周青松 李明樹

基金項(xiàng)目? 蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2022年度立項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)‘做’中學(xué)體系的構(gòu)建研究”（2022/LX/02/166/09）;江蘇省教育學(xué)會“十四五”教育科研規(guī)劃課題“指向核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)混合式教學(xué)實(shí)踐研究”（22A11SXSZ295）;蘇州市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度立項(xiàng)課題“初中數(shù)學(xué)互動式課堂教學(xué)的建構(gòu)研究”（2021/O/01/021/09）;蘇州工業(yè)園區(qū)基礎(chǔ)教育前瞻性教學(xué)改革實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目“基于STEAM理念的初中數(shù)學(xué)綜合與實(shí)踐教學(xué)設(shè)計研究”．

【摘? 要】? 蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級上冊教材中，工人師傅使用“角尺工具”解決了二等分角問題，還可以借助實(shí)物工具量角器、尺規(guī)作圖工具解決此問題，借助工具還可以解決幾等分角問題，教材內(nèi)容未做編寫，學(xué)生對數(shù)學(xué)工具的認(rèn)識與使用缺乏感性認(rèn)識，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課教學(xué)可以彌補(bǔ)不足，學(xué)生經(jīng)歷三等分角工具的制作、使用的過程，幫助學(xué)生理解知識本質(zhì)，培養(yǎng)合作意識，提升探究能力.

【關(guān)鍵詞】? 三等分角；制作工具；使用工具；教學(xué)思考

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》在“課程實(shí)施”中指出：“進(jìn)一步加強(qiáng)綜合與實(shí)踐，強(qiáng)化項(xiàng)目主題學(xué)習(xí)活動，可以利用信息技術(shù)或制作教具的形式，對現(xiàn)實(shí)世界中具有開放性、真實(shí)性的問題進(jìn)行探索”［1］，而數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的制作、使用就是以項(xiàng)目為導(dǎo)向，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并解決問題，學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的過程，幫助學(xué)生理解知識本質(zhì)，培養(yǎng)合作意識，提升探究能力.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生動手動腦，以“做”為支架的數(shù)學(xué)教與學(xué)的活動方式，是在教師引導(dǎo)下，學(xué)生運(yùn)用有關(guān)工具，通過具體操作在認(rèn)知和非認(rèn)知因素參與下，進(jìn)行的一種發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論、理解數(shù)學(xué)知識、驗(yàn)證數(shù)學(xué)結(jié)論的數(shù)學(xué)活動［2］.近年來，蘇州工業(yè)園區(qū)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)團(tuán)隊一直致力于數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的設(shè)計與開發(fā)工作，本節(jié)課在蘇州市第六屆初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)研討活動中展示，取得良好的教學(xué)效果，整理成文，供同仁們交流.

1? 探究背景

在蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級上冊P25中，工人師傅常常利用角尺工具平分一個角，利用量角器、圓規(guī)和直尺等工具也可以平分一個角，利用工具可以實(shí)現(xiàn)角的四等分、八等分、十六等分等等，能否將一個任意角三等分呢？這是古希臘三大幾何難題之一，已證實(shí)僅用圓規(guī)和無刻度的直尺無法完成，但是若將條件放寬，如允許使用有刻度的直尺或配合其他曲線使用，可以實(shí)現(xiàn)對任意角的三等分，本文嘗試引導(dǎo)學(xué)生利用自制實(shí)物工具的方法對三等分角進(jìn)行探究.2? 學(xué)情分析

學(xué)生對“等分角”有所了解，但大都是直觀感知，在學(xué)習(xí)了全等、軸對稱、角平分線知識后，積累了基本操作經(jīng)驗(yàn).八年級學(xué)生求知欲望強(qiáng)烈，喜歡探究新知.借助工具動態(tài)獲取，需要學(xué)生具備較強(qiáng)的幾何直觀能力、空間思維能力和歸納能力，這對部分學(xué)生來說，是有一定難度的.3? 目標(biāo)分析

通過本課內(nèi)容學(xué)習(xí)，讓學(xué)生對設(shè)計、制作、使用工具有深刻體會，進(jìn)一步理解實(shí)物工具的數(shù)學(xué)原理，鼓勵學(xué)生大膽發(fā)言，對各種觀點(diǎn)進(jìn)行分析、辨析，培養(yǎng)合作意識，發(fā)展學(xué)生幾何直觀和空間觀念，提高數(shù)學(xué)探究能力.4? 重點(diǎn)難點(diǎn)

實(shí)物工具的設(shè)計、知識依據(jù)、操作方法、數(shù)學(xué)原理.5? 探究準(zhǔn)備

剪刀、直尺、紙質(zhì)吸管（若干）、大頭針（若干）、記號筆.6? 教學(xué)設(shè)計

6.1? 問題提出

活動一? 蘇科版數(shù)學(xué)教材八年級上冊P25中，工人師傅常常利用角尺工具平分一個角.如圖1，在∠AOB的兩邊OA，OB上分別任取OC=OD，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)C，D重合，這時過角尺頂點(diǎn)M的射線OM就是∠AOB的平分線.操作? 老師提供自制教具：實(shí)物角尺，讓學(xué)生實(shí)際操作，借助工具二等分一個角，感知數(shù)學(xué)原理，如圖2.

