尤文奕

摘 ? 要： 范希爾幾何思維水平理論是幾何教學(xué)的一個(gè)基本理論框架，在學(xué)生幾何思維水平評(píng)估以及課堂教學(xué)設(shè)計(jì)等方面都有著廣泛的應(yīng)用。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)苁箤W(xué)生親身參與、創(chuàng)造性地體驗(yàn)幾何知識(shí)和方法之發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，是提升學(xué)生幾何認(rèn)知與非認(rèn)知的重要方式。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)在實(shí)驗(yàn)要素、實(shí)驗(yàn)原則、實(shí)驗(yàn)路徑等方面可依據(jù)范希爾理論開(kāi)展設(shè)計(jì)并實(shí)施。在實(shí)踐過(guò)程中，還可以在學(xué)生幾何思維水平測(cè)試的科學(xué)性、教學(xué)環(huán)節(jié)與思維水平的匹配性上開(kāi)展進(jìn)一步研究。

關(guān)鍵詞： 范希爾理論；幾何思維水平；數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；探究型幾何實(shí)驗(yàn)

幾何是初中學(xué)生認(rèn)識(shí)并了解數(shù)學(xué)公理體系的重要載體，在促進(jìn)學(xué)生理性思維、科學(xué)精神的發(fā)展中有著不可替代的作用，有助于促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)、理解，以及表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》提出的初中階段學(xué)生核心素養(yǎng)中的幾何直觀、空間觀念、推理能力，都是幾何教學(xué)目標(biāo)的直接體現(xiàn)。范希爾幾何思維水平理論（以下簡(jiǎn)稱范希爾理論）作為長(zhǎng)期以來(lái)幾何教學(xué)中具有重要影響力的理論，對(duì)幾何教學(xué)有著指導(dǎo)性作用。下文將論述在范希爾理論指導(dǎo)下開(kāi)展幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)何以優(yōu)化幾何教學(xué)。

一、范希爾理論是幾何教學(xué)的基本理論框架

20世紀(jì)50年代，范希爾夫婦（Pierre Van Hiele & Dina Van Hiele）作為荷蘭一所中學(xué)的數(shù)學(xué)教師，在研究皮亞杰的認(rèn)知理論基礎(chǔ)上，提出了幾何學(xué)習(xí)中思維水平的五個(gè)層次以及與之有關(guān)的一系列理論，搭建幾何教學(xué)的一個(gè)基本理論框架。其核心理論有兩個(gè)，分別是幾何思維水平和相應(yīng)的幾何教學(xué)階段（見(jiàn)表1）。

范希爾理論具有雙重的意義：它們既可以作為診斷學(xué)生幾何思維水平的評(píng)估指標(biāo)，也可用于設(shè)計(jì)每個(gè)水平上的教學(xué)目標(biāo)與任務(wù)。因此，范希爾理論在幾何教學(xué)中的應(yīng)用是多方面的，其中包括課程編制、能力評(píng)估與教學(xué)設(shè)計(jì)等。

范希爾理論的提出，受到了各國(guó)數(shù)學(xué)教育者的關(guān)注，并成為當(dāng)時(shí)幾何教學(xué)研究的一個(gè)熱點(diǎn)。如今，范希爾模型已經(jīng)被運(yùn)用于許多國(guó)家的數(shù)學(xué)課程的編制，其中包括荷蘭、德國(guó)、俄羅斯與美國(guó)。范希爾理論還被作為不同教材比較研究的理論框架。范希爾理論在編制幾何課程上的作用，已經(jīng)得到了各國(guó)學(xué)術(shù)界的普遍認(rèn)可。

范希爾理論具有次序性、進(jìn)階性等特點(diǎn)，即學(xué)生幾何思維水平的發(fā)展逐層遞進(jìn)，學(xué)生在沒(méi)通過(guò)第n-1層次之前，無(wú)法到達(dá)第n層次；學(xué)生幾何思維水平的提升只能經(jīng)由教師教學(xué)，并不會(huì)隨年齡成長(zhǎng)或心理成熟而自然提升。沒(méi)有一種教學(xué)方法能讓學(xué)生跳過(guò)某一個(gè)水平而進(jìn)入下一個(gè)水平，即由上一個(gè)水平進(jìn)入下一個(gè)水平并非一蹴而就。1

