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        以二次函數(shù)最值談銜接教學案例

        2024-02-21 19:45:53劉盛
        文理導航 2024年5期
        關鍵詞:初高中數(shù)學銜接教學教學案例

        劉盛

        【摘 ?要】初高中的教學銜接是高一數(shù)學教學中的難點,如何更有效地銜接初高中數(shù)學知識的融合,幫助高一學生順利過渡到高中的學習,是每年高一教學初期必須面對并且需要解決的重要課題。本文借助“求二次函數(shù)的最值”這一知識點的教學實踐案例,高效銜接初高中教學以溫故知新,問題銜接拓展,理論遷移應用等方式進行層層深入的探究和實踐性的思考,通過把握教學的銜接點,學生思維提升的關鍵點,理論遷移的切入點進一步提高銜接教學的效率。

        【關鍵詞】初高中數(shù)學;銜接教學;二次函數(shù)最值;教學案例

        二次函數(shù)是連接初高中函數(shù)學習的關鍵模塊,其中最值問題是初高中函數(shù)教學的重點,更是學生理解函數(shù)相關概念的痛點,以二次函數(shù)的最值作為初高中銜接教學的切入點,恰恰就可以讓高一學生從熟悉的知識中去層層深入突破難點和痛點。本文結合本校高一年級數(shù)學校本選修課程中一個專題模塊內(nèi)容——二次函數(shù)的最值問題進行分析思考,談談如何在教學過程中進行初高中的教學銜接,提高銜接教學的效率,以下為課堂教師與學生實錄情況及分析。

        一、銜接教學教學實踐案例

        (一)溫故知新,鋪好銜接橋梁

        教師活動1:引導學生回顧如何畫二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖像(在師生共同畫圖的過程中與學生一起回顧初中學習相關二次函數(shù)的開口分類,對稱軸,頂點坐標,與坐標軸的交點,配方法等問題)

        學生活動1:例題:已知二次函數(shù)f(x)=x2-2x+2,此函數(shù)有最大值還是最小值?如果有,求出函數(shù)f(x)的最值及此時x的值。

        設計意圖1:通過讓學生回顧初中的二次函數(shù)的圖像問題,讓學生進一步鞏固求二次函數(shù)的最值的方法,為下一環(huán)節(jié)高中二次函數(shù)的最值問題所涉及的數(shù)形結合與分類討論等做鋪墊。

        (二)環(huán)環(huán)相扣,做好銜接

        教師活動2:總結在求解過程中可以用畫圖的方法,也可以用公式法,還可以用配方法,還有沒有其他更快的方法?進一步提出,如果自變量x給定相應的范圍,最小值會改變嗎?會有最大值嗎?可以求出來嗎?

        學生活動2:例題變式1.分別求出二次函數(shù)f(x)=x2-2x+2在下列區(qū)間上的最小值與最大值

        ① [-3,-1] ? ② [2,3] ? ③ [-1,3] ? ④ [0,3]

        設計意圖:此題是在例題的基礎上,通過給定區(qū)間求二次函數(shù)的最值,給定區(qū)間離對稱軸的情況,布置了一定難度的陷阱,實際課堂情況下多數(shù)高一學生都是不畫圖像,要么直接套用頂點公式求最值,要么直接代入不同區(qū)間兩端的端點求最值,從而容易導致錯誤。設計本題的意圖,就是層層深入,拓寬學生的解題思路,理清解題步驟和流程,加強學生的畫圖分析能力,進一步滲透數(shù)形結合的數(shù)學思想。

        (三)銜接接軌,深入探究

        在學生通過變式1的研究后,已經(jīng)初步體驗到數(shù)形結合在高中數(shù)學解題中的重要性、實用性和操作流程,在此基礎上,引導學生進一步深入研究“動態(tài)的”數(shù)形結合,培養(yǎng)學生探究的興趣,提高數(shù)學思維及解題能力那就是水到渠成的事了。

        教師活動3:引導學生體會總結給定區(qū)間求二次函數(shù)的最值時,關鍵是如何巧妙利用數(shù)形結合,準確清晰地判斷所給區(qū)間是否包含對稱軸,分析出給定區(qū)間兩個端點中哪個端點離對稱軸更遠或更近,從而結合圖形,得出最大值或最小值。進一步提出問題,若給定的區(qū)間變成一個“動態(tài)”的區(qū)間,是否有最值?

