摘 要：“理解”是“掌握”的前提，只有建立在“理解”基礎(chǔ)之上的學(xué)習(xí)才算得上是真正意義上的學(xué)習(xí)，即“理解性學(xué)習(xí)”。理解性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵包括有意義的推斷、有深度的思考、有關(guān)聯(lián)的建構(gòu)、有遷移的應(yīng)用等。理解性學(xué)習(xí)的策略包括在概念追索、多元表征、結(jié)構(gòu)聯(lián)系、“教—學(xué)—評”一致中學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；理解性學(xué)習(xí)；結(jié)構(gòu)化；“教—學(xué)—評”一致

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃鄉(xiāng)村教師專項課題“深度學(xué)習(xí)視域下小學(xué)數(shù)學(xué)理解性學(xué)習(xí)的實踐研究”（編號：Xcb/2020/07）的階段性研究成果。

追溯小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)和真諦，繞不開“理解”這一個關(guān)鍵詞?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》多次強調(diào)“理解”的重要性，如“課程內(nèi)容的選擇，（應(yīng)）符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有助于學(xué)生理解、掌握數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能”“教學(xué)活動應(yīng)注重啟發(fā)式……促進(jìn)學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)的基本知識和基本技能”^［1］。顯然，“理解”是“掌握”的前提，只有建立在“理解”基礎(chǔ)之上的學(xué)習(xí)才算得上是真正意義上的學(xué)習(xí)，即“理解性學(xué)習(xí)”。那么，什么是理解性學(xué)習(xí)？怎樣進(jìn)行理解性學(xué)習(xí)？本文結(jié)合小學(xué)數(shù)學(xué)的實踐與思考，試對理解性學(xué)習(xí)的內(nèi)涵與策略進(jìn)行探析。

一、什么是“理解性學(xué)習(xí)”

（一）什么是“理解”

在教學(xué)中，“理解”可看作一個具體的認(rèn)知過程，意味著“學(xué)習(xí)”；也可表達(dá)認(rèn)知結(jié)果，意味著“掌握”?！袄斫狻保煌凇爸馈鼻腋哂凇傲私狻?，是根據(jù)道理進(jìn)行的了解、明白、領(lǐng)會等。這在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中較為常見——很多學(xué)生知道一些公式、定義，但對它們不一定能夠完全理解，即“知其然不知其所以然”。如同一個人認(rèn)識《新華字典》中的每一個字，卻可能讀不懂一段話的意思。因為，“知道”是經(jīng)過眼睛“看”、耳朵“聽”就能達(dá)到的效果，這種學(xué)習(xí)行為只要認(rèn)真、專注就可以有結(jié)果。而“理解”是需要經(jīng)過大腦的“想”甚至實際行動的“做”才有可能達(dá)成。

（二）什么是“數(shù)學(xué)理解”

反映數(shù)學(xué)理解的過程，學(xué)界認(rèn)可的一般包括直觀理解、程序理解、抽象理解和形式理解四個層次。^［2］這四個層次，逐步深入、相互促進(jìn)，形成了一個數(shù)學(xué)理解體系。

以“小數(shù)的意義”為例。許多學(xué)生對小數(shù)概念僅僅是“一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……”這樣的直觀理解。其實，這樣的說法僅限于有限小數(shù)的范圍。對小學(xué)生而言，即便這樣的理解，我們也不應(yīng)直接“告訴”他們，而應(yīng)尊重他們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的邏輯起點和現(xiàn)實起點。小數(shù)意義的邏輯起點是學(xué)生對分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識，即“分子比分母小的分?jǐn)?shù)”；而小數(shù)意義的現(xiàn)實起點是“0.1元就是1角；0.1米就是1分米”等。對此，我們可以聚焦小數(shù)與十進(jìn)制分?jǐn)?shù)之間的聯(lián)系，分三個層次來推進(jìn)小數(shù)意義的建構(gòu)與理解：一是概念的具體化，即通過動手操作，在直觀圖中表示出0.1（如圖1）；二是概念的抽象化，即從特殊到一般，從具體到抽象，思考“為什么不同的物體與圖形都可以用0.1表示”；三是概念的一般化，即1/10表示0.1，0.1表示1/10。