二、初中幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)的價(jià)值追求

初中幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)是指為了研究初中階段某個(gè)幾何對(duì)象（幾何問(wèn)題），指導(dǎo)學(xué)生借助實(shí)驗(yàn)工具（傳統(tǒng)文具、信息技術(shù)、自制教具等）進(jìn)行畫(huà)圖操作、測(cè)量觀察、猜想歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)方式。幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)以動(dòng)手操作、直觀感受為表現(xiàn)形式，以動(dòng)腦思考、主動(dòng)建構(gòu)為內(nèi)在驅(qū)動(dòng)，旨在調(diào)動(dòng)學(xué)生多個(gè)感官參與并理解幾何對(duì)象。與初中物理化學(xué)實(shí)驗(yàn)不同的是，對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，幾何實(shí)驗(yàn)的結(jié)果是未知或部分未知的，更多的是采取幾何實(shí)驗(yàn)的手段進(jìn)行數(shù)學(xué)領(lǐng)域的探究和發(fā)現(xiàn)，驗(yàn)證結(jié)論的正確性。幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)的基本思想是以實(shí)驗(yàn)促發(fā)現(xiàn)，因?qū)嶒?yàn)獲理解，由實(shí)驗(yàn)生感悟，在實(shí)驗(yàn)中想象，在想象中論證。

在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》實(shí)施背景下，初中幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)能夠提升學(xué)生的幾何直觀、空間觀念、推理能力等核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)與方法的理解。初中幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)對(duì)于學(xué)生成長(zhǎng)的價(jià)值顯現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：

1.促進(jìn)核心素養(yǎng)的有效提升

教育部制定的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“課程理念”中指出，教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)難，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。在“課程內(nèi)容”中指出，“圖形的性質(zhì)”強(qiáng)調(diào)通過(guò)實(shí)驗(yàn)探究、直觀發(fā)現(xiàn)、推理論證來(lái)研究圖形，在用幾何直觀理解幾何基本事實(shí)的基礎(chǔ)上，推導(dǎo)圖形的幾何性質(zhì)和定理。在“課程實(shí)施”中指出，教師可以利用數(shù)學(xué)專用軟件等教學(xué)工具開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，將抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解和數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)。1

2.增強(qiáng)對(duì)幾何知識(shí)與方法的理解

追根溯源，現(xiàn)在初中數(shù)學(xué)中的幾何知識(shí)總體源于兩千多年前《幾何原本》，這些幾何知識(shí)中大多就是由觀察和測(cè)量開(kāi)始。從眾多的事例中我們不難發(fā)現(xiàn)其基本運(yùn)作邏輯，即通過(guò)歸納去猜想或假設(shè)，運(yùn)用邏輯推理的手段去證明并確定為定理，然后再將定理應(yīng)用于實(shí)踐中。由此可見(jiàn)，幾何實(shí)驗(yàn)是研究幾何知識(shí)與方法的重要手段之一。

3.激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，促進(jìn)主動(dòng)學(xué)習(xí)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)?zāi)軜O大地激發(fā)學(xué)生的興趣，引發(fā)學(xué)生的好奇心，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生以一種積極的態(tài)度投入實(shí)驗(yàn)、探究活動(dòng)之中。2 在幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，學(xué)生在學(xué)習(xí)的體驗(yàn)中激發(fā)自身的學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)習(xí)，逐漸形成主動(dòng)學(xué)習(xí)。

4.形成正確的學(xué)習(xí)觀

在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)并非只是一個(gè)定理或公式，更多的是生動(dòng)鮮明的經(jīng)歷。在一次次探索的經(jīng)歷與過(guò)程中，學(xué)生不斷反思、調(diào)整，最終完成學(xué)習(xí)任務(wù)。這種研究科學(xué)的方法、學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的獲得，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，以及樹(shù)立正確的學(xué)習(xí)觀念有著十分重要的作用。

三、初中幾何實(shí)驗(yàn)的類(lèi)型

由于實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、?shí)驗(yàn)材料、實(shí)驗(yàn)方式等差異，初中幾何實(shí)驗(yàn)分類(lèi)的方式也各有不同。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)論的未知程度，可將幾何實(shí)驗(yàn)分為探究型、感知型兩種類(lèi)型。

1.探究型實(shí)驗(yàn)