        學生活動3:例題變式2.求二次函數(shù)f(x)=x2-2x+2在區(qū)間[t,t+1]上的最小值記為g(t),(1)試寫出函數(shù)g(t)的解析式,(2)作出g(t)的圖像并求出g(t)的最

        小值。

        解:(1)f(x)=(x-1)2+1

        當t+1≤1,即t≤0,g(t)=t2+1

        當t<1<t+1,即0<t<1,g(t)=f(1)=1

        當t≥1,g(t)=f(t)=t2-2t+2綜上可知,g(t)的表達式是分段函數(shù)的形式,解答如下:

        g(t)=t2+1,t≤01,0<t<1t2-2t+2,t≥1

        教師活動4:及時引導學生總結用數(shù)形結合和分類討論思想進行解決問題的關鍵點,同時引導學生思考總結上一題的類型是“軸定區(qū)間動”,在此基礎上引導學生是否可以換一種模式,變成是“軸動區(qū)間定”的類型。

        學生活動4:例題變式3.求函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在區(qū)間[-1,1]上的最小值記為g(a),(1)試寫出函數(shù)g(a)的解析式,(2)求出g(a)的最大值。

        引導學生以對稱軸在區(qū)間[-1,1]中的不同位置,結合圖像分情況討論g(a)解析式。

        設計意圖:二次函數(shù)在初高中數(shù)學教學中最大的區(qū)別在于其靜態(tài)的與動態(tài)的區(qū)別,兩個變式題的設計正是為了實現(xiàn)二次函數(shù)由靜態(tài)升級到動態(tài)的過程,讓高一學生更好地從初中數(shù)學函數(shù)教學中,尤其是對二次函數(shù)的簡單直覺認識,進一步上升到高中的數(shù)形結合思想方法以及較為復雜的邏輯推理,為下面實際課堂教學問題的解決做好思維的鋪墊。

        教師活動5:提出問題,為實際問題轉(zhuǎn)化為求最值做好鋪墊過渡。

        例題變式 4.函數(shù)f(x)=x2-2x+2-a≥0恒成立,求a得取值范圍。

        引導學生把所求的a看成未知數(shù),故a≤x2-2x+2,即求g(x)=x2-2x+2的最小值。

        設計意圖:通過設置簡單的恒成立問題,讓學生初步體驗轉(zhuǎn)化等價思想,做好銜接教學的鋪墊。

        (四)銜接拓展,理論遷移

        例題變式 5.函數(shù)f(x)=x2-2x+2-a≥0恒成立,求a的取值范圍。

        師生共同活動6:引導學生對比變式4、5的異同,同時進行轉(zhuǎn)化。

        教師引導一:讓學生類比思考是否能夠把a看成未知數(shù),讓學生進行探究。

        教師引導二:二次函數(shù)的值恒大于等于0,即二次函數(shù)的最小值大于等于0,相當于方程f(x)=x2-2ax+2-a=0無解或一解。

        學生活動二:則函數(shù)f(x)=x2-2ax+2-a的圖像與x軸無交點或只有一個交點,則△≤0,即(-2a)2-4(2-a)≤0,解得-2≤a≤1。

        設計意圖:將二次函數(shù)的最值問題進一步拓展,強化了函數(shù)、方程、不等式這三者之間的轉(zhuǎn)化,更好地做到有效地銜接教學二次函數(shù)這一重點內(nèi)容。本人將在變式5的基礎上,給自變量限制一定范圍,讓學生進行探究。

        例題變式 6.已知二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+2-a,當x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍。