（三）什么是“理解性學(xué)習(xí)”

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，“理解性學(xué)習(xí)”的內(nèi)涵至少包括但不限于這樣的四點：

1.有意義的推斷

數(shù)學(xué)中有很多定義屬于事實知識，而基于定義的推論則屬于理解范疇的推斷。比如，“兩組對邊分別平行的四邊形叫作平行四邊形”，這是事實，而“平行四邊形的兩組對邊分別相等”就屬于平行四邊形定義基礎(chǔ)上的理解，是一種意義推斷。顯然，從一個事實到一個推論，就使人們對知識的理解更進(jìn)一步。

2.有深度的思考

有深度的思考是一種超越表面信息深入挖掘知識本質(zhì)的思考方式，需要從具體到抽象，從局部到整體，從特殊到一般，由表及里、直抵核心。

比如，“真分?jǐn)?shù)”的概念在教材上表述為“分子比分母小的分?jǐn)?shù)”，但善于思考的學(xué)生會想：“為什么要把分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫真分?jǐn)?shù)？”“分子比分母小的分?jǐn)?shù)，‘真’在哪里？”“真分?jǐn)?shù)是‘真’的分?jǐn)?shù)，那假分?jǐn)?shù)又‘假’在哪里？”……在不斷地思考過后，我們會發(fā)現(xiàn)，“真分?jǐn)?shù)”是“分”出來的數(shù)，是對一個物體或一些物體平均分的時候不能用整數(shù)來表示，而產(chǎn)生的表示一份或幾份的分?jǐn)?shù)，是“看得見的分?jǐn)?shù)”。這個“看得見的分?jǐn)?shù)”洞察了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，無疑是深度思考的結(jié)果，有助于學(xué)生對知識本質(zhì)的理解并促進(jìn)后續(xù)學(xué)習(xí)的深入。

3.有關(guān)聯(lián)的建構(gòu)

教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，以幫助他們建立更為深刻且牢固的理解。比如，小數(shù)的基本性質(zhì)是“小數(shù)的末尾添上0或者去掉0，小數(shù)的大小不變”，分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)是“分?jǐn)?shù)的分子和分母同時擴大或縮小相同的倍數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變”。建構(gòu)這兩者之間的關(guān)聯(lián)性（如下頁圖2所示），可以很好地幫助學(xué)生理解基本性質(zhì)——小數(shù)的基本性質(zhì)就是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的特殊情況。而這兩條基本性質(zhì)關(guān)聯(lián)的根本源自小數(shù)的意義——小數(shù)就是十分之幾、百分之幾或千分之幾的數(shù)，這說明小數(shù)（僅有限小數(shù)）是特殊的分?jǐn)?shù)，因此，小數(shù)基本性質(zhì)也應(yīng)該是分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)的特殊情況。

4.有遷移的應(yīng)用

遷移應(yīng)用不僅體現(xiàn)學(xué)生對知識的記憶和能力的保持，其重點是考查學(xué)生能否將所學(xué)知識應(yīng)用到新情境中去解決問題的能力。保持只是將作為結(jié)果的知識點記住，而遷移是綜合運用所學(xué)知識點以及在學(xué)習(xí)過程中積淀的思想方法、精神體驗等去回答新問題、解決新問題。比如，針對“平行四邊形面積的計算”這部分內(nèi)容，開展分組實驗教學(xué)。甲組學(xué)生只要求測量平行四邊形底邊的長和底邊上的垂直高度，然后將二者相乘（如圖3）；而乙組學(xué)生在學(xué)習(xí)計算平行四邊形的面積時，經(jīng)歷了轉(zhuǎn)化的過程，積累了大量的基本活動經(jīng)驗，如通過剪掉平行四邊形一端的一個直角三角形（如圖4）或直角梯形，然后把它補在另一端，拼成一個長方形，把未知的平四邊形面積問題轉(zhuǎn)化為已知的長方形面積問題。

