摘要：數(shù)學(xué)方法的抽象性給學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)帶來(lái)了距離感。應(yīng)融合數(shù)學(xué)方法的形成過(guò)程和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，讓數(shù)學(xué)方法的抽象性更容易被學(xué)生接受，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科的親和力。教師可帶領(lǐng)學(xué)生深入弱抽象過(guò)程，投入探究過(guò)程，融入再創(chuàng)造活動(dòng)，引入數(shù)學(xué)文化，淡化數(shù)學(xué)方法的抽象性，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)方法；抽象性；具象教學(xué)；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2024）02-0117-04

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中，數(shù)學(xué)眼光主要表現(xiàn)為：抽象能力（包括數(shù)感、量感、符號(hào)意識(shí)）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識(shí)。通過(guò)對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中基本數(shù)量關(guān)系與空間形式的觀察，學(xué)生能夠直觀理解所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)及其現(xiàn)實(shí)背景；能夠在生活實(shí)踐和其他學(xué)科中發(fā)現(xiàn)基本的數(shù)學(xué)研究對(duì)象及其所表達(dá)的事物之間簡(jiǎn)單的聯(lián)系與規(guī)律；能夠在實(shí)際情境中發(fā)現(xiàn)和提出有意義的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)探究；逐步養(yǎng)成從數(shù)學(xué)角度觀察現(xiàn)實(shí)世界的意識(shí)與習(xí)慣，發(fā)展好奇心、想象力和創(chuàng)新意識(shí)[1]。具象思維是直觀思維的初級(jí)形式，而形象思維是直觀思維的高級(jí)形式。數(shù)學(xué)具有抽象性，對(duì)于以直觀思維為主的小學(xué)生而言，抽象的數(shù)學(xué)是有理解難度的，具象思維是幫助他們理解抽象數(shù)學(xué)的重要手段。

數(shù)學(xué)的一個(gè)最基本的特征就是高度抽象，而且數(shù)學(xué)的抽象還不同于其他學(xué)科：數(shù)學(xué)不但研究的對(duì)象是抽象的、形式化的思維材料，而且數(shù)學(xué)研究的思辨方式也是抽象的。數(shù)學(xué)的抽象特征處理得不當(dāng)就會(huì)遮蔽數(shù)學(xué)學(xué)科應(yīng)有的親和力，掩蓋學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，影響數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效果，解決這一問(wèn)題的最佳策略是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的具象化。小學(xué)數(shù)學(xué)的概念、方法與思想等是隨著人類的發(fā)展以及數(shù)學(xué)本身的發(fā)展自然形成的。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)論認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思維過(guò)程是“從具體到抽象，從特殊到一般，由表及里，由現(xiàn)象到本質(zhì)”。筆者提出淡化數(shù)學(xué)方法的抽象性，不是要拋棄數(shù)學(xué)抽象性，而是主張融合數(shù)學(xué)方法的形成過(guò)程和學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維過(guò)程，讓數(shù)學(xué)方法的抽象性更容易被學(xué)生接受，增強(qiáng)數(shù)學(xué)學(xué)科的親和力。

一、深入弱抽象過(guò)程，在數(shù)學(xué)化中發(fā)現(xiàn)

數(shù)學(xué)研究的對(duì)象是抽象的、形式化的思想材料，但現(xiàn)實(shí)世界中畢竟沒(méi)有這些對(duì)象物化形式的實(shí)際存在，人類可能會(huì)依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象去形成相關(guān)的客觀背景，但它們依舊是人類思維抽象的產(chǎn)物。這種舍棄部分屬性、保留共同屬性的弱抽象過(guò)程讓部分學(xué)生感到陌生，但數(shù)學(xué)對(duì)象形成的客觀背景卻為教學(xué)提供了突破口：通過(guò)豐富感知的材料，經(jīng)過(guò)觀察、比較等活動(dòng)展示數(shù)學(xué)化的過(guò)程。