探究型實(shí)驗(yàn)是指在實(shí)驗(yàn)結(jié)論未知的前提下，學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)主題，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，經(jīng)歷觀察猜想，進(jìn)而獲得發(fā)現(xiàn)的幾何實(shí)驗(yàn)。在開(kāi)展探究型實(shí)驗(yàn)之前，學(xué)生并不知道所研究的對(duì)象存在怎樣的性質(zhì)，也不清楚實(shí)驗(yàn)操作后會(huì)有怎樣的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，學(xué)生完全基于實(shí)驗(yàn)主題，在實(shí)驗(yàn)手冊(cè)的指導(dǎo)下開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，充分經(jīng)歷知識(shí)發(fā)生發(fā)展的過(guò)程。

探究型實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)是：從實(shí)驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)來(lái)看，旨在學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，經(jīng)歷主動(dòng)發(fā)現(xiàn)的過(guò)程；從學(xué)生行為來(lái)看，學(xué)生自主性較強(qiáng)，實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)給學(xué)生以充分的理性思辨以及探究的空間，從而達(dá)成使學(xué)生自主經(jīng)歷學(xué)科研究與學(xué)習(xí)的目的；從研究對(duì)象來(lái)看，由于實(shí)驗(yàn)結(jié)論的不明確，因此需要學(xué)生理性分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，思考觀察猜想的合理性，這就為學(xué)生理解知識(shí)掌握方法提供了經(jīng)驗(yàn)。

2.感知型實(shí)驗(yàn)

感知型實(shí)驗(yàn)是指實(shí)驗(yàn)結(jié)論已知或已明確范圍，學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)主題，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，驗(yàn)證已知結(jié)論或發(fā)現(xiàn)給定范圍的結(jié)論的幾何實(shí)驗(yàn)。與探究型實(shí)驗(yàn)不同的是，在開(kāi)展感知型實(shí)驗(yàn)之前，學(xué)生已經(jīng)知道實(shí)驗(yàn)應(yīng)有的結(jié)果或大概知道實(shí)驗(yàn)結(jié)果的范圍。學(xué)生進(jìn)行感知型實(shí)驗(yàn)，并不是為了探究未知，而是在已知范圍內(nèi)經(jīng)歷結(jié)論的發(fā)生過(guò)程，感知實(shí)驗(yàn)過(guò)程中實(shí)驗(yàn)對(duì)象表現(xiàn)出的變與不變，進(jìn)而獲得對(duì)研究對(duì)象本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

感知型實(shí)驗(yàn)的特點(diǎn)是：從實(shí)驗(yàn)教學(xué)目標(biāo)來(lái)看，希望學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，理解實(shí)驗(yàn)對(duì)象的本質(zhì)；從學(xué)生行為來(lái)看，由于已經(jīng)掌握研究對(duì)象的研究屬性，因此學(xué)生實(shí)驗(yàn)的方案總體明確，學(xué)生自主性要低于探究型實(shí)驗(yàn)；從研究對(duì)象來(lái)看，由于實(shí)驗(yàn)結(jié)論基本明確，因此需要學(xué)生感受實(shí)驗(yàn)操作過(guò)程中的變化，并獲得對(duì)研究對(duì)象本質(zhì)的感悟。

四、基于范希爾理論的探究型幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)以其獨(dú)特的學(xué)科價(jià)值和育人價(jià)值，在幾何教學(xué)中有著重要的地位和作用。在開(kāi)展數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的過(guò)程中，需要科學(xué)理論的引領(lǐng)。因此，在以幾何對(duì)象為主的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與開(kāi)展中，需要通過(guò)范希爾理論構(gòu)建數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的體系。由于感知型實(shí)驗(yàn)在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中所占比例較小，因此，本文主要研究探究型實(shí)驗(yàn)在范希爾理論指導(dǎo)下的設(shè)計(jì)與實(shí)施。

1.探究型實(shí)驗(yàn)要素確定

探究型實(shí)驗(yàn)要素的確定，除了要具有實(shí)驗(yàn)因素以外，還需要從幾何思維水平的角度考察實(shí)驗(yàn)的價(jià)值。因此，探究型實(shí)驗(yàn)的要素可以確定為以下三項(xiàng)：

（1）基于視覺(jué)水平，知識(shí)的發(fā)生具有觀測(cè)性。知識(shí)的生成過(guò)程具有觀測(cè)性，是指知識(shí)的發(fā)生本身源于實(shí)驗(yàn)，測(cè)量、觀察是研究該類(lèi)知識(shí)的合理選擇。知識(shí)發(fā)生的觀測(cè)性反映的是范希爾幾何思維水平的視覺(jué)水平，通過(guò)探究型實(shí)驗(yàn)，學(xué)生能更順利地獲得基本概念，有利于思維水平的提升。

