戴永剛

【摘要】新課標(biāo)背景下，廣大一線教育工作者逐漸開始重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維進(jìn)行培養(yǎng).文章以《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》為在初中數(shù)學(xué)課程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)的主要依據(jù)，對(duì)數(shù)學(xué)思維內(nèi)涵以及初中生所需形成的數(shù)學(xué)思維類型進(jìn)行了簡(jiǎn)要梳理，并在此基礎(chǔ)上，以北師大版初中數(shù)學(xué)教材為關(guān)鍵案例展開分析，從“聯(lián)系生活”“一題多解”“變式訓(xùn)練”三個(gè)角度闡述了在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的策略方法，意在促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)思維品質(zhì)進(jìn)階與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)思維；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；教學(xué)策略

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“課程理念”中指出，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會(huì)和個(gè)人發(fā)展所需要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，并在“課程目標(biāo)”中，用“三會(huì)”（會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界、會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界和會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界）概括總結(jié)了學(xué)生在數(shù)學(xué)課程中所需形成與發(fā)展的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).由此可見在初中階段的數(shù)學(xué)課程中加強(qiáng)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)與鍛煉的重要性.下面筆者便從簡(jiǎn)要梳理初中生所需形成的數(shù)學(xué)思維類型入手，對(duì)在具體的數(shù)學(xué)課程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方法展開分析.

一、基于新課標(biāo)解讀數(shù)學(xué)思維內(nèi)涵

新課標(biāo)指出，在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運(yùn)算能力、推理意識(shí)和推理能力.通過經(jīng)歷獨(dú)立的數(shù)學(xué)思維過程，義務(wù)教育階段學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)對(duì)象之間與數(shù)學(xué)和現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系；能夠?qū)?shù)學(xué)基本方法與結(jié)論作出合乎邏輯的解釋或論證；能運(yùn)用數(shù)學(xué)分析、解釋簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)問題和實(shí)際問題；能積極探究自然現(xiàn)象與真實(shí)情境中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)規(guī)律，經(jīng)歷數(shù)學(xué)的“再發(fā)現(xiàn)”過程；能形成質(zhì)疑問難的批判性思維、實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.概括而言，數(shù)學(xué)思維，就是義務(wù)教育階段學(xué)生通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，能用數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方式與數(shù)學(xué)思想方法，解決數(shù)學(xué)學(xué)科、其他學(xué)科與現(xiàn)實(shí)世界問題，是學(xué)生實(shí)現(xiàn)智力發(fā)展、形成理性精神與發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

二、初中生所需形成的數(shù)學(xué)思維類型

新課標(biāo)在“課程內(nèi)容”部分中規(guī)定了初中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，共由“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”“綜合與實(shí)踐”四個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域構(gòu)成，并在各個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域中設(shè)置了不同數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主題，將初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所需掌握與理解的數(shù)學(xué)課程知識(shí)進(jìn)行了概括與總結(jié).通過對(duì)新課標(biāo)的精研細(xì)讀與對(duì)北師大版初中數(shù)學(xué)教材的深耕，筆者將初中生在數(shù)學(xué)課程中所需形成與具備的數(shù)學(xué)思維據(jù)其用途分為數(shù)形結(jié)合思維、邏輯推理思維和創(chuàng)新批判思維三類.其中：數(shù)形結(jié)合思維，是學(xué)生能主動(dòng)建立起數(shù)學(xué)中數(shù)量關(guān)系與圖形關(guān)系的聯(lián)系，并進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)學(xué)科思維；邏輯推理思維，是學(xué)生能根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界間的邏輯關(guān)聯(lián)，綜合運(yùn)用歸納推理、類比推理與演繹推理等多種推理手段展開多元思考的思維能力；創(chuàng)新批判思維，則是學(xué)生能夠打開思路對(duì)已知進(jìn)行合乎邏輯的批判質(zhì)疑，并形成具有創(chuàng)造性見解與想法的思維能力，同時(shí)也是學(xué)生發(fā)展創(chuàng)新能力與實(shí)踐能力的重要基礎(chǔ).

綜合以上分析可知，在初中階段的數(shù)學(xué)課程中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，不僅是落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)育人目標(biāo)的核心關(guān)鍵，也是彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科獨(dú)特育人功能與促進(jìn)初中生實(shí)現(xiàn)全面發(fā)展的可行路徑.

三、在核心素養(yǎng)視域下培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效策略

基于對(duì)數(shù)學(xué)思維素養(yǎng)內(nèi)涵的解讀與對(duì)初中生所需形成的三種數(shù)學(xué)思維類型的梳理，在初中階段的數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師便可通過增強(qiáng)數(shù)學(xué)與生活關(guān)聯(lián)、積極探尋一題多解方法和多元組織變式訓(xùn)練活動(dòng)的方式，對(duì)初中生的數(shù)學(xué)思維進(jìn)行針對(duì)性培養(yǎng).下面以北師大版初中數(shù)學(xué)教材為例，對(duì)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的做法展開論述.