例如，在“倍的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生用小棒擺兩行，讓第二行的根數(shù)是第一行的5倍，開展比較：小棒的數(shù)量都不同，為什么第二行都是第一行的5倍？進(jìn)一步拓展：（第一行3根，第二行15根）第二行是第一行的幾倍？如何擺6倍、10倍、100倍？如果把小棒變成相對(duì)應(yīng)的綠帶子與紅帶子，紅帶子的長(zhǎng)是綠帶子的幾倍？去掉帶子的顏色，長(zhǎng)帶子是短帶子的幾倍？帶子變成線段，再標(biāo)上長(zhǎng)度，第二條線段的長(zhǎng)度是第一條的幾倍？學(xué)生會(huì)自覺(jué)地想到用除法計(jì)算倍數(shù)關(guān)系。教師追問(wèn)這里為什么用除法。學(xué)生發(fā)現(xiàn)就是求10里面有幾個(gè)2，所以用除法計(jì)算。

這個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程實(shí)際上和人類認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程是一致的：從小棒這樣的實(shí)物之間的倍數(shù)開始動(dòng)手操作，先把小棒抽象為彩帶，去掉彩帶的顏色，再把彩帶抽象為線段，最后把線段抽象為用數(shù)據(jù)表示的長(zhǎng)度，成倍數(shù)的兩個(gè)量可以有不同的表現(xiàn)形式，但只要是把一個(gè)量看作1份，另一個(gè)量有這樣的5份，就是5倍的關(guān)系。學(xué)生通過(guò)兩個(gè)數(shù)量之間的5倍關(guān)系由具體到抽象的過(guò)程，認(rèn)識(shí)到求兩個(gè)量之間的倍數(shù)關(guān)系用除法。抽象的數(shù)量之間倍的關(guān)系經(jīng)歷了這樣的生成過(guò)程，運(yùn)用圖例、實(shí)物等思維“可視化”技術(shù)可將學(xué)生看不見的思維方法呈現(xiàn)出來(lái)，使學(xué)生思維變得清晰，從而幫助學(xué)生理解概念、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、掌握方法、建構(gòu)思想等[2]。

二、投入探究過(guò)程，在猜想驗(yàn)證中體驗(yàn)

數(shù)學(xué)的思維方式以抽象的思辨為主，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评韺?duì)小學(xué)生而言過(guò)于抽象，學(xué)生會(huì)感到比較陌生。根據(jù)小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，無(wú)論是教材的編寫人員，還是一線的教育專家都建議：數(shù)學(xué)教學(xué)中多運(yùn)用合情推理的探索方法來(lái)得出結(jié)論。這種合情推理的方法就是從一類對(duì)象的部分對(duì)象都具有的某種性質(zhì)中推出這類對(duì)象全體都具有這種性質(zhì)，從一個(gè)或幾個(gè)特殊情形中推出一般性結(jié)論的歸納推理方法。實(shí)踐證明學(xué)生很容易接受并掌握這種方法。

在“分?jǐn)?shù)除以整數(shù)”的教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)探究過(guò)程，讓學(xué)生獲得觀察猜想和舉例驗(yàn)證的體驗(yàn)。

（一）搭建觀察猜想的平臺(tái)

數(shù)學(xué)的歷史表明，數(shù)學(xué)的發(fā)展與數(shù)學(xué)猜想密切聯(lián)系。猜想時(shí)，往往要將問(wèn)題加以特殊化和具體化，對(duì)觀察到的現(xiàn)象和情況進(jìn)行分析、比較、綜合、歸納，把其中本質(zhì)的性質(zhì)抽取出來(lái)，目的是為了提出合理的猜想。它不是對(duì)問(wèn)題的所有可能的情況進(jìn)行歸納，而是從若干個(gè)別的事實(shí)中看到真理的端倪或身影，從中受到啟發(fā)，提出假設(shè)和猜想。