（2）基于分析水平，知識(shí)的生成具有操作性。有些知識(shí)的生成具有一定的操作性，通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作展現(xiàn)知識(shí)生成的動(dòng)態(tài)過(guò)程，更容易使學(xué)生產(chǎn)生對(duì)知識(shí)的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，從而產(chǎn)生幾何概念間的相互關(guān)系及聯(lián)系，更有利于分析水平的提升。

（3）基于非形式化演繹水平，問(wèn)題的呈現(xiàn)具有動(dòng)態(tài)性。有些幾何問(wèn)題在其解決過(guò)程中就蘊(yùn)含了實(shí)驗(yàn)性，通過(guò)實(shí)踐操作會(huì)使問(wèn)題的本質(zhì)變得更為直觀，更有利于學(xué)生做出非形式化的演繹推理。

這三個(gè)要素對(duì)應(yīng)范希爾幾何思維水平中相對(duì)較低的前三個(gè)水平。在這樣的前提下，開(kāi)展幾何實(shí)驗(yàn)才能使學(xué)生充分經(jīng)歷學(xué)科研究與學(xué)習(xí)的過(guò)程，并在探索的過(guò)程中充分地獲得經(jīng)驗(yàn)，形成自己的理性思辨能力，使自己的幾何思維水平進(jìn)一步提高到形式化演繹水平，甚至是嚴(yán)密性水平。

2.探究型實(shí)驗(yàn)教學(xué)的基本原則

（1）水平評(píng)估原則。不同的思維水平應(yīng)當(dāng)對(duì)應(yīng)不同的教學(xué)階段。在開(kāi)展幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)之前，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)學(xué)生的幾何思維水平進(jìn)行評(píng)估，再設(shè)計(jì)適切學(xué)情的實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，使學(xué)生從實(shí)驗(yàn)操作中提高興趣并獲得新的認(rèn)知和感悟。具體而言，就是教師需要預(yù)判學(xué)生學(xué)習(xí)難點(diǎn)，由于知識(shí)的發(fā)生發(fā)展源于實(shí)驗(yàn)操作，這時(shí)幾何實(shí)驗(yàn)的適當(dāng)介入將恰到好處。否則僅僅為實(shí)驗(yàn)而實(shí)驗(yàn)，忽略學(xué)生本身思維能力，反而失去了實(shí)驗(yàn)的本來(lái)價(jià)值。

（2）自主探究原則。在設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)時(shí)，應(yīng)當(dāng)留給學(xué)生充分的探究空間，從而使學(xué)生自主經(jīng)歷學(xué)科研究與學(xué)習(xí)的過(guò)程，并在此基礎(chǔ)上形成自己的思辨結(jié)論。在幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，如果忽略了這條原則，或者教師設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)操作的步驟指向過(guò)于明顯，從思維上來(lái)說(shuō)，學(xué)生仍然是被動(dòng)地接受，這樣的幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)就形同虛設(shè)，學(xué)生的思維水平無(wú)法得到提高。

（3）創(chuàng)造性原則。在自由定向、整合這兩個(gè)教學(xué)階段中，學(xué)生獲得的無(wú)論是新的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，還是新舊知識(shí)聯(lián)系的自我建構(gòu)，都是創(chuàng)造力的體現(xiàn)。探究型幾何實(shí)驗(yàn)就是一種再創(chuàng)造，因此，實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)要有利于學(xué)生創(chuàng)造力的發(fā)生。學(xué)生在進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作時(shí)需要發(fā)揮自己與小組的智慧，充分參與，設(shè)計(jì)并實(shí)施方案，如此才能創(chuàng)造性地解決問(wèn)題或獲得創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)。

3.探究型實(shí)驗(yàn)教學(xué)的路徑

范希爾的幾何思維水平的發(fā)展具有順序性和進(jìn)階性，五個(gè)水平既不能被跳躍，也不能被調(diào)整次序，學(xué)生必須達(dá)到前一水平才能進(jìn)入后一水平。1 因此，探究型實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)與開(kāi)展，也應(yīng)當(dāng)遵循五個(gè)水平以及相應(yīng)的五個(gè)教學(xué)階段的逐層遞進(jìn)。