（一）聯(lián)系生活，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新批判數(shù)學(xué)思維

會(huì)從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度解釋與思考現(xiàn)實(shí)生活中的現(xiàn)象、問題，是在初中數(shù)學(xué)課程中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的根本目的.初中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中開展培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的工作時(shí)，可融合陶行知的生活教育理念，立足數(shù)學(xué)源于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界抽象的課程本質(zhì)，應(yīng)用情境教學(xué)法為學(xué)生創(chuàng)設(shè)真實(shí)的問題情境，引領(lǐng)學(xué)生站在數(shù)學(xué)學(xué)科的角度上，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思維方式與思想方法解決處理實(shí)際生活中客觀存在的真實(shí)問題，在深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科實(shí)用性、工具性與應(yīng)用性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過用數(shù)學(xué)、做數(shù)學(xué)形成學(xué)用結(jié)合、學(xué)創(chuàng)結(jié)合的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，進(jìn)而發(fā)展創(chuàng)新批判思維.

例如，在北師大版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)教材“探索三角形全等的條件”習(xí)題課中，初中數(shù)學(xué)教師可為學(xué)生布置如下用三角形全等條件測(cè)距的生活問題，啟發(fā)學(xué)生更有創(chuàng)意地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、思維方式與思想方法解決實(shí)際問題.

【習(xí)題一】現(xiàn)有一條輸電線需橫跨一個(gè)池塘（如圖1），在該池塘的兩側(cè)A，B處各有一根電線桿，但電工無法用皮尺準(zhǔn)確測(cè)量出A，B兩根電線桿間的距離.請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)方案，幫助電工測(cè)出A，B兩根電線桿間的距離，并說清理由.

【習(xí)題二】如圖2，將AB，CD兩根鋼條的中點(diǎn)連在一起，可制作出一個(gè)測(cè)量工件內(nèi)槽寬的工具———卡鉗.現(xiàn)要求一個(gè)工件的內(nèi)徑BD=10mm，測(cè)得AC距離為12mm，那么這個(gè)工件是否符合標(biāo)準(zhǔn)？為什么？

【習(xí)題三】在安裝電線桿時(shí)，需確保固定電線桿的兩根纜繩長(zhǎng)度相同.現(xiàn)有一根電線桿MN直立于地面之上（如圖3），用AB，AC兩根纜繩將其加固，但由于皮尺長(zhǎng)度不夠，無法測(cè)量出兩根纜繩長(zhǎng)度是否相等，請(qǐng)你設(shè)計(jì)方案，找出保證兩根纜繩長(zhǎng)度相同的方法.

以上三道題均是用三角形的全等條件解決處理現(xiàn)實(shí)生活中距離測(cè)量問題的數(shù)學(xué)習(xí)題.在分析思考習(xí)題一時(shí)，初中生能根據(jù)題意，在池塘外任意取一點(diǎn)能夠直接抵達(dá)A，B兩根電線桿的點(diǎn)C，并通過延長(zhǎng)AC與BC，構(gòu)造出與△ABC全等的△DEC，得出“測(cè)出△DEC中DE長(zhǎng)即可得AB長(zhǎng)”的結(jié)論；在處理解決習(xí)題二時(shí)，學(xué)生則能夠利用已知的線段中點(diǎn)知識(shí)與“SAS”三角形全等判定條件，對(duì)卡鉗這一工具的原理作出解釋說明，從而推斷出工件不符合標(biāo)準(zhǔn)；在處理習(xí)題三時(shí)，學(xué)生則能夠運(yùn)用直角三角形的特殊全等判定條件“HL”，獲得“只需保障BN=CN，即可確保AB，AC兩根纜繩長(zhǎng)度相等”的問題答案.

在從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度分析與解決以上數(shù)學(xué)習(xí)題的過程中，學(xué)生可深刻感知與體會(huì)到三角形全等條件在現(xiàn)實(shí)世界中的應(yīng)用價(jià)值，逐步形成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)與數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識(shí)，同時(shí)，學(xué)生在充分調(diào)動(dòng)已知數(shù)學(xué)知識(shí)分析、思考與解決問題時(shí)，其數(shù)學(xué)解題能力、數(shù)學(xué)推理能力和創(chuàng)新批判思維能力也會(huì)得到相應(yīng)的鍛煉，從而形成從數(shù)學(xué)的角度思考現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)學(xué)思維.

（二）一題多解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思維

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)科中最為重要與關(guān)鍵的思想方法，同時(shí)是初中生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必須掌握與熟練應(yīng)用的一種數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)解題思維方式.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思維，教師可精心設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，啟發(fā)學(xué)生積極探索更有創(chuàng)造性的解題方法，引領(lǐng)學(xué)生突破因慣性思維而引起的思維定式，讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的思維方式形成更具體、更深刻的認(rèn)識(shí)體會(huì)，從而得到數(shù)學(xué)思維品質(zhì)的進(jìn)階與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效率的提升.

