【摘 要】課堂作為數(shù)學課程實施的主要陣地，擔負著發(fā)展學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的重要任務(wù)。在中學數(shù)學課堂教學中，教師可以通過情境激趣、問題驅(qū)動、體驗積淀、道理感悟等方式，引領(lǐng)“情境—問題”教學，構(gòu)建“有深度”數(shù)學課堂，引導(dǎo)深度學習發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】中學教學；核心素養(yǎng)；“有深度”數(shù)學課堂；“三度”數(shù)學課堂；正弦定理

【中圖分類號】G633.6? 【文獻標志碼】A? 【文章編號】1005-6009（2024）11-0019-05

【作者簡介】姜文，貴州師范大學（貴陽，550025）數(shù)學科學學院講師。

有深度的數(shù)學課堂是指：教師在教學過程中以“教思考、教體驗、教表達”為基本教育理念進行教學設(shè)計，同時依托教學環(huán)境實施教學，從而使學生在學習中達到深度學習的目標，進而落實學生核心素養(yǎng)尤其是數(shù)學學科核心素養(yǎng)培養(yǎng)。［1］本文聚焦構(gòu)建核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學“有深度”的數(shù)學課堂進行探索，擬為一線教師的數(shù)學課堂教學提供參考。

一、核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學“有深度”數(shù)學課堂的實施途徑

從實操層面講，“深度學習”是指學生學習興趣濃厚，能提出問題、解決問題，能自主地、探究式地學習，能理解學習內(nèi)容的核心，能在表達、交流中促進所學知識的遷移和應(yīng)用的學習方式。因而，深度學習應(yīng)指向引領(lǐng)學生深層次、批判性思考。為此，一要有“核心問題”引領(lǐng)課堂學習，用問題激活學生思考；二要留出時間、空間，引導(dǎo)學生在探究中學習，獲得知識再發(fā)現(xiàn)的體驗；三要引導(dǎo)學生在生生、師生對話中把握知識的內(nèi)涵，在自主解決問題的交流中加深思考。數(shù)學是思維的產(chǎn)物，數(shù)學教育重在培育學生的思維能力。數(shù)學學習，重在讓學生在獨立思考、自主探索中長見識、悟道理。因此，我們主張用“三教”引領(lǐng)“情境—問題”教學，構(gòu)建“有深度”的數(shù)學課堂，促進學生“長見識、悟道理”，引導(dǎo)深度學習發(fā)生。

“有深度”的數(shù)學課堂利于學生養(yǎng)成“愛思考、重體驗、善表達”的學習習慣：愛思考是引導(dǎo)學生深度學習發(fā)生的靈魂，重體驗是引導(dǎo)學生深度學習發(fā)生的關(guān)鍵，善表達是引導(dǎo)學生深度學習發(fā)生的重點。［1］因此，結(jié)合“有深度”的數(shù)學課堂注重引導(dǎo)學生積極思考、自主體驗、善于表達的特征［1］，我們認為核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學“有深度”數(shù)學課堂需要圍繞如下四點實施教學［2］-［3］：

（一）情境激趣

教師要創(chuàng)設(shè)恰當?shù)膯栴}情境來激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，特別是要恰當應(yīng)用學習情境激發(fā)學生的學習興趣。這里的問題情境要在考慮學生認知水平的基礎(chǔ)上，注重趣味性與挑戰(zhàn)性相結(jié)合，注重培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維和實踐能力。情境可以與學生生活實際聯(lián)系起來，但要注意情境中蘊含的數(shù)學元素和數(shù)學道理。

（二）問題驅(qū)動

教師要引導(dǎo)學生在對問題情境的探究中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，通過問題驅(qū)動，層層遞進，引發(fā)學生的數(shù)學思考。這里，要注意問題設(shè)置的層次性和挑戰(zhàn)性，教學中要關(guān)注學生個體差異，注重團隊合作。

（三）體驗積淀

教師要通過活動探索，促進學生學習體驗的積淀；要引導(dǎo)學生在解決問題的過程中增長見識，獲得知識“再發(fā)現(xiàn)”的體驗。

（四）道理感悟

教師要鼓勵學生批判、質(zhì)疑，激發(fā)學生表達和求知的欲望，引導(dǎo)學生在表達交流中深度思考、感悟道理，促進學生長見識、悟道理。

二、核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學“有深度”數(shù)學課堂的教學案例

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

情境：某地為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個橋位樁A和B。（如圖1）現(xiàn)要確定A，B兩點之間的距離。施工隊的測量人員是這樣做的：第一步，在岸邊定出基線BC，測量出BC=78.35m；第二步，用測量儀器測得∠B=69°43′，∠C=41°12′；第三步，根據(jù)以上兩步的結(jié)果計算AB的長。你知道測量人員為什么要這樣做嗎？

