摘 要：“國數(shù)課”是“加強(qiáng)愛國主義教育的數(shù)學(xué)課”的簡稱，是“我為祖國教數(shù)學(xué)”使命感的新表達(dá)，是落實(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》、努力為數(shù)學(xué)課涂上愛國底色的新樣態(tài)。從中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、革命文化、社會主義先進(jìn)文化中尋找適合小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的中國故事，將祖國和數(shù)學(xué)相連接，以愛國為數(shù)學(xué)添溫暖，用數(shù)學(xué)為愛國增理性?！栋霔l被子》一課，愛國情感隱藏在“半條被子”里，數(shù)學(xué)知識隱藏在“點(diǎn)子紙”中。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；點(diǎn)子紙；“國數(shù)課”；《半條被子》

我們提出的“國數(shù)課”，是“加強(qiáng)愛國主義教育的數(shù)學(xué)課”的簡稱。它是“我為祖國教數(shù)學(xué)”使命感的新表達(dá)，是落實(shí)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“新課標(biāo)”）、努力為數(shù)學(xué)課涂上愛國底色的新樣態(tài)。從中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、革命文化、社會主義先進(jìn)文化中尋找適合小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的中國故事，將祖國和數(shù)學(xué)相連接，以愛國為數(shù)學(xué)添溫暖，用數(shù)學(xué)為愛國增理性，即，把可“化”的一切愛國資源，“化”成學(xué)生的一切，而不只是數(shù)學(xué)技能。“國數(shù)課”一般有兩類：一類是用中國故事講好數(shù)學(xué)，另一類是用數(shù)學(xué)講好中國故事。

本文呈現(xiàn)的，是我借紅色經(jīng)典故事《半條被子》，和三年級學(xué)生一起認(rèn)識分?jǐn)?shù)的“國數(shù)課”的一次探索。

一、異彩紛呈

課上，我提出重點(diǎn)問題：“送出半條被子之后，平均每位女兵蓋多少被子？”學(xué)生的作品異彩紛呈（如圖1—下頁圖7所示）。

圖1、圖2和圖3，大同小異，學(xué)生都直接準(zhǔn)確地表示出答案是“1/6”。學(xué)生為什么會在圖3中標(biāo)上①—⑥？因?yàn)榍懊娴慕虒W(xué)環(huán)節(jié)是，在點(diǎn)子紙上畫出半條被子后，我問學(xué)生：“圖上除了1/2，還能看到哪些分?jǐn)?shù)？”確認(rèn)可以看到2/4、4/8、8/16時，我都要求學(xué)生在圖中數(shù)出分母的幾份和分子的幾份。小結(jié)時，我請學(xué)生概括：“回過頭來想一想，我們是怎樣確定一個分?jǐn)?shù)是幾‘份’之幾的？”學(xué)生說：“先看是平均分成了幾份，再看取了幾份?！彼?，看到圖3，我十分高興學(xué)生的活學(xué)活用。

圖4，稍顯毛糙，但兩端各擦去一列，彰顯了畫圖學(xué)生的機(jī)靈。按照8列的被子，難以將一半再平均分成3份。于是，他將兩端各擦去一列?！拔业谋蛔?，我做主”，有氣魄！其實(shí)，我還可以提醒他：“分出一半后，難以豎著平均分成3份，那能不能橫著分？”

備課時，我預(yù)設(shè)的答案只有一個“1/6”。當(dāng)看到學(xué)生在圖5中呈現(xiàn)的“1/3”時，我才恍然大悟：1/6和1/3，兩個答案都對。但我又想：這太復(fù)雜了，三年級學(xué)生能解釋清楚嗎？他們是第一次正式接觸分?jǐn)?shù)啊。于是，我問：“送出半條被子之后，平均每位女兵蓋多少被子？”學(xué)生指著圖5說：“蓋這些被子的1/3?！绷硪粋€學(xué)生及時補(bǔ)充：“蓋剩下被子的1/3?！边@個回答一點(diǎn)毛病沒有，并且強(qiáng)調(diào)了整體不同，分?jǐn)?shù)就可能不同。這正是“點(diǎn)子紙”的價值所在——借助虛線實(shí)線、陰影空白，先畫出整條被子，才能數(shù)學(xué)化地畫出半條被子。