教師出示這樣的題組：“老師帶來(lái)了同樣大小的4個(gè)橙子分給小朋友，每人吃2個(gè)，一共可以分給幾個(gè)小朋友？每人吃1個(gè)呢？每人吃?個(gè)呢？”通過(guò)追問(wèn)“為什么這里都用除法？”，讓學(xué)生感知4里面有幾個(gè)“1份”。教師引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)分圓片來(lái)觀察思考：“4里面有幾個(gè)?呢？”學(xué)生觀察圓片可以很快看出4里面有8個(gè)? ? ?。仔細(xì)對(duì)比4÷? ? ?、4×2這兩個(gè)式子，有些思維能力較強(qiáng)的學(xué)生當(dāng)時(shí)就能提出這樣的猜想：似乎一個(gè)數(shù)除以幾分之一等于乘幾分之一的倒數(shù)。

（二）提供舉例檢驗(yàn)的空間

小學(xué)數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中的檢驗(yàn)，并不是通常意義上的數(shù)學(xué)證明，即不是邏輯推理的論證，因此這樣的猜想驗(yàn)證才會(huì)被小學(xué)生接受。這種探究性的檢驗(yàn)，實(shí)際上是借助特例或反例，對(duì)所提出的猜想進(jìn)行思想驗(yàn)證。通過(guò)這樣的檢驗(yàn)，或提高猜想的可信度，或?qū)υ瓉?lái)的猜想進(jìn)行改進(jìn)，或推翻原來(lái)的猜想。

針對(duì)提出猜想后學(xué)生感覺(jué)到還需要再探究一些例子，教師及時(shí)呈現(xiàn)以下例子：“如果每人吃? ? 個(gè)，可以分給幾人？如果每人吃? ? 個(gè)呢？”讓學(xué)生分組研究，學(xué)生邊操作邊思考，找到解決問(wèn)題的辦法，認(rèn)識(shí)到4÷? ? 和4÷? ?這兩個(gè)例子都可以用整數(shù)乘這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)來(lái)算。有學(xué)生持懷疑態(tài)度：這個(gè)結(jié)論有可能是對(duì)的，但目前我們還不能確定。然后再追問(wèn)：怎么才能確定這個(gè)結(jié)論是正確的呢？有學(xué)生提出：可以用4除以一個(gè)任意的分?jǐn)?shù)試試看。教師再引導(dǎo)：是不是每個(gè)人所舉的例子都可以用乘倒數(shù)算呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)全班同學(xué)的幾十個(gè)例子中都找不到反例，結(jié)論正確的情況越多，結(jié)論的可靠性就越大。此時(shí)，教師深入提問(wèn)：“有沒(méi)有同學(xué)的例子能代表所有的同學(xué)所舉的例子？”啟發(fā)學(xué)生舉出一般性的例子：“4個(gè)橙子，如果每人吃? ? ?個(gè)，可以分給幾人？（n不為0）”當(dāng)然，這個(gè)例子概括了這種問(wèn)題的所有情況，已涉及代數(shù)的內(nèi)容，具有很強(qiáng)的抽象性。

通過(guò)以上層層深入的幾個(gè)步驟，學(xué)生充分地自主探究、體驗(yàn)，思維從具體到抽象、從特殊到一般。這樣探究的方式，學(xué)生樂(lè)于接受，同時(shí)還可提升不完全歸納的可靠性，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)精神。

三、融入再創(chuàng)造活動(dòng)，在親身實(shí)踐中提煉

數(shù)學(xué)思想方法是對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，是對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)過(guò)程中提煉概括的基本觀點(diǎn)和根本想法，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)具有普遍的指導(dǎo)意義，是數(shù)學(xué)的靈魂。數(shù)學(xué)思想方法不能單獨(dú)存在，而是蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)知識(shí)中，特別蘊(yùn)含在數(shù)學(xué)概念和原理的形成過(guò)程中。這就要求我們有意識(shí)地安排從中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法的過(guò)程[3]。實(shí)踐中應(yīng)當(dāng)充分利用概念和原理的形成過(guò)程，讓學(xué)生在教師的指導(dǎo)下經(jīng)歷數(shù)學(xué)思想方法的再創(chuàng)造過(guò)程，即悟數(shù)學(xué)思想方法。悟需要實(shí)踐過(guò)程，需要一個(gè)循序漸進(jìn)、逐步逼近思想本質(zhì)的過(guò)程。