（圖1）

【設(shè)計意圖】通過巧妙設(shè)置數(shù)學情境，以學生熟悉的情境為載體，巧妙設(shè)置“角邊角”型的解三角形問題，調(diào)動學生學習的積極性，讓學生體驗數(shù)學與生活的關(guān)聯(lián)，體會正弦定理在解決實際問題中的應(yīng)用。

（二）模型抽象，問題探究

師：為了研究的方便，我們將情境中的問題抽出來，并對數(shù)據(jù)做特殊化處理，變?yōu)橐韵聠栴}。

【問題1】如圖2，在△ABC中，已知∠B =75°，∠C = 45°，BC = 4，求AB的長。

（圖2）

這個問題學生會有多種思路，教學中教師要在肯定其他解決方法的同時，重點關(guān)注利于發(fā)現(xiàn)正弦定理的思路，把學生引到正弦定理的發(fā)現(xiàn)上來。例如，如下思路對發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理具有重要啟發(fā)：

如下頁圖3，由題可知，∠A = 60°，作AC邊上的高BD，記AB = c，BC = a。則sinC = [BDBC]，即BD = asinC = 4×[22] = 2[2]，同理BD = csinA=[32]c，因此[32]c = 2[2]，解得c = [463]。

這里，教師需要引導(dǎo)學生關(guān)注兩個方面：一是該思路蘊含了等量關(guān)系asinC = csinA，即[asinA] = [csinC]（為引導(dǎo)學生發(fā)現(xiàn)正弦定理作鋪墊）；二是直角三角形中一條直角邊與其對角的正弦的比的幾何意義是該直角三角形的斜邊（為引導(dǎo)學生利用三角形外接圓證明正弦定理作鋪墊）。

【設(shè)計意圖】將實際問題抽象為利于研究的數(shù)學問題，為進一步研究一般三角形的情形作鋪墊，同時也為發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理作鋪墊，在“體驗”中培養(yǎng)學生數(shù)學抽象和直觀想象素養(yǎng)。

【問題2】在△ABC中，已知∠B = 75°，∠C = 45°，BC = 4，如何求AC的長？

【問題3】問題1和問題2的結(jié)果表明，在銳角△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，則有[asinA] = [bsinB] = [csinC]。這是偶然還是必然？為什么？與同學交流。

【設(shè)計意圖】為學生發(fā)現(xiàn)正弦定理提供線索、作鋪墊，同時為學生“體驗”從特殊到一般的思維過程提供平臺。通過“教思考”，培養(yǎng)學生的邏輯推理和數(shù)學運算素養(yǎng)。

【問題4】我們已經(jīng)知道在銳角△ABC中有[asinA] = [bsinB] = [csinC]，這個結(jié)論在直角三角形和鈍角三角形中成立嗎？為什么？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生深層次、批判性思考，在表達、交流中促進所學知識的遷移和應(yīng)用，促進深度學習；引導(dǎo)學生在問題的探究中增長見識，獲得知識“再發(fā)現(xiàn)”的體驗。同時，通過讓學生回答該問題達到完善用作高法證明正弦定理的目的。

【問題5】你能用一句話來表述你發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論嗎？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生用簡潔的語言正確表述正弦定理的內(nèi)容，培養(yǎng)其表達能力，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)。

（三）定理發(fā)現(xiàn)，證法研析

基于以上討論，學生自主探究得到本節(jié)的重要定理——正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即[asinA] = [bsinB] = [csinC]。其中a，b，c分別為角A，B，C所對的邊。

【問題6】你現(xiàn)在明白開始給的情境中測量人員那樣做的原理了嗎？對此，你有什么感想？談?wù)勀愕恼J識。

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生借助正弦定理快速地解決情境中的問題，讓學生體會數(shù)學與生活的聯(lián)系。同時，在交流與表達中進一步激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，增強其學好數(shù)學的信心，促進深度學習目標的達成。

【問題7】向量是溝通幾何與代數(shù)的重要橋梁。同時，向量是解決許多數(shù)學問題的重要工具，特別是涉及長度、夾角等幾何問題時，可以通過向量及其運算得到快速解決。對于正弦定理的證明，可以從向量的角度來思考嗎？如果可以，怎么做？

【設(shè)計意圖】在經(jīng)歷作高法證明正弦定理之后引導(dǎo)學生用向量法證明正弦定理，培養(yǎng)其發(fā)散思維。教學中，教師以銳角三角形為例引導(dǎo)學生思考，而把直角三角形和鈍角三角形的情形留給學生課后完成，并要求學生撰寫向量法證明正弦定理的體會和感想。

【問題8】正弦定理的形式非常優(yōu)美，它給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對的角的正弦之間的一個定量關(guān)系。結(jié)合這個關(guān)系式，你覺得正弦定理可以解決哪些類型的問題？

【設(shè)計意圖】引導(dǎo)學生從定理本身的形式出發(fā)思考定理的用途——正弦定理可以解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問題和“已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形”的問題。