探究型實(shí)驗(yàn)教學(xué)能充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，更有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的能力，是一種新型的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。探究型幾何實(shí)驗(yàn)的基本思想是以實(shí)驗(yàn)促發(fā)現(xiàn)，因?qū)嶒?yàn)獲理解，由實(shí)驗(yàn)生感悟，在實(shí)驗(yàn)中想象，在想象中論證。在實(shí)驗(yàn)路徑上，根據(jù)范希爾的幾何思維水平劃分，可將探究型幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)分為初步體會(huì)、實(shí)驗(yàn)探究、交流討論、推理論證、體會(huì)感悟五個(gè)環(huán)節(jié)（見(jiàn)圖1）。

（1）初步體會(huì)。幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)的目的是為了使學(xué)生獲得發(fā)現(xiàn)、獲得感悟，因此，幾何實(shí)驗(yàn)不是簡(jiǎn)單地提煉規(guī)律。這不是幾何實(shí)驗(yàn)的全部，甚至不是實(shí)驗(yàn)的核心。在正式實(shí)驗(yàn)之前，讓學(xué)生先動(dòng)手畫(huà)圖，簡(jiǎn)單操作，初步體會(huì)研究對(duì)象的大致情況，獲得初步感受。這一環(huán)節(jié)主要對(duì)應(yīng)的是幾何思維水平的視覺(jué)水平，也包含少量分析水平，目的是使學(xué)生從感官上建立基本認(rèn)識(shí)，達(dá)成幾何思維水平進(jìn)階的第一步。

（2）實(shí)驗(yàn)探究。這是幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)的主體部分，在這一環(huán)節(jié)，學(xué)生開(kāi)展實(shí)驗(yàn)操作，借助實(shí)驗(yàn)工具（傳統(tǒng)文具、信息技術(shù)、自制教具等）進(jìn)行畫(huà)圖操作、測(cè)量觀察、猜想歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)研究對(duì)象的本質(zhì)和關(guān)鍵。幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)以動(dòng)手操作、直觀感受為表現(xiàn)形式，以動(dòng)腦思考、主動(dòng)建構(gòu)為內(nèi)在驅(qū)動(dòng)，調(diào)動(dòng)學(xué)生多感官參與并理解幾何對(duì)象（問(wèn)題）。這一環(huán)節(jié)主要體現(xiàn)的是幾何思維的分析水平與非形式化演繹水平。實(shí)驗(yàn)探究活動(dòng)使學(xué)生認(rèn)識(shí)到研究方向，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作建立整體認(rèn)識(shí)，根據(jù)圖形或輔助材料進(jìn)行推理和理解。

（3）交流討論。幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)的目的是通過(guò)幾何實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生掌握科學(xué)研究的方法，獲得對(duì)研究對(duì)象本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。在生生交流中，學(xué)生分享自己對(duì)實(shí)驗(yàn)操作的方法、經(jīng)驗(yàn)、成果、體會(huì)，思維的火花互相碰撞，實(shí)驗(yàn)的價(jià)值得到升華；在師生交流中，學(xué)生反思自己的得失，提升自己的認(rèn)識(shí)。這是幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)必不可少的環(huán)節(jié)，也是培養(yǎng)合作精神、進(jìn)行數(shù)學(xué)交流的重要環(huán)節(jié)。這一環(huán)節(jié)是幾何思維非形式化演繹水平的體現(xiàn)。學(xué)生能夠?qū)ψ约旱膶?shí)驗(yàn)過(guò)程與結(jié)果在思維層面進(jìn)行梳理，更為清晰地呈現(xiàn)本質(zhì)，為后面的形式化演繹奠定基礎(chǔ)。

（4）推理論證。初中平面幾何是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)邏輯體系的經(jīng)典。任何幾何實(shí)驗(yàn)的結(jié)論都應(yīng)當(dāng)通過(guò)推理論證來(lái)予以證明，因此，推理論證是幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)必不可少的環(huán)節(jié)。在充分進(jìn)行實(shí)驗(yàn)探究、合作交流的過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)建立了直覺(jué)猜想，并獲得了對(duì)問(wèn)題的全面認(rèn)識(shí)，能夠抓住問(wèn)題的關(guān)鍵。這時(shí)推理論證水到渠成。因此，推理論證環(huán)節(jié)的開(kāi)展，既是幾何邏輯體系的需要，又是幾何實(shí)驗(yàn)成功與否的重要表現(xiàn)。這一環(huán)節(jié)是形式化演繹水平的充分體現(xiàn)。