問題1：角尺工具可以解決什么問題？

問題2：角尺工具的結(jié)構(gòu)特征是什么？

問題3：角尺工具的工作原理是什么？

問題4：還有什么工具可以二等分角？

設(shè)計意圖? 以實(shí)物工具和電子工具相融合的方式，讓學(xué)生通過實(shí)際操作去感知工具的實(shí)用性和便利性，觀察描述角尺工具的特征——鄰邊垂直且相等，并說出工具的工作原理——用“邊邊邊”的方法判定△OCM≌△ODM，可知∠COM=∠DOM，所以射線OM就是∠AOB的平分線.學(xué)生初識工具，可以解決二等分角問題，激發(fā)學(xué)生使用工具的興趣，為制作二等分角工具做好了知識鋪墊.

制作? 結(jié)合剛才所學(xué)知識，你能否設(shè)計、制作一個工具進(jìn)行二等分角？學(xué)生根據(jù)角尺的結(jié)構(gòu)特征、數(shù)學(xué)原理，小組合作制作二等分角工具，作品如圖3.

問題5：工具中將點(diǎn)A放在與角頂點(diǎn)重合，還是將點(diǎn)C放在與角頂點(diǎn)重合？

實(shí)際操作，小組討論得出一致意見：將箏形點(diǎn)A放在與角頂點(diǎn)重合時，適合二等分較小的角;將點(diǎn)C放在與角頂點(diǎn)重合，適合二等分較大的角.因兩組邊的長短問題，影響工具的開合范圍，此工具在實(shí)際使用過程中存在短板.

問題6：如何改善工具，使工具更具廣泛的適用性？

從問題5中得到啟發(fā)，將工具的四邊調(diào)整為等長線段，就可以兼顧優(yōu)點(diǎn)，規(guī)避短板，改善后菱形工具作品如圖4.

問題7：制作實(shí)物工具的流程是怎樣的？

問題提出知識依據(jù)設(shè)計方案制作工具使用工具改善工具實(shí)物工具

問題8：借助工具可以把一個角二等分，還可以幾等分？

生：四等分、八等分、十六等分、三十二等分……

師：怎樣操作？

生：用工具把角二等分后，再分別二等分，重復(fù)操作……

師：還可以幾等分？

生：三等分、五等分……

師：怎樣操作？（提示學(xué)生借助工具解決問題）

生：用量角器測量……

師：結(jié)合二等分角工具，你可否設(shè)計一個工具實(shí)現(xiàn)三等分角？

設(shè)計意圖? 引導(dǎo)學(xué)生制作工具，動態(tài)理解知識本質(zhì)和數(shù)學(xué)原理，在實(shí)際使用中分析利弊，激發(fā)學(xué)生再思考，不斷完善實(shí)物工具，總結(jié)得出制作工具的流程，為下面三等分角工具的制作積累經(jīng)驗(yàn)和方法.

6.2? 問題探究

活動二? 制作三等分角實(shí)物工具.

圖5操作? 根據(jù)二等分角工具制作的經(jīng)驗(yàn)，直接將兩個二等分角工具疊合在一起，沿著重合的頂點(diǎn)開始旋轉(zhuǎn)其中一個工具，當(dāng)工具的一條邊與另一個工具的對角線重合的時候，此時形成的三個角剛好相等，如圖5.

問題9：如圖5，為什么此時的三個角相等？

生：連接BC，因二等分角工具是一個菱形，故△ABC≌△DBC，得到∠ABC=∠DBC，同理可證△EBG≌△FBG，得到∠EBG=∠FBG，進(jìn)而把∠ABF分成了三個相等的角，此時BC，BG就是三等分線.

師：還有不同的證明方法嗎？

生：可以根據(jù)菱形的性質(zhì)證明角等，BC，BG也是兩個二等分角工具的對角線，根據(jù)菱形的性質(zhì)，對角線平分一組對角，也可以說明BC，BG就是三等分線.

