彭珍

【摘 要】數(shù)學(xué)研究的對象是數(shù)量與圖形，數(shù)圖結(jié)合是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)理論、解析數(shù)學(xué)問題的重要方法。本文援引教學(xué)案例探討畫圖策略運(yùn)用于小學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題解析的意義與價(jià)值，以培養(yǎng)并提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，從而促進(jìn)學(xué)生核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】教育教學(xué) 小學(xué)數(shù)學(xué) 畫圖 習(xí)題解析

數(shù)量與圖形的關(guān)系密不可分，二者大多數(shù)情況下可以互相切換表達(dá)，比如矩形的面積可以表示為兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積，圓周率可以表示為圓周長與直徑的比例。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要高度重視引入圖形，講授新課時(shí)通過畫圖呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生理解和吸收數(shù)學(xué)知識；講解習(xí)題時(shí)，通過畫圖示范，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成運(yùn)用圖形分析數(shù)量關(guān)系的習(xí)慣，提高解決實(shí)際問題的能力。

小學(xué)生的數(shù)學(xué)知識儲(chǔ)備與思維水平均處于低層次階段。 他們雖然能夠進(jìn)行加減乘除等基本運(yùn)算，然而當(dāng)數(shù)學(xué)問題以更復(fù)雜的形式出現(xiàn)時(shí)，他們卻難以建立事物和數(shù)量之間的邏輯關(guān)聯(lián)。尤其中高段的解決問題，大都以文本形式呈現(xiàn)，情境設(shè)置和問題設(shè)置更為靈活，因而在解決實(shí)際問題時(shí)，引入圖形輔助分析可以簡化問題情境，提取關(guān)鍵信息，建立已知條件與所求問題的關(guān)系，從而厘清思路，正確而快速地解答數(shù)學(xué)問題。

一、化繁為簡，直觀呈現(xiàn)習(xí)題中的數(shù)量關(guān)系

教師應(yīng)認(rèn)識到以文本形式呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)習(xí)題，其中有些文字信息并無實(shí)際意義，只是起到支撐和連接作用，而解答數(shù)學(xué)問題的根本目的是根據(jù)條件尋求解決方案，得出結(jié)論。因而，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生解析數(shù)學(xué)問題時(shí)學(xué)會(huì)提取關(guān)鍵信息，去除雜蕪的文字，簡化情境內(nèi)容，突出數(shù)量關(guān)系。

習(xí)題1：李華想測量半桶水的深度，他把竹竿垂直插到桶底，量得竹竿露出水面的長度是43 cm，然后把竹竿倒過來在同一位置插到桶底，量得竹竿沒有被水浸濕的部分是20 cm，問：桶中的水深多少？

見圖1，教師引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖提取關(guān)鍵信息：第一次量得的水面竹竿長度43 cm實(shí)際上獲得被減數(shù)，第二次倒過來插入桶中測量水面沒有浸濕的部分20 cm實(shí)際上獲得減數(shù)，桶內(nèi)的水深就是它們的差值：43-20=23 cm?？梢姡媹D策略可以簡化情境，讓學(xué)生的思維聚焦在數(shù)量信息上，通過圖形表征幫助學(xué)生厘清思路，學(xué)生能夠直觀地發(fā)現(xiàn)已知條件與所求結(jié)果的關(guān)系，快速地找到解決問題的方法。

二、還原真實(shí)情境，得出符合生活實(shí)際的結(jié)論

學(xué)習(xí)知識是為了解決生活中的實(shí)際問題，知識是基于生活現(xiàn)象和規(guī)律概括出的抽象理論，現(xiàn)實(shí)生活與理論知識必然有一定的差距，不能運(yùn)用純理論來指導(dǎo)并解決生活實(shí)際問題。指導(dǎo)學(xué)生合理運(yùn)用畫圖策略解決數(shù)學(xué)習(xí)題，能夠還原真實(shí)的情境，從而得出符合現(xiàn)實(shí)生活的結(jié)論。

習(xí)題2：李華從1樓步行到3樓用了36秒，按同樣的速度從3樓走到6樓還需要幾秒？

此題的數(shù)字信息具有迷惑性，單從字面來看，很多學(xué)生誤認(rèn)為1到3樓有3層，而時(shí)間36秒恰好可以被3整除，快速求出步行一層所需要的時(shí)間：36÷3=12（秒），導(dǎo)致最終得到錯(cuò)誤的答案：3×12=36（秒）。但是如果學(xué)生運(yùn)用畫圖策略解答可以避免這種“想當(dāng)然”的錯(cuò)誤（見圖2）。根據(jù)圖形，可知1樓到3樓實(shí)際只有2層，步行一層樓所需要的時(shí)間是：36÷2=18（秒），3樓到6樓共有3層，即：3×18=54（秒）。經(jīng)此例，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題有時(shí)候并不是表面數(shù)量的加減乘除運(yùn)算，而是要根據(jù)實(shí)際情況對數(shù)據(jù)進(jìn)行綜合分析、選擇和處理，通過圖形表征，更易于得出符合生活現(xiàn)實(shí)的結(jié)論。