在圖6中，學(xué)生也認(rèn)為答案是“1/3”，但開始的“半條被子”沒有平均分，學(xué)生也沒有“機(jī)靈地”在左邊加上一塊。可能是他沒有注意到，也可能是他注意到了，但他以為可以忽視左邊，只看右邊。所以，他的答案“蓋剩下被子的1/3”，是正確的。對此，我們還可以讓學(xué)生開展同伴評價，順便強(qiáng)調(diào)“平均分”。

在圖7中，學(xué)生的答案也是“1/3”，但沒有“平均分”——這個“平均分”是必須的。我組織學(xué)生互動評價，該生的解釋是：“我知道要平均分，但要畫在點(diǎn)子上，我沒法畫了?！蔽倚χf：“下次再畫，你知道可以怎么畫了嗎？”他點(diǎn)點(diǎn)頭。我追問了一句：“送給老百姓的是2/6？”他說：“不是，也應(yīng)該是3份?！蔽艺埶眉t筆修改，他寫上了“3/6”。

……

此外，在一次研討活動中，我也執(zhí)教了《半條被子》，一位學(xué)生竟然說出：“我認(rèn)為，在這道題里，1/6等于1/3。”學(xué)生錯了嗎？并沒有，學(xué)生反而展現(xiàn)了哲學(xué)家的潛質(zhì)。

這樣異彩紛呈的課堂，我想，都源自一個重要的學(xué)習(xí)支架——點(diǎn)子紙。

二、善假于物

事情得從頭說起。

2021年，我重讀《陶行知全集》，讀到了有趣的《半塊糖》；讀黨史，讀《長征記》，我都讀到了《半條被子》。

我喜歡讀他人的文字，想自己的問題。我覺得可以借《半塊糖》《半條被子》來講“1/2”，可以讓學(xué)生畫一畫。不管是畫半塊糖，還是畫半條被子，都要先畫出整體。突出整體，強(qiáng)調(diào)單位，也是新課標(biāo)的一大重點(diǎn)。

我們的數(shù)學(xué)課上，只讓學(xué)生動腦，很少讓學(xué)生動手。陶行知先生在《兩件寶》中說：“動手又動腦，才能有創(chuàng)造?！眱和闹腔墼谑种讣馍稀Ｅ囵B(yǎng)學(xué)生動手畫圖的能力，很有必要。新課標(biāo)中，原本初中才開始學(xué)習(xí)的尺規(guī)作圖，起點(diǎn)移到了小學(xué)，我舉雙手贊成。畫數(shù)學(xué)，就是在數(shù)學(xué)化。

2021年12月26日，讀書的間隙，我在所讀書的版權(quán)頁背面，寫下了這節(jié)課原始的教學(xué)思路（見圖8）。

其中，第4個環(huán)節(jié)是“方格紙上，畫出3/4塊糖”。我為什么強(qiáng)調(diào)在方格紙上畫？因?yàn)槿昙墝W(xué)生沒有多少畫圖的機(jī)會，畫一個標(biāo)準(zhǔn)的長方形或正方形就十分不易，再畫出這個長方形或正方形的3/4，就更難了。圖形不標(biāo)準(zhǔn)，大概率是不好平均分的。以往教學(xué)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識”，教學(xué)重點(diǎn)在“平均分”。我認(rèn)為，教是為了學(xué)的開始，我們不必每句話都強(qiáng)調(diào)“平均分”，那會讓學(xué)生害怕數(shù)學(xué)，討厭數(shù)學(xué)；但一直不說“平均分”，絕對是不科學(xué)的。怎么解決三年級學(xué)生畫圖能力弱給教學(xué)帶來的難題？想起我的導(dǎo)師、首都師范大學(xué)王尚志教授指導(dǎo)我的話：“方格紙，是個好東西，要多用?！币虼耍蚁氲搅俗寣W(xué)生在方格紙上畫3/4塊糖。

我繼續(xù)往下想：方格紙不能是學(xué)校打印室打印的，那樣的話，方格的線是黑色的，學(xué)生用鉛筆畫圖，根本看不見；要去買方格紙，其上的線是藍(lán)色或者綠色的。買來之后，可以“印上兩個長方形”。這樣，三年級的學(xué)生課上畫3/4塊糖，就容易多了，省時高效。于是，我用紅筆寫了一個“買”字。

當(dāng)我寫“印上兩個長方形”時，忽然來了靈感：點(diǎn)和點(diǎn)之間沒有線，豈不更好？所以，我修改為“印點(diǎn)子圖更好”，并將“點(diǎn)子圖”畫了下劃線、在下面點(diǎn)了兩個點(diǎn)作為示意。