【解法一】常規(guī)解法，類比一元一次方程解法解一元一次不等式.

解：去分母，可得2（1-2x）≥4-3x.

去括號(hào)，得2-4x≥4-3x.

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，可得-x≥2.

兩邊同時(shí)乘-1，得x≤-2.

【解法二】轉(zhuǎn)化解法，將一元一次不等式看作一次函數(shù)解題.

解：通過去括號(hào)、去分母、移項(xiàng)與合并同類項(xiàng)，可得-x-2≥0，將此不等式看作一次函數(shù)y=-x-2，畫出函數(shù)圖像.

從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程和一元一次不等式，是初中生在數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)中需要形成初步認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵數(shù)學(xué)思想方法，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)二元一次方程組、二次函數(shù)和一元二次方程解法起重要鋪墊作用.在培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思維的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師通過設(shè)置具有一定啟發(fā)性與誘導(dǎo)性的數(shù)學(xué)問題來啟迪學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)與圖像探索解一元一次不等式，能夠讓學(xué)生由衷地感知到形象的圖形與抽象的數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，同時(shí)學(xué)會(huì)以更為發(fā)散與活躍的思維方式思考與探索數(shù)學(xué)問題.在用數(shù)軸、一次函數(shù)圖像刻畫一元一次不等式中的數(shù)量關(guān)系時(shí)，學(xué)生會(huì)認(rèn)識(shí)到一次函數(shù)刻畫的是兩個(gè)變量間的相互依賴關(guān)系，一元一次方程刻畫的是變量與等式的關(guān)系，一元一次不等式刻畫的是兩個(gè)變量在滿足某一特定條件時(shí)的狀態(tài)，進(jìn)而建構(gòu)起相較于以往更為完善系統(tǒng)的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)深度數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與思維能力進(jìn)階.

（三）變式訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理數(shù)學(xué)思維

在初中階段的數(shù)學(xué)課程中，變式訓(xùn)練是一種較常見的思維鍛煉活動(dòng)與解題能力培養(yǎng)活動(dòng).在學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理方面的數(shù)學(xué)思維，教師可充分借助變式訓(xùn)練的積極作用與育人優(yōu)勢(shì)，通過合理轉(zhuǎn)化與變形數(shù)學(xué)問題，促進(jìn)學(xué)生深入思考，讓學(xué)生在應(yīng)用類比推理、演繹推理與歸納推理等多種推理手段解決數(shù)學(xué)問題的過程中，得到數(shù)學(xué)思維能力的有機(jī)鍛煉.

例如，在北師大版九年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)教材“矩形的性質(zhì)與判定”一課中，初中數(shù)學(xué)教師就可對(duì)本課中的例題進(jìn)行合理變式.

例題 如圖5，四邊形ABCD是矩形，∠ABC=90°，對(duì)角線AC與DB相交于點(diǎn)O，求證：∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；AC=DB.

【變式一】在Rt△ABC中，BO是一條怎樣的特殊線段？其與矩形ABCD對(duì)角線有怎樣的關(guān)系？與Rt△ABC的斜邊AC有怎樣的關(guān)系？

【變式二】假如在矩形ABCD中，∠AOD=120°，AB=2.5，那么對(duì)角線AC與DB多長(zhǎng)？

【變式三】假如在矩形ABCD中，△ABO是等邊三角形，且AB=3，求矩形ABCD的面積.

【變式四】如圖6，在Rt△ACE中，D是AE中點(diǎn)，AB∥CD，CB∥AD，判斷四邊形ABCD的形狀，并證明.

在“矩形的性質(zhì)與判定”一課中，學(xué)生需掌握與認(rèn)識(shí)的幾何定理有很多，如矩形的四個(gè)角都是直角、矩形的對(duì)角線相等、直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形等.在以培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理思維能力為育人導(dǎo)向的初中數(shù)學(xué)課程教學(xué)中，教師對(duì)數(shù)學(xué)教材中的例題進(jìn)行合理變式，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂中開展由此及彼、觸類旁通的數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，既有益于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力與數(shù)學(xué)思維能力的持續(xù)提升，又能夠進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)本課錯(cuò)綜復(fù)雜幾何定理的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而取得“1+1>2”的高效教學(xué)效果.

結(jié) 語

在學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向下的初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，教師可以新課標(biāo)為主要依據(jù)，根據(jù)初中生所需形成的不同數(shù)學(xué)思維類型與特點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行針對(duì)性的培養(yǎng)和鍛煉，以此不斷提升教學(xué)質(zhì)量，真正落實(shí)立德樹人的根本任務(wù).

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