經(jīng)歷了上述不同的學(xué)習(xí)過程后，在解決圖5所示的變式情境中的問題時，乙組學(xué)生的正確率明顯要比甲組高。甲組學(xué)生的學(xué)習(xí)無法使其將所學(xué)知識遷移到新情境之中，而乙組學(xué)生的學(xué)習(xí)可以讓他們在保持和遷移兩個方面都做得很好?？梢?，理解性學(xué)習(xí)的優(yōu)勢在于促進(jìn)遷移。

二、怎樣開展“理解性學(xué)習(xí)”

（一）在概念追索中學(xué)習(xí)

1.知其源

數(shù)學(xué)概念經(jīng)過人們尤其是數(shù)學(xué)家們無數(shù)次的動態(tài)演化之后，漸漸作為靜態(tài)定義固定并流傳下來，在某種程度上失去了其最初的鮮活與動感，也掩蓋了其最初的青澀與樸素。因此，我們必須對概念的來源進(jìn)行追溯，達(dá)到解疑釋惑、正本清源的目的。

以“圓”概念的教學(xué)為例。圓的靜態(tài)定義：平面上到定點的距離等于定長的點的軌跡。圓的動態(tài)定義：平面上，一個動點以一個定點為中心、一段定長為距離運動一周的軌跡。用這樣書面且深奧的文字描述概念，直接告訴小學(xué)生，他們是無法理解的。其實，對小學(xué)生來說，圓并不陌生，無論在生活中還是學(xué)習(xí)中，他們早就接觸過圓，但此前只知道有一個圖形叫作圓。筆者做過這樣的教學(xué)嘗試。第一步，出示等邊三角形，詢問特征得到“三條邊都相等、三個角都是60°”。第二步，出示正方形，詢問特征得到“四條邊都相等、四個角都是90°”。第三步，出示正五邊形、正六邊形，并詢問特征，隨后引導(dǎo)猜想：再接下去會是什么圖形，又具備什么特征？如果繼續(xù)下去，最后會得到什么圖形？學(xué)生異口同聲地說：圓。第四步，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)自己的理解說說“圓是怎樣的一個圖形？”

上述教學(xué)中，通過正多邊形的邊數(shù)無限增加來引入圓這個概念，學(xué)生不僅關(guān)注到了圓與其他圖形的相同與不同，自主構(gòu)建了圓的概念雛形，還感悟到圓形成的邏輯、感受到極限的數(shù)學(xué)思想。這種追本溯源的概念教學(xué)過程，讓學(xué)生借助經(jīng)驗展開了數(shù)學(xué)概念的聯(lián)想，在想象中豐富對圓的認(rèn)識，在表達(dá)中直抵圓概念的本質(zhì)理解。

2.會其神

小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)，應(yīng)適當(dāng)?shù)拍畹膰?yán)密表述，多關(guān)注學(xué)生的生活經(jīng)驗，將時間和精力放在引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟概念的本質(zhì)上。

例如，教材是這樣描述“體積和容積”的數(shù)學(xué)概念的：“物體所占空間的大小就是物體的體積；容積就是物體所能容納的空間。”作為體積學(xué)習(xí)的入門，這時的學(xué)生可能還無法徹底理解“空間”這樣的抽象概念，但是他們能夠明白“這個杯子能裝更多的水”“這個文具盒比那個書包小”等。教師不必拘泥于概念的措辭，要求學(xué)生記住或背誦精確的定義，這些對學(xué)生的理解幫助不大。

其實，體積是對物體三維空間大小的度量。我們可以分三步推進(jìn)教學(xué)：第一步，直觀感受物體有大有小，這個大小會占空間，大物體占的空間大，小物體占的空間??；第二步，直觀比較兩個或多個物體體積的大小，描述誰的體積大；第三步，根據(jù)單位數(shù)來表達(dá)體積的大小。經(jīng)過這樣有層次的學(xué)習(xí)活動，學(xué)生逐步建立空間觀念，接觸“度量”的含義，為進(jìn)一步學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。