重疊問(wèn)題在日常生活中應(yīng)用比較廣泛，具有濃濃的生活味。集合是比較系統(tǒng)抽象的數(shù)學(xué)思想方法，針對(duì)小學(xué)生的認(rèn)知水平，讓學(xué)生通過(guò)生活中容易理解的題材去初步體會(huì)集合思想，學(xué)生能夠用自己所悟到的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)解決問(wèn)題[4]。因此，在“重疊問(wèn)題”的教學(xué)中，集合圖的生成及理解一定要作為重中之重，因?yàn)榧蠄D滲透著集合的數(shù)學(xué)思想。集合圖的生成過(guò)程就是集合思想的滲透過(guò)程。學(xué)生初次接觸，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)是一個(gè)認(rèn)知的跨越，也是一個(gè)思維的跨越。

在教學(xué)中，首先，為學(xué)生提供含有重疊問(wèn)題的信息：參加定點(diǎn)投籃比賽的同學(xué)的名單和參加運(yùn)球跑比賽的同學(xué)的名單。其次，引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題時(shí)多加思考：需要選拔多少人參加這兩項(xiàng)比賽？為什么有的計(jì)算的結(jié)果比實(shí)際數(shù)量要多？再次，激發(fā)學(xué)生整理重復(fù)信息。整理的結(jié)果應(yīng)該符合這樣的標(biāo)準(zhǔn)：體現(xiàn)形象、美觀、簡(jiǎn)單的特點(diǎn)，便于觀察。最后，在課堂上讓學(xué)生充分地自主整理，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了很多整理的方式：

方式1：

參加定點(diǎn)投籃比賽的：1、2、3、（4、5）

參加運(yùn)球跑比賽的：6、7、8、9、（4、5）

括號(hào)里是兩項(xiàng)都參加的

方式2：

只參加定點(diǎn)投籃比賽的：（1、2、3）

只參加運(yùn)球跑比賽的：（6、7、8、9）

兩項(xiàng)都參加的：（4、5）

方式3：

只參加定點(diǎn)投籃比賽的：（1、2、3）

兩項(xiàng)都參加的：（4、5）

只參加運(yùn)球跑比賽的：（6、7、8、9）

方式4：（分別對(duì)應(yīng)文字下方內(nèi)容，括號(hào)里兩項(xiàng)都參加）

參加定點(diǎn)投籃比賽的：? ? ?參加運(yùn)球跑比賽的：

1、2、3、（4、5）、6、7、8、9

教師追問(wèn)：表示信息的方式各有什么特點(diǎn)呢？哪一種表示方式最好？找一找心目中理想的方法。多種不同的方式可以引發(fā)學(xué)生思維的碰撞。

學(xué)生的再創(chuàng)造源于自身對(duì)問(wèn)題的深切感受和教師的恰當(dāng)引導(dǎo)，是學(xué)生為了解決問(wèn)題的必然選擇，從而使再創(chuàng)造成為可能。經(jīng)歷這樣的再創(chuàng)造，學(xué)生對(duì)抽象的、集合的數(shù)學(xué)思想方法不再陌生，感覺(jué)這些方法就在自己身邊，當(dāng)學(xué)生需要時(shí)，經(jīng)過(guò)思考，這些數(shù)學(xué)思想方法就會(huì)得以運(yùn)用。

四、引入數(shù)學(xué)文化，在具象探究中提升

教師不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)的傳遞者，也是數(shù)學(xué)文化的介紹者，更是學(xué)生數(shù)學(xué)觀念的締造者[5]。數(shù)學(xué)文化是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的“活化石”。課堂上教師不僅能把數(shù)學(xué)文化當(dāng)作開拓視野的內(nèi)容，而且可以借鑒數(shù)學(xué)文化中經(jīng)典方法的實(shí)際運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生在具象的探究中，創(chuàng)造性地解決一些數(shù)學(xué)方法探索中的矛盾。