師：太棒了！制作? 小組分工，根據(jù)流程操作，黑板展示，并介紹結(jié)構(gòu)特征、操作方法、工作原理，作品如圖6.實(shí)際操作過程中發(fā)現(xiàn)，張合度很小，解決三等分銳角可以，鈍角有些困難，整體結(jié)構(gòu)不牢，在老師啟發(fā)下，只要解決中間的推桿就可以解決張合度的問題，類比雨傘中的環(huán)形扣，同學(xué)們用紙環(huán)代替，優(yōu)化三等分角工具，可以解決任意角三等分問題了，作品如圖7.

設(shè)計意圖  引導(dǎo)學(xué)生制作三等分角工具，經(jīng)歷設(shè)計、作圖、操作、完善的過程，培養(yǎng)主動探究、團(tuán)隊合作意識，體會知識的本質(zhì)、實(shí)物工具與數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，將靜態(tài)知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)獲取的方式，極大地鼓舞了學(xué)生學(xué)習(xí)熱情和探究欲.

6.3? 問題拓展

活動三? 老師借助網(wǎng)絡(luò)畫板，制作了剛才的二等分角工具，引導(dǎo)同學(xué)們繼續(xù)探究思考，如圖8.

問題10：如圖8，移動點(diǎn)D的位置，此工具的功能是否改變？

師：操作網(wǎng)絡(luò)畫板向?qū)W生展示點(diǎn)D的位置變化情況.

生：不會改變，因?yàn)镈A=DC始終沒變，兩個三角形依舊全等，特別當(dāng)點(diǎn)A，D，C三點(diǎn)共線時，此時是一個等腰三角形，BD就是三線合一.

活動四? 老師借助網(wǎng)絡(luò)畫板，制作了剛才的三等分角工具，引導(dǎo)同學(xué)們繼續(xù)探究思考，如圖9.

問題11：如圖9，三等分角的本質(zhì)是什么？

師：操作網(wǎng)絡(luò)畫板向?qū)W生展示，啟發(fā)學(xué)生思考.

生：這個工具，就是兩個二等分角工具的結(jié)合，把二等分角工具中的每一個角當(dāng)作單位角，進(jìn)行組合就可以實(shí)現(xiàn)角的三等分.

師：太棒了！問題12：如果給你一個二等分角工具和一個三等分角工具，如圖10，你可以把角幾等分？

生：將工具結(jié)合在一起，可以四等分、五等分、六等分、七等分……

師：網(wǎng)絡(luò)畫板操作，向?qū)W生展示.

設(shè)計意圖? 融合信息技術(shù)教學(xué)，使得工具更加直觀、形象，引導(dǎo)學(xué)生探究自制實(shí)物工具的本質(zhì)，把二等分角工具看成單位角與三等分角工具隨意組合，可以實(shí)現(xiàn)角的任意等分，在解決問題的同時，發(fā)現(xiàn)新的問題，反復(fù)思考，繼續(xù)解決問題，助力學(xué)生從合情推理能力到演繹推理能力的發(fā)展.

6.4? 文化延伸

播放視頻介紹古希臘三大幾何難題的誕生和發(fā)展過程.“三等分角”是古希臘三大幾何難題之一，是幾何尺規(guī)作圖中的名題，和“化圓為方”“倍立方”問題并列為古希臘三大難題，三等分角的完整敘述為：“在只用圓規(guī)和一把沒有刻度的直尺將一個給定角三等分，進(jìn)行尺規(guī)作圖時，已證實(shí)無解.”

設(shè)計意圖? 通過數(shù)學(xué)文化的介紹，讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)的獨(dú)特魅力，本課借助實(shí)物工具不僅解決了三等分角問題，還實(shí)現(xiàn)了對任意角的三等分，強(qiáng)化了學(xué)生運(yùn)用工具解決問題的意識，激發(fā)濃厚的學(xué)習(xí)興趣和熱情.

6.5? 課堂小結(jié)

本節(jié)課你有什么收獲？

設(shè)計意圖? 讓學(xué)生談?wù)劷?jīng)歷識工具、做工具、用工具的學(xué)習(xí)感受.提升對工具的感性認(rèn)識，體會工具和解決實(shí)際問題之間的便捷關(guān)系，體會敢想、敢做、質(zhì)疑、思考在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中的重要意義.7? 教學(xué)思考

7.1? 在課堂小結(jié)中碰撞火花

在總結(jié)中讓學(xué)生表達(dá)學(xué)習(xí)感受、學(xué)習(xí)方法與困惑.小結(jié)中學(xué)生說到“我們學(xué)過了角平分線的知識、全等三角形的知識，今天感受到知識確實(shí)可以解決問題”“在遇到復(fù)雜問題的時候，可以先從簡單的問題入手，把不會的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決”“制作工具時畫出圖紙很重要”“工具可以解決三大幾何難題之一：三等分角，工具是否可以解決另外兩大幾何難題呢”，以上發(fā)言不難看出，興趣的火花已然在學(xué)生心中生根發(fā)芽，正是這種興趣激發(fā)學(xué)生強(qiáng)大的學(xué)習(xí)動力.