3.通其用

受小學(xué)生認(rèn)知水平的限制，小學(xué)階段的數(shù)學(xué)概念大多是描述性定義，因此有必要通過應(yīng)用來幫助學(xué)生識別本質(zhì)和非本質(zhì)屬性，以及解決實際問題。

例如，在掌握了圓的相關(guān)特征的基礎(chǔ)上，通過將圓的本質(zhì)去語境化的過程，將抽象的本質(zhì)體現(xiàn)在實際的語境中，有助于學(xué)生加深對圓本質(zhì)的理解，從而感悟數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值。在“圓的認(rèn)識”概念教學(xué)后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入以下實際問題的應(yīng)用：（1）（展示馬戲團(tuán)表演座位圖）人們在觀看表演的時候，都是圍成圓形，這是為什么？（2）（展示飯店圓桌）人們?nèi)ワ埖暾埧统燥埓蟛糠侄际菄蓤A形，這樣的餐桌設(shè)置有什么好處？（3）（展示各種車輛）為什么所有的車輪都是圓的？做成三角形、五邊形……可以嗎？在上述實際問題情境中，學(xué)生不僅進(jìn)一步加深了概念理解，而且在啟迪智慧、感受人文和培植情感等諸多方面都有所收獲。

（二）在多元表征中學(xué)習(xí)

1.動作表征：思維從動作開始

在小學(xué)階段，學(xué)生的思維以直觀形象為主，許多數(shù)學(xué)概念的定義需要通過讓學(xué)生親自動手來描述特征。這類通過動作反應(yīng)對知識進(jìn)行表征的形式被稱為動作表征。

例如，一年級學(xué)生在認(rèn)識“位置與順序”時，關(guān)于“左和右”的認(rèn)識，需要教師提供動作表征的情境：請舉起你的左手，用你的左手摸摸你的左耳朵等。又如，在五年級學(xué)生學(xué)習(xí)“因數(shù)和倍數(shù)”時，教師讓他們完成以下操作活動：用12個同樣大的小正方形拼成一個長方形，每排擺幾個？擺了幾排？用乘法算式表示自己的擺法或想法。通過組織操作活動，幫助學(xué)生建立動作表征，深入理解數(shù)學(xué)概念。

2.圖像表征：用直觀解釋抽象

在教學(xué)中加入圖像、語言，鼓勵學(xué)生運用已有經(jīng)驗，將腦海中的邏輯推理用示意圖、線段圖等形式表現(xiàn)出來，以一種更形象的方式展示數(shù)量之間的關(guān)系，可以有效地幫助學(xué)生理解概念、理解算理、探索規(guī)律、獲得策略等。

例如，在教學(xué)經(jīng)典的“雞兔同籠”問題時，可以引導(dǎo)學(xué)生用“○”表示頭，用“|”表示腿，用下頁圖6所示的圖像表征分別表示雞和兔。這時，只抽取了與數(shù)學(xué)問題相關(guān)的“雞”和“兔”的數(shù)量特征，畫出的“形象畫”既具有具象的特點，又有些抽象的特征。圖像表征，能夠激發(fā)學(xué)生的思維潛能，同時用葆有童趣的方式幫助學(xué)生積累用畫圖策略解題的活動經(jīng)驗。

3.符號表征：于抽象中凝練簡潔

“數(shù)”作為一種符號，比“圖”更抽象、更“高級”。理解的程度越深，符號表征得越簡潔、清晰。

例如，教學(xué)“長方形的周長”后，教師給出一個邊長5厘米的正方形圖形，讓學(xué)生求其周長。學(xué)生的解法有三種。（1）各邊依次相加：5+5+5+5=20（厘米）。這說明學(xué)生機械理解了周長的概念，但沒有把握正方形邊長的特別之處。（2）利用長方形的周長計算公式來計算：（5+5）×2=20（厘米）。這說明學(xué)生對知識進(jìn)行了遷移，但并沒有真正內(nèi)化進(jìn)而找到知識之間的聯(lián)系。（3）由正方形的四條邊都相等的特征直接簡便計算：5×4=20（厘米）。這說明學(xué)生讀懂了周長的含義，也看懂了圖形的特征，根據(jù)乘法的意義一步到位地列出算式，體現(xiàn)了深刻的理解。