我繼續(xù)思考：是點(diǎn)子圖，還是點(diǎn)子紙？點(diǎn)子圖，早已有之。那是通過數(shù)點(diǎn)子的個數(shù)，來講運(yùn)算方法和運(yùn)算定律的。方格紙，是借助方格來畫圖的紙，整張紙都是方格。以此類推，該叫點(diǎn)子紙。我用聯(lián)想輸入法打出“點(diǎn)子紙”三個字的漢語拼音，跳出來的是“電子紙”。也就是說，還沒有“點(diǎn)子紙”這個詞。點(diǎn)子紙是我“創(chuàng)造”出來的。點(diǎn)子紙可以給予學(xué)生充分的自主空間，同時又提供足夠的操作支持和思維支撐，讓學(xué)生體驗(yàn)“無中生有”的創(chuàng)造。

那一刻，我的渾身充滿了能量，我體驗(yàn)到了“心流”的幸福，而這份幸福源于內(nèi)心鍥而不舍、井然有序地流動。

三、止于至善

有了點(diǎn)子紙這個幫手，學(xué)生的畫圖就有了支架，而點(diǎn)有了“輔助線”的作用，成了“輔助點(diǎn)”。

我試著在點(diǎn)子紙上畫出半條被子，畫完之后，我不僅看到了1/2，還看到了2/4、4/8、8/16……我是在講分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)嗎？不是，我只是為學(xué)生認(rèn)識分?jǐn)?shù)的分母、分子的意義提供素材和積累經(jīng)驗(yàn)。有了確定三個以上的分?jǐn)?shù)的經(jīng)驗(yàn)，請學(xué)生概括“我們是怎樣確定一個分?jǐn)?shù)是幾‘份’之幾的”就會水到渠成。學(xué)習(xí)就像呼吸一樣自然。

一幅圖認(rèn)識多個分?jǐn)?shù)，實(shí)在是妙。工欲善其事，必先利其器。為了讓學(xué)生看得更清楚，我準(zhǔn)備了若干張像圖9這樣的紙片，預(yù)備在學(xué)生作品看不清晰時拿出來用。

幾次試講，當(dāng)我問：“圖上除了1/2，還能看到哪些分?jǐn)?shù)？”學(xué)生說的分?jǐn)?shù)非常豐富，也會有學(xué)生說出“2/1”。學(xué)生錯了嗎？沒錯。分?jǐn)?shù)也是比，能說1∶2，就允許反過來說2∶1。化錯教育重在善解人意。學(xué)生真是這么想的嗎？學(xué)生說：“把一條被子分成兩份，就是一分之二?！迸?，他可能聽說過“一分為二”這個成語，于是模糊成了“一分之二”。說實(shí)話，對于這樣的解釋，我是哭笑不得的。教材第1課時只講“幾分之一”，是不是支持了學(xué)生的這種迷思？我看到一位年輕教師嚴(yán)格按照教材，第1課時只講“1/2、1/3、1/4、1/8”。她難能可貴地、創(chuàng)造性地設(shè)計了一以貫之的“師徒取經(jīng)”情境：一個餅，先是兩人分，再是三人分、四人分……在組織學(xué)生比較這幾個分?jǐn)?shù)的相同點(diǎn)時，學(xué)生說：“分子相同，都是1?！闭邢聭眩處燀槃輪柕溃骸盀槭裁炊际?？”學(xué)生答：“因?yàn)槎际?個餅。”教師沒有得到自己想要的答案，又叫起一個學(xué)生，學(xué)生答：“因?yàn)槎际?個餅?！痹俳衅鹨粋€學(xué)生，學(xué)生還是答：“因?yàn)槎际?個餅?！苯處熤荒芤来沃钢鴪D中的陰影，自己給出“答案”：“是不是都是1份??？”

幾分之一是分?jǐn)?shù)單位，確實(shí)重要，但，是不是在幾分之幾中才能彰顯出它的價值？不是的。2002年，我執(zhí)教《分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識》，就是從測量領(lǐng)帶的“3/4”引入的。當(dāng)然，借用《半條被子》的故事教學(xué)這部分內(nèi)容，就只能從1/2引入。開始的“2/1”，如果不置可否，后面就會冒出諸如此類的一系列分?jǐn)?shù)，讓教師欲哭無淚。