三、畫圖策略可以發(fā)現(xiàn)并糾正解答過程中的疏漏

解決數(shù)學(xué)問題不單單是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算的簡單過程，還要求學(xué)習(xí)者具有縝密的思維和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度，在解答問題過程中要學(xué)會(huì)反思，并養(yǎng)成通過檢查、驗(yàn)算查找錯(cuò)誤的習(xí)慣，從而訓(xùn)練理性思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神。畫圖策略運(yùn)用于習(xí)題解答，不僅能直觀呈現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，甚至能直觀呈現(xiàn)結(jié)論，讓學(xué)生能夠便捷地發(fā)現(xiàn)解題過程中存在的疏漏。

習(xí)題3：甲、乙兩個(gè)工人修剪花圃，每人每天可以修剪1畝，甲工人工作2天休息3天，乙工人工作3天休息2天，問：修剪100畝花圃需要幾天完成？

對于小學(xué)生來說，這個(gè)題目較為復(fù)雜，沒有現(xiàn)成可以套用的數(shù)學(xué)公式，它與常見的求時(shí)間、求速度（效率）等解決問題不同，教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用畫圖策略，用■代表勞動(dòng)，用□代表休息，得出圖3。

甲：■■□□□■■□□□■■□□□……

乙：■■■□□■■■□□■■■□□……

通過圖形觀察工作進(jìn)展情況：如果以5天為一組，每5天都能修剪5畝花圃，即平均每天修剪1畝，則完成100畝任務(wù)需要100天。這個(gè)解題思路是新穎的，似乎無可挑剔的，實(shí)際情況并不是如此。觀察上圖，發(fā)現(xiàn)第4、5、9、10、14、15……（即5n-1和5n，n≥1）天，甲、乙兩人都在休息，每修剪5畝花圃只要三天完成，類推并觀察圖形，完成修剪100畝任務(wù)并不需要100天，第100畝的任務(wù)在第98天時(shí)由乙工人單獨(dú)完成。因此，圖形表征既給學(xué)生提供了解答數(shù)學(xué)問題的方法，也培養(yǎng)了他們細(xì)致、縝密的科學(xué)精神，正是圖形表征運(yùn)用于習(xí)題解析的價(jià)值所在。

四、畫圖策略可以訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維

圖形表征，即在習(xí)題解析過程中，由文字簡化為圖，由圖形揭示題目中數(shù)量的變化與關(guān)聯(lián)。這個(gè)過程驅(qū)使學(xué)生更為深入地進(jìn)行信息的提取與分析，從題中的文字表述過渡到圖形中抽象的數(shù)量關(guān)系，學(xué)生的觀察、概括、猜測、推理和歸納等思維活動(dòng)都得以鍛煉，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的目的。

習(xí)題4：李白返家沿途賞花，每遇見一處花叢就喝壺中酒的一半，每路過酒家就買半斤酒添到壺中。已知李白這一天交錯(cuò)遇見花叢和酒家，途中共停留5次，到家時(shí)，壺中還有4兩酒，問他出發(fā)時(shí)壺中原有多少酒？

教師分析引導(dǎo)：本題有兩個(gè)重要信息，“交錯(cuò)”意味著李白沒有連續(xù)遇見花叢或酒家，至于先遇見花叢還是酒家需要根據(jù)“剩4兩酒”來逆推，如果最后一次遇見酒家，壺中至少半斤酒以上，可見最后遇見的是花叢。通過逆向推理，逐步計(jì)算出每一個(gè)落腳點(diǎn)壺中酒的數(shù)量，最后求得李白出發(fā)時(shí)壺中原有2兩酒（如圖4）。通過此例培養(yǎng)學(xué)生對已知信息進(jìn)行綜合處理的能力，運(yùn)用信息的不兼容特點(diǎn)進(jìn)行“排他”選擇，學(xué)生學(xué)會(huì)了逆向推理的方法，具有較高的思維訓(xùn)練價(jià)值。

畫圖策略是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解析問題的重要方法，其本質(zhì)是簡化題干信息，突顯數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)規(guī)律和數(shù)量關(guān)系，從而引發(fā)學(xué)生思考，厘清解題思路，提高解題速度和正確性。教師運(yùn)用數(shù)圖結(jié)合的教學(xué)方法，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，降低學(xué)習(xí)難度，促進(jìn)學(xué)生對知識的理解，掌握科學(xué)的解題方法，訓(xùn)練理性的邏輯思維，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)那髮W(xué)態(tài)度，領(lǐng)略數(shù)學(xué)世界的美妙。

（作者單位：福建省將樂縣城關(guān)中心小學(xué) 責(zé)任編輯：宋曉穎）