4.語言表征：用感性去觸摸理性

語言是思維的外衣。小學(xué)數(shù)學(xué)概念多以描述性定義呈現(xiàn)，教師在教學(xué)中也應(yīng)該更傾向使用語言（尤其是口語）表征來講解數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)教師的語言表征應(yīng)追求準(zhǔn)確、簡潔、通俗易懂等基本要求，引導(dǎo)學(xué)生用感性去觸摸理性。

比如，對四年級的學(xué)生來說，“加法交換律”的“交換加數(shù)的位置，和不變”與其說是“驗證發(fā)現(xiàn)”，不如說是“解釋說明”更為貼近學(xué)情。有如下的教學(xué)。給出一組等式，初步得到“交換加數(shù)的位置，和不變”后，教師順勢提問：為什么交換后和不變呢？能不能用生活中的實際問題來解釋說明？有學(xué)生說：我有5個蘋果，你有4個蘋果，我們合在一起一共有9個蘋果；反過來，我有4個蘋果，你有5個蘋果，我們合在一起還是9個蘋果，所以5+4=4+5。還有學(xué)生說：我們班，男生26人，女生24人，一共50人；反過來，另一個班，男生24人，女生26人，一共也是50人，因此26+24=24+26。通過交流，舉出更多的實際例子，在豐富的口語表征中，學(xué)生深刻認(rèn)識到：兩個加數(shù)相加就相當(dāng)于把兩個部分合起來，不管是用這個部分加那個部分，還是用那個部分加這個部分，求的都是總數(shù)，和都是相等的。教師再引導(dǎo)：如果這個部分是a，那個部分叫b，那么我們就可以得到a+b=b+a。這樣的設(shè)計，通過精準(zhǔn)的語言表征，引導(dǎo)學(xué)生真正地理解加法交換律的本質(zhì)。

5.變換表征：在自洽中轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯

“一個學(xué)生具備如下三個特點才算真正理解一個概念：一是必須將概念放入不同的表征系統(tǒng)之中，二是在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)能很有彈性地處理這個概念，三是必須很精準(zhǔn)地將概念從一個表征系統(tǒng)遷移轉(zhuǎn)換到另一個表征系統(tǒng)。”^［3］這是因為知識的原有表征并非以學(xué)生的偏好而呈現(xiàn)的，陌生的表征會給學(xué)生帶來一定的困難，且一元表征也很難完全顯示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對象的內(nèi)在和外在屬性。因此，不同的表征是需要進(jìn)行轉(zhuǎn)換的，用適宜的表征去轉(zhuǎn)換知識呈現(xiàn)的面貌，用簡潔的表征去轉(zhuǎn)譯知識的深度理解，在各種不同表征中進(jìn)行自洽銜接。

比如，“乘法分配律”是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個難點，我們可以設(shè)計如下表征活動：第一步，根據(jù)實際問題列出算式，這是實物表征；第二步，畫圖理解發(fā)現(xiàn)規(guī)律，這是圖形表征；第三步，與同學(xué)討論發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，這是言語表征；第四步，選擇一種合適的方法將規(guī)律表示出來，這是符號表征。由此，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，其實就是多元表征轉(zhuǎn)換、轉(zhuǎn)譯的過程。

（三）在結(jié)構(gòu)聯(lián)系中學(xué)習(xí)

1.知識結(jié)構(gòu)化：全面“看”數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)知識是存在聯(lián)系的，甚至是環(huán)環(huán)相扣的，數(shù)學(xué)知識的理解應(yīng)基于整體性的視角、采用結(jié)構(gòu)的觀點來深刻理解。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識如同織網(wǎng)，先有知識點，再連知識網(wǎng)，后織知識網(wǎng)?！包c”要牢固，“鏈”要暢通，“網(wǎng)”才結(jié)實。小學(xué)數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)化要特別注意以下三點：