將數(shù)學(xué)文化中的內(nèi)在美引入課堂，在數(shù)學(xué)文化中追尋數(shù)學(xué)的美，不僅有利于學(xué)習(xí)困難的解決，而且有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方法產(chǎn)生親切感。例如，學(xué)生對(duì)圓周率已知曉，但教師故意“攪局”，問(wèn)道：墨子說(shuō)“大圓之圓與小圓之圓同”，《周髀算經(jīng)》說(shuō)“周三徑一”，都是書上記載，為什么會(huì)不同呢？在這樣的問(wèn)題思考中，引發(fā)認(rèn)知沖突，學(xué)生就會(huì)精心測(cè)量周長(zhǎng)、直徑，認(rèn)真地計(jì)算。學(xué)生的探究還是得不到3.14。甚至教師的親自動(dòng)手測(cè)量計(jì)算都得不到理想的數(shù)據(jù)，學(xué)生感覺(jué)到用測(cè)量的辦法是永遠(yuǎn)無(wú)法得到這個(gè)答案的。基于這樣的憤悱情緒，學(xué)生就會(huì)有去探尋中外數(shù)學(xué)家解決圓周率問(wèn)題的動(dòng)機(jī)。“割圓術(shù)”在此時(shí)的出現(xiàn)水到渠成，教師介紹“割圓術(shù)”：不斷倍增圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)求出圓周長(zhǎng)的方法。按照這樣的思路，由此而求得了圓周率為3.14和3.1416這兩個(gè)近似數(shù)值。教師讓學(xué)生討論“割圓術(shù)”和“操作測(cè)量法”比較有什么優(yōu)點(diǎn)。學(xué)生感覺(jué)到越是把圓周分割得細(xì)，誤差就越少，其內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)就越是接近圓周。如此不斷地分割下去，一直到圓周無(wú)法再分割為止，也就是到了圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無(wú)限多的時(shí)候，它的周長(zhǎng)就與圓周“合體”而完全一致了。

“割圓術(shù)”數(shù)學(xué)方法的巧妙和數(shù)學(xué)思想方法的創(chuàng)造讓學(xué)生在形象生動(dòng)的探究過(guò)程中感受到數(shù)學(xué)的美好。在具象探究中解決圓周率的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶、數(shù)學(xué)美的感染，被培養(yǎng)了這樣的觀念：當(dāng)一種方法難以解決一個(gè)問(wèn)題時(shí)，就得另辟蹊徑，這就是數(shù)學(xué)上的創(chuàng)新。

教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)堅(jiān)持循序漸進(jìn)，逐步深入；強(qiáng)調(diào)從特殊到一般，從具體到抽象；克服急于求成、急功近利的思想。教師帶領(lǐng)學(xué)生深入弱抽象過(guò)程，投入探究過(guò)程，融入再創(chuàng)造活動(dòng)，引入數(shù)學(xué)文化，淡化數(shù)學(xué)方法的抽象性，讓不同智力水平的學(xué)生獲得基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)：

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：5-6.

[2]徐萌.聚焦思維“可視化”，引領(lǐng)學(xué)生走向數(shù)學(xué)意義的深刻理解[J].教育觀察，2019（8）：100-101.

[3]陳志凱.指向思維可視化的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)策略[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2022（4）：17-18.

[4]徐慧萍.講究教學(xué)策略 提升思維品質(zhì)[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2018（9）：16-17.

[5]陳華忠.提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的五個(gè)著眼點(diǎn)[J].江西教育，2016（29）：73-74.

責(zé)任編輯：石萍

收稿日期：2023-12-11

作者簡(jiǎn)介：程偉偉，南京市鼓樓實(shí)驗(yàn)小學(xué)，主要研究方向?yàn)樾W(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。