（5）體會(huì)感悟。幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)與傳統(tǒng)教學(xué)的顯著區(qū)別在于，學(xué)生作為實(shí)驗(yàn)者是研究、學(xué)習(xí)的主體，其參與程度要遠(yuǎn)高于傳統(tǒng)教學(xué)。這一環(huán)節(jié)在一定程度上體現(xiàn)了幾何思維水平的嚴(yán)密性水平。在學(xué)生完成推理論證后，回顧實(shí)驗(yàn)過(guò)程和結(jié)果以及推理論證的過(guò)程，并形成感悟和觀點(diǎn)，對(duì)象和關(guān)系被統(tǒng)一內(nèi)化為一個(gè)新的思維領(lǐng)域，學(xué)生能建構(gòu)起屬于自己的知識(shí)和數(shù)學(xué)認(rèn)知體系。

五、實(shí)踐反思

1．促進(jìn)學(xué)生思維水平的提升

由于幾何實(shí)驗(yàn)教學(xué)能夠使學(xué)生通過(guò)動(dòng)手操作、動(dòng)眼觀察、動(dòng)腦思考，親身投入知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展、形成和應(yīng)用的過(guò)程中，因此，學(xué)生更容易隨著教學(xué)環(huán)節(jié)的遞進(jìn)突破當(dāng)前思維水平，而且這些思維水平的進(jìn)階是自然發(fā)生的。

2．學(xué)生幾何思維水平測(cè)試的科學(xué)性有待探索

學(xué)生在進(jìn)行幾何學(xué)習(xí)時(shí)，思維水平從層次0逐級(jí)提升。面對(duì)不同的測(cè)試問(wèn)題，學(xué)生所表現(xiàn)出的思維水平會(huì)有很大差異。如何設(shè)計(jì)客觀準(zhǔn)確的測(cè)試題，國(guó)內(nèi)外都進(jìn)行了很多嘗試。但由于學(xué)情各異、內(nèi)容不同、標(biāo)準(zhǔn)多元，因此，目前還沒(méi)有十分科學(xué)準(zhǔn)確且普遍認(rèn)可的測(cè)試體系。

3．教學(xué)環(huán)節(jié)與思維水平的匹配程度需要提升

幾何實(shí)驗(yàn)有著自己獨(dú)特的教學(xué)環(huán)節(jié)，盡管與范希爾理論匹配度較高，但還存在著一定的不匹配的情況。比如，在初步體會(huì)環(huán)節(jié)，既有一部分視覺(jué)水平，也有一部分分析水平；在實(shí)驗(yàn)探究部分，則是分析水平與非形式化演繹水平兼而有之。如何將實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)與思維水平有著更高的匹配度，從而使教學(xué)分析能更為準(zhǔn)確，值得進(jìn)一步研究。

幾何實(shí)驗(yàn)的具體可操作性，讓抽象的幾何變得生動(dòng)、具體。不僅打破學(xué)生的畏難情緒，也讓學(xué)生在做中學(xué)、學(xué)中思。幾何實(shí)驗(yàn)給予不同能力水平的學(xué)生以充分的參與感。在教學(xué)中設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，使學(xué)生親身經(jīng)歷探索實(shí)踐、抽象概括、聯(lián)系知識(shí)，改善自身的學(xué)習(xí)方式，也使學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中生成幾何思維，在演繹中升華。

Inquiry-based Experimental Teaching of Junior High School Mathematics

Based on Van Hiele Levels of Geometric Thought

YOU Wenyi

（Shanghui Experimental School of Xuhui District，Shanghai，200231）

Abstract： Van Hiele Levels of Geometric Thought is a basic theoretical framework of geometry teaching，which has been widely applied in studentsgeometric thinking level assessment and classroom teaching design. Mathematical experiments can enable students to participate in and creatively experience the formation and development of geometric knowledge and methods，which is an important way to improve studentsgeometric cognition and non-cognition（learning interest and efficacy）. Mathematical experiment teaching can be designed and implemented according to Van Hieles theories in terms of experimental elements，experimental principles and experimental paths. In the course of practice，further research can be done from the scientific nature of tests on studentlevels of geometric thought，and the matching between phases of teaching and thinking level.

Key words： Van Hieles theories，geometric thinking level，mathematical experiment，inquiry-based geometry experiment