7.2? 在制作工具中理解知識

利用實(shí)物工具開展學(xué)習(xí)活動，可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和動力，從而創(chuàng)造性制作和發(fā)明工具.角尺工具中的全等三角形知識在充分理解后，創(chuàng)造性發(fā)明了二等分角工具，更加適用、便捷，讓抽象的數(shù)學(xué)知識變得形象直觀，內(nèi)隱的數(shù)學(xué)思維變得可視化［3］，靜態(tài)的知識通過自制工具展現(xiàn)的更加直觀化、具體化，將兩個二等分角工具進(jìn)行融合便可以創(chuàng)造出三等分角工具，繼續(xù)融合可以制作任意等分角工具，而這一切的靈感來源于“設(shè)計本就是知識理解與再創(chuàng)造的過程”.

7.3? 在使用工具中感知原理

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具的使用改變了學(xué)生傳統(tǒng)接受知識的方式，將靜態(tài)知識轉(zhuǎn)化為動態(tài)獲取的過程，學(xué)生也由被動接受知識向主動探索學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化，在使用角尺工具解決二等分角問題時，進(jìn)一步感知原理，激發(fā)學(xué)生對知識再理解，設(shè)計新的二等分角工具、三等分角工具，經(jīng)歷使用工具的過程，強(qiáng)化了對工具原理的認(rèn)識，在完善實(shí)物工具的同時，進(jìn)一步理解工具原理與數(shù)學(xué)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，在創(chuàng)造中感知動手做數(shù)學(xué)的樂趣，改觀傳統(tǒng)談“數(shù)學(xué)”色變的現(xiàn)象，激發(fā)了學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣與熱愛.

數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)是近年來教育改革的趨勢之一，對于推動初中數(shù)學(xué)課程改革具有現(xiàn)實(shí)意義.借助實(shí)物工具，動手“做”數(shù)學(xué)是實(shí)驗(yàn)課類型之一，文中學(xué)生制作工具、使用工具進(jìn)行操作、驗(yàn)證、理解、探究活動，有助于學(xué)生理解數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟知識、感知原理，切實(shí)改變了初中數(shù)學(xué)教與學(xué)的方式.制作工具、使用工具是實(shí)驗(yàn)探究活動的呈現(xiàn)方式之一，注重經(jīng)歷觀察、操作、推理、探究的過程，從問題情境出發(fā)，逐步探究，實(shí)際操作，建立模型，解決問題；特別在實(shí)際操作中，使用自制實(shí)物工具解決問題的同時，發(fā)現(xiàn)新的問題，不斷調(diào)整完善實(shí)物工具，在遵循認(rèn)知規(guī)律的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生經(jīng)歷從感性認(rèn)識到理性思維的飛躍.實(shí)物工具類型實(shí)驗(yàn)課已經(jīng)開啟，電子工具的開發(fā)與設(shè)計、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)資源的開發(fā)與建設(shè)等問題，有待進(jìn)一步思考，未來已來，任重道遠(yuǎn).

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022：89.

［2］董林偉，等.初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的理論與實(shí)踐研究［M］.南京：江蘇鳳凰科學(xué)技術(shù)出版社，2016.

［3］董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)工具：助力初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的應(yīng)然選擇［J］.數(shù)學(xué)通報，2018（11）：1-4.

作者簡介? 周青松（1987—），男，江蘇蘇州人，中學(xué)一級教師，李明樹（初中數(shù)學(xué)）名師工作坊成員；主要從事初中數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課堂教學(xué)研究.

李明樹（1977—），男，江蘇蘇州人，中學(xué)高級教師，蘇州工業(yè)園區(qū)初中數(shù)學(xué)兼職教研員，李明樹（初中數(shù)學(xué)）名師工作坊主持人;榮獲蘇州市教學(xué)成果獎二等獎，主持或參與各級規(guī)劃（重點(diǎn)）課題14項(xiàng)；發(fā)表文章近40篇，其中3篇被中國人民大學(xué)《復(fù)印報刊資料（初中數(shù)學(xué)教與學(xué)）》全文轉(zhuǎn)載.