一是由表及里，在知識探究處“結(jié)點”，在“點”處挖深。比如，在《三角形》單元學(xué)習(xí)中，由“邊”和“角”作為結(jié)構(gòu)要素進(jìn)行結(jié)構(gòu)梳理（如圖7），可以幫助學(xué)生全面“看”數(shù)學(xué)，對《三角形》單元形成整體性的理解和掌握。

二是由前及后，在知識遷移處“構(gòu)鏈”，在“鏈”處拓寬。每一條知識鏈都至少聯(lián)結(jié)著兩端的知識點，知識點A可以是點B的“原生形態(tài)”，反過來，知識點B也可以是知識點A的“發(fā)展形態(tài)”。比如，“三位數(shù)除以一位數(shù)”建立在“兩位數(shù)除以一位數(shù)”的基礎(chǔ)之上，“三位數(shù)乘兩位數(shù)”建立在“三位數(shù)乘一位數(shù)”和“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的基礎(chǔ)之上的。

三是由此及彼，在知識建構(gòu)處“織網(wǎng)”，在“網(wǎng)”上貫通。如果能打通知識之間的橫向關(guān)聯(lián)，在知識點和知識鏈上織成一張知識網(wǎng)，知識的整體性就會匯聚成完整的知識結(jié)構(gòu)。比如，《分?jǐn)?shù)除法》單元的知識網(wǎng)如圖8所示，先是給出了“倒數(shù)的概念”，接著將分?jǐn)?shù)除法分為三類，即“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”“整數(shù)除以分?jǐn)?shù)”和“分?jǐn)?shù)除以分?jǐn)?shù)”。后兩類也可以歸結(jié)為“一個數(shù)除以分?jǐn)?shù)”。進(jìn)而，在探求兩種類型的分?jǐn)?shù)除法算法中理解算理，從特殊到一般，歸納得到一般算法，并遷移應(yīng)用解決分?jǐn)?shù)除法實際問題。站在整張“網(wǎng)”上俯瞰，才能對具體的知識點理解深刻。

2.方法結(jié)構(gòu)化：關(guān)聯(lián)“解”數(shù)學(xué)

知識的結(jié)構(gòu)是天然存在的，而方法的結(jié)構(gòu)是應(yīng)運而生的。方法結(jié)構(gòu)化是指超越具體的知識內(nèi)容，將不同的知識內(nèi)容進(jìn)行方法上的類比、貫通。比如，學(xué)習(xí)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時，不能直接相加減，而要先通分轉(zhuǎn)化成同分母分?jǐn)?shù)，然后才能相加減。在討論交流中，聯(lián)系到以前學(xué)習(xí)整數(shù)加減法要“末位對齊”、小數(shù)加減法要“小數(shù)點對齊”，其實都是在要求“相同的數(shù)位才能相加減”。換言之，只有相同計數(shù)單位的數(shù)才能合并或減少。這樣，分?jǐn)?shù)加減法、整數(shù)加減法、小數(shù)加減法的算理都是一致的，其中的核心概念就是“計數(shù)單位”。這樣的方法結(jié)構(gòu)化，使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)越學(xué)越通透。