（四）典例剖析，方法歸納

例1：在△ABC中，已知∠A = 15°，∠B = 45°，c= 3+[3]，解這個三角形。

【設(shè)計意圖】直接利用正弦定理解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問題。

例2：在△ABC中，已知∠B = 30°，b = [2]，c= 2，解這個三角形。

【設(shè)計意圖】直接利用正弦定理解決“已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形”的問題，同時啟發(fā)學生關(guān)注對正弦定理解三角形中多解問題的討論，特別是如何根據(jù)正弦定理判定解的個數(shù)問題。

（五）課堂小結(jié)，延伸思考

1.課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學生從以下三方面作小結(jié)：一是本節(jié)的基礎(chǔ)知識和基本方法；二是正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程；三是在定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中感悟了什么道理。

2.延伸思考

思考1：如果[asinA] = [bsinB] = [csinC] = k，那么實數(shù)k的幾何意義是什么呢？它可否由△ABC的某個（些）元素來確定？

【設(shè)計意圖】每個三角形都可以當作是某個圓的內(nèi)接三角形，而三角形的邊均變成了圓的弦。［4］從數(shù)學歷史發(fā)展的角度來設(shè)置問題，為給出正弦定理的完整形式作鋪墊的同時，引出正弦定理的外接圓證法。

思考2：利用正弦定理能否推出余弦定理呢？與同伴交流。

【設(shè)計意圖】余弦定理、正弦定理和射影定理是解三角形的理論依據(jù)［5］，但是教材中沒有突出射影定理，因此教師可以引導(dǎo)學生論證正弦定理和余弦定理的等價性，以此深化學生對這兩個定理的認識，從而實現(xiàn)學生深度學習。

三、結(jié)束語

“有深度的數(shù)學課堂能夠促進學生對科學思想方法的感悟”［1］，其前提是以教師精心設(shè)計的問題來引領(lǐng)學生思考、體驗和表達交流。作為“有深度”數(shù)學課堂指導(dǎo)思想的“三教”是一個整體，教師通過問題和情境引導(dǎo)學生在思考中體驗，在體驗中思考，在思考和體驗的基礎(chǔ)上更準確地表達，并在體驗和表達中產(chǎn)生新的思考，進一步促進學生長見識、悟道理。故而，在設(shè)計教學時，問題之間的邏輯結(jié)構(gòu)就變得十分重要，“問題與問題之間是否具有內(nèi)在的統(tǒng)一性和遞進關(guān)系，決定著課堂學習推進的程度，看似獨立的問題，也應(yīng)當成為學生思維發(fā)展的臺階”［6］?！坝猩疃取钡慕虒W要求教師首先要對數(shù)學知識有深刻的理解，只有抓住數(shù)學的本質(zhì)，才能引發(fā)學生的思考。因此，教學中需要教師在充分理解數(shù)學本質(zhì)的基礎(chǔ)上精心設(shè)計隱蔽型的問題，并將學習的多重目標融入其中。這里，隱蔽型的問題不是“簡單”的問題，而是要盡量使問題體現(xiàn)“追求簡潔表面下的思維洶涌，用盡量簡潔的語言蘊藏豐富的數(shù)學知識”［6］。

上述教學案例從一個精心設(shè)計的問題情境出發(fā)，引導(dǎo)學生研究情境中蘊含的數(shù)學問題，并對數(shù)據(jù)進行特殊化處理，通過問題串的形式引導(dǎo)學生在分析問題和解決問題的過程中發(fā)現(xiàn)原理（正弦定理），進而證明原理的正確性，體驗從特殊到一般的思維方式。同時，學生在獲得正弦定理之后進一步用它解決問題，感受正弦定理在解決問題中的“威力”。通過引導(dǎo)學生“思考”“體驗”和“表達”，在經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)、證明及應(yīng)用的過程中促進學生深度學習，促進學生發(fā)展數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算等核心素養(yǎng)。值得注意的是，新課標將“解三角形”內(nèi)容放在“平面向量的應(yīng)用”中，其目的是“體現(xiàn)向量學習的整體性”［7］，“意在為向量的應(yīng)用提供一個重要載體，使學生進一步領(lǐng)悟向量法所蘊含的數(shù)學思想，掌握用向量運算解決幾何問題的基本要領(lǐng)和方法的同時，完善三角形的認知結(jié)構(gòu)”［8］。因此，向量法證明正弦定理是需要教師引導(dǎo)學生訓練的。受課堂教學時間的限制，教師將在課堂上無法完成的部分布置給學生課后完成，讓學生有足夠的時間和空間體驗正弦定理的不同證法之間的比較（特別是向量法），并撰寫心得體會。這有利于培養(yǎng)學生的數(shù)學表達能力，進而利于學生對思想方法的深度理解和把握，促進學生數(shù)學思維能力的提升。因為文字的表達需要學生經(jīng)過周密的思考，“沒有思考就沒有體驗，沒有體驗就難以表達，表達是思考和體驗的結(jié)果”。

【參考文獻】

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