量和評價。

例3 若各項為正的無窮數(shù)列an滿足：對于" "x∈N+，a2n+1-a2n=d，其中d為非零常數(shù)，則稱數(shù)列an為D數(shù)列，記bn=an+1-an.

（1）判斷無窮數(shù)列an=和an=2n是否是D數(shù)列，并說明理由;

（2）若an為D數(shù)列，證明：數(shù)列bn中存在小于1的項;

上述題目中提到D數(shù)列這一新的概念，但是深入思考之后則可發(fā)現(xiàn)，其實質(zhì)上是由等差數(shù)列演變而成的，故在解決（1）題時將等差數(shù)列的證明思想遷移至D數(shù)列的證明即可;（2）題則需要學(xué)生融入創(chuàng)新思維，在意識到a2n為等差數(shù)列后，將bn以an+1+an的形式表達(dá)出來，進(jìn)而得到需證明的結(jié)論。

2.考查學(xué)生的思維品質(zhì)。良好的思維品質(zhì)包括思維的深刻性、準(zhǔn)確性、靈活性、創(chuàng)新性等。新定義題型具有良好的區(qū)分度，對考查學(xué)生思維品質(zhì)具有獨到作用。以靈活性為例，于解題過程相當(dāng)于機(jī)器運轉(zhuǎn)的潤滑油，若是沒有潤滑劑機(jī)器難以持續(xù)高效完成任務(wù)。在解題過程中學(xué)生要保持思維的靈活性，要善于多角度地認(rèn)識問題、理解問題，在復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境中找到最合適的解題方法，彰顯其思維的創(chuàng)新性和獨特性。

例4 設(shè)集合A，B是有限集，定義d（A，B）=card（A∪B）-card（A∩B），其中card（A）表示有限集合A中元素的個數(shù)。

命題1對于任意有限集合A，B，“A≠B”是“d（A，B）gt;0”的充分必要條件;命題2對于任意有限集合A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）.

A.命題1和命題2都成立

B.命題1和命題2都不成立

C.命題1成立，命題2不成立

D.命題1不成立，命題2成立

在解決該問題時，學(xué)生需通過直接推理的方法根據(jù)題目中d（A，B）的定義對提出的兩個命題的真假進(jìn)行判斷，也可以借助維恩圖直觀地了解d（A，C）與d（A，B）+d（B，C）所包含元素個數(shù)的大小關(guān)系;此題很好地考查學(xué)生解決問題的靈活性，不僅可以通過邏輯推理解決問題，還可以利用圖像直觀簡潔高效地解決問題。

3.考查學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力。自主學(xué)習(xí)能力是信息化社會公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)。其中閱讀理解能力是基礎(chǔ)，其次還需要學(xué)生具備完善的信息加工能力。除此之外，抽象思考能力也是提升自主學(xué)習(xí)能力必不可少的要素?！靶露x”題型往往是以抽象的形式出現(xiàn)在學(xué)生的視野中，這時就需要學(xué)生經(jīng)過思考將題目中定義的抽象概念轉(zhuǎn)化為具體的已學(xué)知識并加以理解加工，從而讓新定義對自己來說不再“新”。

例5 拓?fù)鋵W(xué)是研究幾何圖形（或集合）整體結(jié)構(gòu)和性質(zhì)的一門幾何學(xué)，以抽象而嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言將集合與幾何聯(lián)系起來。

已知平面E2=（x，y）∣" x，y∈R，對于其上的任意兩點m（x1，y1），n（x2，y2），定義度量（距離）：d（m，n）=，并稱（E2，d）為一度量平面。設(shè)x0∈（E2，d），ε∈R+，稱平面區(qū)域B（x0，ε）=x∈（E2，d）∣d（x0，x）ε為以x0為“球心”的“球形”鄰域，簡稱鄰域（稱x∈（E2，d）∣d（x0，x）=ε為這個鄰域的“球面”邊界，簡稱邊界）。

（1）試用集合語言描述（E2，d）上兩個鄰域的交集;

（2）證明：（E2，d）上任意兩個鄰域的交集可以寫成若干個鄰域的并集;