百思不得其解。2022年9月28日，半夜兩點(diǎn)多，我做了一個夢：我在講《半條被子》一課。在提問“圖上除了1/2，還能看到哪些分?jǐn)?shù)”之后，我讓學(xué)生思考了幾秒鐘，不指名回答，然后引導(dǎo)：“我看到了2/4。誰是我的知音，能在圖上畫一畫，讓別人看到‘4’在哪，‘2’在哪？”教和學(xué)，順風(fēng)又順?biāo)?。圓滿教學(xué)后，我反思：引導(dǎo)時，究竟說“我看到了2/4”，還是說“我看到了8/16”，哪個更好？我抓耳撓腮，于是醒了。白天怎么沒有想到這個問題呢？我趕緊用常用手機(jī)給自己的備用手機(jī)發(fā)了消息——2/4還是8/16？這是我儲存靈感的一種方式。

錯要化，但不是所有的錯都要化。該化的錯，也不是什么時候都能化。我為自己能在夢中想到避開暫時化不了的錯而高興。

究竟是拿“2/4”還是“8/16”舉例子呢？一個份數(shù)少，便于數(shù)；一個不要分，直接數(shù)。對于學(xué)生來說，哪個更容易？要在“輔助點(diǎn)”之間用想象連線，無中生有，難度大一些。因此，我決定選擇直接數(shù)小方格的“8/16”。

2022年9月29日，我借班執(zhí)教《半條被子》，學(xué)生的高光時刻頻頻出現(xiàn)。課的伊始，我就眼前一亮：一個學(xué)生畫的是兩排、一排是4個小格子的被子。4/8，既不要分，又好數(shù)。

夢中的我，怎么沒想到？醒來的我，怎么沒想到？又是學(xué)生教我當(dāng)老師。

四、格物致知

我生命中的貴人、北京第二實(shí)驗(yàn)小學(xué)老校長李烈先生喜歡說一句話：“方法總比問題多！”探究“點(diǎn)子紙”的過程，我回憶跟著李校長的20多年，發(fā)現(xiàn)她那些充滿管理智慧的故事背后，首先是她有一雙善于發(fā)現(xiàn)問題的慧眼?；鄹从诨垩?，沒有問題就沒有方法。

《格言聯(lián)璧》有云：“只一事不留心，便有一事不得其理。只一物不留心，便有一物不得其所?！边M(jìn)而，我再追問點(diǎn)子紙的創(chuàng)生，如果我沒有想到三年級學(xué)生畫圖能力弱，畫出的長方形或正方形會不規(guī)范，所畫的半條被子會不平均，我就不會想到方格紙。如果我滿足于方格紙已經(jīng)解決了問題，沒有想象教學(xué)場景，沒有想象投影出的畫面——學(xué)生在買的方格紙上所畫的作品不是很清晰，就不會誕生沒有線的點(diǎn)子紙。如果我是胡適先生筆下的“差不多先生”，就不會糾結(jié)學(xué)生的“‘2/1’問題”，也就不會有“2/4還是8/16”的思考。沒有經(jīng)歷“2/4還是8/16”的糾結(jié)，就不會對學(xué)生畫的“4×2”的被子情有獨(dú)鐘。

點(diǎn)子紙的創(chuàng)生過程說明：備課就是想象學(xué)生的問題所在，就是思考教如何幫助學(xué)的問題。

我想到了《中庸》里的一段話——子曰：“舜其大知也與！舜好問而好察邇言，隱惡而揚(yáng)善，執(zhí)其兩端，用其中于民。其斯以為舜乎！”孔子這段話的大意是：舜帝可算是一個擁有大智慧的人吧！他樂于向別人請教，而且喜歡對那些淺近的話分析其含義；他替別人包容缺點(diǎn)而表揚(yáng)優(yōu)點(diǎn)，他度量人們認(rèn)識上“過”與“不及”兩個極端的偏向，用中庸之道去引導(dǎo)人們。這就是舜成為舜的原因吧！

好問好察，隱惡揚(yáng)善，執(zhí)兩用中——在白紙和方格紙之間的點(diǎn)子紙好像就是這樣的。兩端點(diǎn)之間的線，因人而異，因時而異，時隱時現(xiàn)……

藝術(shù)的奧秘在于隱藏?！栋霔l被子》這節(jié)點(diǎn)子紙上的“國數(shù)課”，就是富含隱藏藝術(shù)的一節(jié)課。愛國情感隱藏在“半條被子”里，數(shù)學(xué)知識隱藏在“點(diǎn)子紙”中。運(yùn)用之妙，存乎一心。能看到什么，取決于心中有什么。

最后，我想學(xué)著王尚志先生的話，說：“點(diǎn)子紙，是個好東西，要多用?！?/p>