基于核心概念的方法結(jié)構(gòu)一旦形成，還會有很強的遷移和運用能力。比如，在后續(xù)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘法”時，依然可以發(fā)揮“計數(shù)單位”這個核心概念來建立本質(zhì)聯(lián)系，如20×30= （2×10）×（3×10） = （2×3）×（10×10）=6×100=600，0.2×0.3=（2×0.1）×（3×0.1）=（2×3）×（0.1×0.1）=6×0.01=0.06，2/5×3/4=（2×1/5）×（3×1/4）＝（2×3）×（1/5×1/4）= 6×1/20＝6/20。可見，整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法表面上看起來不一樣，但算法背后的本質(zhì)卻是一致的，都是“計數(shù)單位×計數(shù)單位”得到新的計數(shù)單位，“個數(shù)×個數(shù)”得到新計數(shù)單位的個數(shù)。如果進(jìn)一步對“計數(shù)單位”這個概念抽象升級得到“單位”這個概念，我們會發(fā)現(xiàn)：不管是長度、質(zhì)量、面積、體積，還是時間、角等，“單位”就是散落在數(shù)學(xué)各個知識“珍珠”之間的“串珠線”，利用“單位”可以將整個數(shù)學(xué)世界織成網(wǎng)。

3.思維結(jié)構(gòu)化：整體“想”數(shù)學(xué)

有這樣一串?dāng)?shù)字：1491625364981100，你能在3秒鐘內(nèi)記住多少？但是如果給你一個結(jié)構(gòu)：1，4，9，16，25，49，81，100，我們就可以聯(lián)想到1到10各自然數(shù)的平方數(shù)，這就是結(jié)構(gòu)化的力量。因此，結(jié)構(gòu)不僅是知識的一種表征，也是學(xué)習(xí)知識的一種工具，更是掌握和建構(gòu)知識的一種思維。對事物或問題能夠開展全面完整的思考，就是思維結(jié)構(gòu)化的表現(xiàn)。只有整體“想”數(shù)學(xué)，才能步入更高、更深層次的數(shù)學(xué)世界。

比如，在學(xué)習(xí)“圓柱和圓錐”時，可以緊緊圍繞“圓”這個字去聯(lián)想。圓柱可以想成無數(shù)個相同圓的疊加，而圓錐可以想成由最初的一個點逐漸擴大的一個個越來越大圓的疊加。當(dāng)然，圓就是繞一圈的感覺。教師可以引導(dǎo)學(xué)生想象：將一個長方形繞著它的一條邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓柱，將一個直角三角形繞著它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)一周形成圓錐。無論是“靜止”的平面圖形，還是“運動”著形成空間幾何體的想象，由靜到動、由平面到立體、由二維到三維，體現(xiàn)的就是“點動成線、線動成面、面動成體”的運動幾何思維。通過整體“想”數(shù)學(xué)的思維結(jié)構(gòu)化，相互關(guān)聯(lián)的知識組成一個“大家庭”。

（四）在“教—學(xué)—評”一致中學(xué)習(xí)

“教—學(xué)—評”一致性是義務(wù)教育課程改革提出的重要理念。在理解性學(xué)習(xí)中，“教”集中體現(xiàn)為“本原性的問題引領(lǐng)”，“學(xué)”集中體現(xiàn)為“挑戰(zhàn)性的任務(wù)驅(qū)動”，“評”集中體現(xiàn)為“表現(xiàn)性的評價增值”。問題引領(lǐng)、任務(wù)驅(qū)動和評價增值三位一體，形成理解性學(xué)習(xí)的閉環(huán)（如圖9所示）。

1.問題引領(lǐng)：凸顯本原性

學(xué)問，學(xué)問，“學(xué)”貴在“問”。理解性學(xué)習(xí)特別注重“提高發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力”。那么，什么樣的問題可以引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行理解性學(xué)習(xí)呢？筆者以為，是本原性問題。所謂本原性問題，是原初性問題，是根源問題，是觸及事物本質(zhì)的問題，是學(xué)生的真思維、真困惑、真問題。

本原性問題可以由教師根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和知識本質(zhì)相機提出。比如，在“計數(shù)單位”的復(fù)習(xí)課上，對“長度、面積、體積、質(zhì)量、時間”等計量單位，教師提出本原性問題：“這些單位之間有沒有相通的地方？有沒有不同的地方？”通過思考、交流，學(xué)生明白：長度、面積、體積可以用眼觀察、用腦想象、憑感覺感受，而時間是流動的，需要體驗；長度是面積和體積的生長點，面積是體積的生長點，三者同類，質(zhì)量和時間自成系列；它們都是相同單位相加減，時間的進(jìn)率獨特的是六十進(jìn)制，這是因為太陽照射的角度，從而確定了時間概念。