上述例題中談及到高等數(shù)學(xué)中“拓?fù)洹边@一概念，這就需要學(xué)生不拘泥于已學(xué)知識，而是主動探尋更廣闊的知識海洋。（1）題中要求用集合的語言來描述（E2，d）上兩個鄰域的交集，體現(xiàn)出對學(xué)生閱讀理解能力以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的考查;由于此題是建立在三維空間上的，所以其本身就需要學(xué)生具備深厚的空間想象能力來構(gòu)思出與之對應(yīng)的集合圖像，在做出圖像后又需構(gòu)造出一個新的球形鄰域來解決（2）題，因此新定義題型考查學(xué)生深度學(xué)習(xí)的成果。

三、新定義題型的解題策略

（一）追本溯源，探尋“題型之母”

每一道數(shù)學(xué)題目都不是憑空編造的，而是以學(xué)生平時所練習(xí)的基礎(chǔ)題型演變過來的，因此學(xué)生在解題時要善于將要解決的題目與已有解題經(jīng)驗進(jìn)行聯(lián)結(jié)，尋找二者的共同之處，找到其母題，進(jìn)而轉(zhuǎn)化化歸。

例6 設(shè)A，B，C是非空集合，定義：

A×B×C=x∣x∈A且x∈B且x∈C，已知A=x∣y=

，B=y∣y=3x+1，C=x∣log2x3則A×B×C=（" "）。

A.（1，8）" "B.（0，8）

C.（0，1）" "D.（-∞，-4））∪[0，+∞]

評析：此題對集合的運算引入了一個新的定義，但是做題需做的是透過現(xiàn)象看本質(zhì)，上述題目的“母題”即集合交集的求取，學(xué)生看破這一層之后便可以游刃有余地解決問題。

解析：對于集合A而言，元素由方程y=中x的取值范圍組成，由x2+4x≥0，解得x≤4或x≥0，集合A=x∣x≤4或x≥0.對于集合B而言，元素由方程y=3x+1中y的取值范圍組成，由3xgt;0可知，ygt;1，集合B=y∣ygt;1.對于集合C而言，f（x）=log2x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，因此當(dāng)log2xlt;3時，0lt;xlt;8，所以集合C=x∣0lt;xlt;8，因此A×B×C=（0，8）.

“追本溯源”中的“本”，一是相應(yīng)函數(shù)定義域以及值域的求取方法，二是掌握集合交集的求取方法，掌握這兩點本質(zhì)之后便可以解答出此題。

（二）抽絲剝繭，把握“解題關(guān)鍵”

“解題關(guān)鍵”可以是解題過程中的解題策略，也可以是構(gòu)成題目的關(guān)鍵信息，還可以是解題的類比對象。解題關(guān)鍵的成功選取可以幫助做題者明確解題方向，達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果，因此在解決問題時要找到解題的關(guān)鍵之處。

例7 布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點定理的基石。簡單地講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)f（x），存在一個點x0，使得f（x0）=x0，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（" ）。

A.f（x）=ln x-1" "B.f（x）=ex+1

C.f（x）=x+" " D.f（x）=x2+2x-1

評析：此題為“新函數(shù)”類型題，以布勞威爾不動點這一較新穎的理論對學(xué)生在函數(shù)單調(diào)性以及零點求取方面的能力進(jìn)行了考查，因此在解題過程中把握住函數(shù)零點的存在性求取方法即找到了解題核心，那么本題中的解題核心便在于對不動點定理的理解。

解析：對于A選項，設(shè)g（x）=ln x-1-x，g′（x）=-1，化簡可得g′（x）=;當(dāng)g′（x）=0時，x=1;當(dāng)0lt;xlt;1時g′（x）gt;0，函數(shù)g（x）單調(diào)遞增;當(dāng)xgt;1時，g′（x）lt;0，g（x）單調(diào)遞減。綜上所述，當(dāng)x=1時，g（x）最大為-2，由此可知g（x）lt;0，因此不存在一點使得ln x-1=x（xgt;0）等式成立，f（x）=ln x-1不是“不動點”函數(shù)。對于B選項，當(dāng)ex+1=x時，設(shè)g（x）=ex-x+1，g′（x）=ex-1，當(dāng)x=0時，g′（x）=0;當(dāng)xlt;0時，g′（x）lt;0;當(dāng)xgt;0時，g′（x）gt;0，綜上所述g（x）在x=0時取得最小值為2，因此g（x）gt;2，函數(shù)f（x）=ex+1不是“不動點”函數(shù)。再來看C選項，令x+=x，設(shè)g（x）=可知不存在實數(shù)解，因此f（x）=x+不為“不動點”函數(shù)。最后看D選項，當(dāng)x2+2x-1=x，設(shè)g（x）=x2+x-1，二次方程x2+x-1=0的判別式Δ=5gt;0， g（x）=0有解，因此函數(shù)f（x）=x2+2x-1為“不動點”函數(shù)。