        解:①當a<-2,f(x)min=f(-2)=4+4a+2-a≥0即a≥0,又∵a<-2,∴a不存在。

        ②當-2≤a≤2,f(x)min=f(a)=a2-2a2+2-a≥0,解得-2≤a≤1,∴-2≤a≤1

        ③當a>2,f(x)min=f(2)=4-4a+2-a=6-5a≥0,解得a≤∵a>2,∴a不存在。

        綜上所述,得a的取值范圍為-2≤a≤1

        設計意圖:將二次函數(shù)的含參數(shù)的問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題,并進一步通過數(shù)形結合滲透分類討論思想解決問題。通過上述教學過程,將最值問題上升到一定的高度,同時也將值域進行系統(tǒng)地、有效地銜接教學。

        二、今后初高中銜接教學的三點建議

        基于以上課堂教學實踐案例整理分析,本人認為教師要提高初高中銜接教學的效率問題,可從以下幾方面入手:

        (一)從思想認識的根本上切實把握初高中銜接教學

        每年的高一都會聽到很多老師反映,初中各所學校也根據(jù)每年的中考要求及學校的實際情況對某些內(nèi)容做適當調(diào)整,這就造成了很多高一老師不能精準把握高一新生的起點,在教學過程中定位過高,自然而然就造成了教學過程的脫節(jié),所以要想提高銜接教學的效果,首先教師必須從思想上改變觀念,不推卸責任,主動關注學生初中學習的相關內(nèi)容及難度深度,以初高中為整體體系去構建學生完整的知識網(wǎng)絡,來進行系統(tǒng)教學。

        (二)從內(nèi)容上下功夫提高銜接教學的效率

        雖然高中數(shù)學相比初中數(shù)學增加了內(nèi)容的廣度和深度,但大多數(shù)知識都源自于初中,因此在教學過程中,教師在教學內(nèi)容的教學處理上,應該理清初高中很多知識的內(nèi)在聯(lián)系,把握銜接點,根據(jù)學生的情況來編寫合適的教案,從而結合初高中知識來整體把握教學。比如函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)、三角函數(shù)、平面幾何、立體幾何及概率等知識體系初高中都是聯(lián)系甚緊。又如上述二次函數(shù)模塊的教學,雖然教材并未單獨編寫,但卻貫穿整個高中階段。本人就以二次函數(shù)的值域問題進行了較系統(tǒng)的銜接教學,從而提高教學的有效性和系統(tǒng)性。

        (三)從思維方法上下功夫提高銜接教學的效率

        很大一部分高一學生之所以未能適應高中數(shù)學的學習,主要是初高中學習數(shù)學的思維方式有較大的差異。初中教學中有很多內(nèi)容的學習都是比較注重直觀形象及直接具體化的,而高中數(shù)學的學習更注重抽象思維,推理演算推廣及間接問題的等價轉(zhuǎn)化等,這就要求教師在教學過程中,注重學生的思維方式的銜接過渡。比如在講授《函數(shù)奇偶性》的教學過程中,如何做到更加符合高一學生的認知特點和思維水平,有效結合圖形,然后采用初中數(shù)學里的代數(shù)式賦值計算方法來進行推導,總結規(guī)律,得出一般的結論,從而得出奇偶函數(shù)的概念。這樣學生就從直觀具體過渡到抽象思維。又如上述課堂實錄中教學的二次函數(shù)的值域問題,就是這樣通過先讓高一學生從具體數(shù)值入手,通過不斷的變式深入,利用數(shù)形結合,引導學生逐步由靜態(tài)過渡到動態(tài)分析,順藤摸瓜過渡到分類討論及問題等價轉(zhuǎn)化來解決問題,掌握了數(shù)形結合和化歸等思想方法。

        【參考文獻】

        [1]曾宏建.初高中數(shù)學教學銜接的問題及對策[J].數(shù)學教學通訊,2018(5):3-4.

        [2]劉華祥.《中學數(shù)學教學論》[M].武漢:武漢大學出版社,2003.

        [3]楊常青.高一階段如何做好初高中數(shù)學銜接工作[J].理科考試研究,2015(12):41.

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