當(dāng)然，本原性問題可以或者說更提倡由學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出。比如，百分?jǐn)?shù)是表示一個數(shù)是另一個數(shù)百分之幾的數(shù)，百分?jǐn)?shù)又叫百分比或者百分率。教學(xué)中，大多數(shù)學(xué)生心存疑慮：“學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)，為何還要學(xué)百分?jǐn)?shù)？”“生活中有十分?jǐn)?shù)、千分?jǐn)?shù)、萬分?jǐn)?shù)嗎？”“為什么人們獨愛百分?jǐn)?shù)？”這些問題源自學(xué)生內(nèi)心，通過對這些問題進(jìn)行討論，可以讓他們思之深、悟之透、記之牢，受益終身，實現(xiàn)對百分?jǐn)?shù)的深度理解。

2.任務(wù)驅(qū)動：凸顯挑戰(zhàn)性

理解性學(xué)習(xí)倡導(dǎo)在本原性問題的引領(lǐng)下，將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化成若干個具體任務(wù)，引領(lǐng)學(xué)生通過完成富有挑戰(zhàn)性的任務(wù)，領(lǐng)悟相關(guān)數(shù)學(xué)知識點及背后蘊含的思想方法。比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊的《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》，主要教學(xué)把一些物體組成的一個整體來平均分得到分?jǐn)?shù)，引導(dǎo)學(xué)生從“份數(shù)比”的角度理解用分?jǐn)?shù)表示部分與整體的關(guān)系。教師設(shè)計了如下任務(wù)。任務(wù)1：請畫圖或用文字表示你對3/4的理解。任務(wù)2：把12個桃看作一個整體，你能找到哪些分?jǐn)?shù)？分一分，寫一寫。任務(wù)3：一個圖形的1/4是“□”，請畫出這個圖形。在上述任務(wù)中，任務(wù)1旨在激活學(xué)生關(guān)于分?jǐn)?shù)的認(rèn)知經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生自主表達(dá)自己的理解；任務(wù)2重點關(guān)注學(xué)生從分?jǐn)?shù)單位的角度理解、建構(gòu)“分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位的累加”；任務(wù)3關(guān)注部分與整體的關(guān)系，因為是逆向思考，對學(xué)生來說有一定的挑戰(zhàn)性。學(xué)生通過畫圖、分享和交流，深化對分?jǐn)?shù)的理解。通過挑戰(zhàn)性的任務(wù)驅(qū)動，不需要瑣碎講解或機械問答，學(xué)生便積累了大量的經(jīng)驗，對分?jǐn)?shù)的理解也更加深刻。

3.評價增值：凸顯表現(xiàn)性

理解性學(xué)習(xí)倡導(dǎo)“以評促學(xué)”，即將目標(biāo)、評價放在教學(xué)之前考慮，特別是進(jìn)行增值性的、表現(xiàn)性的評價，以促進(jìn)“教—學(xué)—評”一致。比如，蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)三年級下冊《認(rèn)識分?jǐn)?shù)》教學(xué)安排了如下的表現(xiàn)性評價：請班級中的一名學(xué)生起立，讓其他學(xué)生嘗試用分?jǐn)?shù)表示這個情境。學(xué)生結(jié)合不同的“整體1”來表達(dá)分?jǐn)?shù)，如“全班人數(shù)的1/40”“男生人數(shù)的1/24”“小組人數(shù)的1/4”“全年級人數(shù)的1/165”“全中國人數(shù)的1/1400000000”等。教師隨后引導(dǎo)反思：同樣是一個人，為什么可以用這么多不同的分?jǐn)?shù)來表示？這樣的表現(xiàn)性評價，既考查了學(xué)生對當(dāng)下所學(xué)知識的理解情況，又發(fā)散了學(xué)生思維，實現(xiàn)了教學(xué)增值。

參考文獻(xiàn)：

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