對于此題，我們通過題目中的層層“絲”最終破解零點存在性這一“繭”，然后借助求導(dǎo)法則確定目標(biāo)函數(shù)是否為題目中所定義的“不動點”函數(shù)。

（三）總結(jié)反思，概括“本質(zhì)規(guī)律”

這是指學(xué)生在日常學(xué)習(xí)中要善于在解題訓(xùn)練中總結(jié)反思，感悟解題策略和思想方法，積累概括數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗，得到具有規(guī)律性、普遍性的解題認(rèn)識，升華解題效果。

例8 “群”是代數(shù)學(xué)中一個重要的概念，它的定義是：設(shè)G為某種元素組成的一個非空集合，若在G內(nèi)定義一個運算“*”，滿足以下條件：

①" "a，b∈G，有a*b∈G;

②" "a，b，c∈G，有（a*b）*c=a*（b*c）;

③在G中有一個元素e，" "a∈G，都有a*e=e*a，稱e為G的單位元;

④" "a∈G，在G中存在唯一確定的b，使a*b=b*a=e，稱b為a的逆元。此時稱（G，*）為一個群。

例如實數(shù)集R和實數(shù)集上的加法運算“+”就構(gòu)成一個群（R，+），其單位元是0，每一個數(shù)的逆元是其相反數(shù)，那么下列說法中，錯誤的是（" "）。

A.G=Q，則（G，+）為一個群

B.G=R，則（G，×）為一個群

C.G=-1，1，則（G，×）為一個群

D.G=平面向量，則（G，+）為一個群

評析：上述例題中所闡述的無非是加法和乘法兩種運算在給定集合內(nèi)是否符合題干中給出的要求的問題，此時判斷選項中的運算在集合中成立與否即可。這啟發(fā)學(xué)生們在做題時不能只顧著計算，更要注重總結(jié)解題方法，在掌握方法之后再去解題可以達(dá)到事半功倍的效果。

解析：對于A選項，有理數(shù)域中兩個有理數(shù)的和仍然是有理數(shù)，并且有理數(shù)滿足結(jié)合律，同時經(jīng)過計算可知0為G中的單位元與逆元，故（G，+）為一個群。

對于B選項，在實數(shù)域中1為G的單位元，但是當(dāng)a×b=b×a=1時，若a=0則b的取值不能唯一確定，此時不滿足第四點要求，那么（G，×）不能稱為一個群。

再觀察C，當(dāng)G=-1，1時，其滿足結(jié)合律并且（-1）×（-1）=1∈G，1×1=1∈G，（-1）×1=-1∈G;同時在G中，1為其單位元，-1為其本身和1的逆元，因此（G，×）為一個群;

最后看D，根據(jù)平面向量的加法法則可知其符合前兩點要求，易知0為該集合的單位元，而該集合的逆元可為平面向量自身的反向量，故（G，+）為一個群。

上述問題的解決需要以“群”的形成原則為第一階臺階，以“群”中的單位元以及逆元的確定方式為第二階臺階，通過層層遞進(jìn)的過程得到正確答案。

四、結(jié)語

新定義題型的發(fā)展旨在更全面地評估考生的能力，促進(jìn)他們在解決實際問題時的創(chuàng)造性思維和實踐能力，隨著教育評估理念的不斷更新和技術(shù)的不斷進(jìn)步，這種類型的題型將會繼續(xù)發(fā)展和演變。因此作為教師要與時俱進(jìn)地為學(xué)生提供合適的學(xué)習(xí)策略，提高其自主學(xué)習(xí)能力、研究創(chuàng)新意識。

參考文獻(xiàn)：

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本文系河北師范大學(xué)人文社會科學(xué)校內(nèi)科研基金項目2017年“卓越教師核心素養(yǎng)發(fā)展研究”（項目編號：S2017Y17）研究成果。