【摘? 要】? 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中強(qiáng)調(diào)尺規(guī)作圖在發(fā)展學(xué)生幾何直觀、推理能力和創(chuàng)新能力上的重要作用.而尺規(guī)作圖作為數(shù)學(xué)教學(xué)中的重難點(diǎn)，引起了數(shù)學(xué)教師的重點(diǎn)關(guān)注和深層思考.在用尺規(guī)作圖解決問(wèn)題中能夠發(fā)現(xiàn)，尺規(guī)作圖能夠簡(jiǎn)化問(wèn)題，降低數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的難度，通過(guò)使用數(shù)形結(jié)合的思想，讓學(xué)生發(fā)散思維、自主探究，產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和積極性，也為后續(xù)學(xué)習(xí)提供思維和方法的支持.

【關(guān)鍵字】? 核心素養(yǎng)；尺規(guī)作圖；執(zhí)果索因

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》注重?cái)?shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，尺規(guī)作圖正是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效載體.新課標(biāo)對(duì)初中階段尺規(guī)作圖提出兩個(gè)新增內(nèi)容，并且重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)要理解和掌握尺規(guī)作圖的基本原理和方法［1］，由此可以看出新課標(biāo)對(duì)尺規(guī)作圖教學(xué)提出了更高的要求.史寧中教授也指出：用幾何解釋代數(shù)的基本理論工具是幾何作圖；幾何作圖實(shí)際上蘊(yùn)含著幾何證明，幾何作圖對(duì)于培養(yǎng)幾何直觀是非常有利的［2］.所以要想用幾何的方法解決代數(shù)問(wèn)題，教師應(yīng)該更加注重作圖原理和方法的推理，讓學(xué)生多經(jīng)歷探索尺規(guī)作圖的內(nèi)涵和動(dòng)手操作的過(guò)程，發(fā)展空間觀念和想象力，培養(yǎng)幾何直觀、推理能力和創(chuàng)新能力，從而提升學(xué)生的學(xué)習(xí)力.1? “尺規(guī)作圖”是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的有效載體

1.1? 幾何直觀

幾何直觀是數(shù)形結(jié)合思想的重要體現(xiàn)，是學(xué)生建立數(shù)與形之間的聯(lián)系、感知圖形本身內(nèi)涵的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).尺規(guī)作圖恰好展示了數(shù)與形的相互結(jié)合，要把尺規(guī)作圖作為數(shù)學(xué)探究的手段，讓學(xué)生對(duì)圖形本身有一定的認(rèn)識(shí)，要從數(shù)學(xué)問(wèn)題中構(gòu)建出數(shù)學(xué)模型，分析圖形的性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合簡(jiǎn)化問(wèn)題，解決問(wèn)題.1.2? 推理能力

推理是用尺規(guī)解題的生長(zhǎng)點(diǎn)，而尺規(guī)作圖又在促進(jìn)和發(fā)展學(xué)生推理能力方面有重要作用.在尺規(guī)作圖問(wèn)題中學(xué)生要從“是什么？為什么？怎么做？”三個(gè)方面去推理解決問(wèn)題的方法.從學(xué)生推理中，就能發(fā)現(xiàn)其思維是否嚴(yán)謹(jǐn)、是否具有整體性.1.3? 創(chuàng)新能力

尺規(guī)作圖是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段，也為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題提供了無(wú)數(shù)方法和思路.學(xué)生通過(guò)尺規(guī)作圖去嘗試、思考、推理、解決問(wèn)題，借助不同知識(shí)間的聯(lián)系找到多種多樣的解題方式，提高創(chuàng)新能力.在促進(jìn)多元知識(shí)結(jié)合，鞏固學(xué)科聯(lián)系的同時(shí)，也為不同類(lèi)型問(wèn)題提供別出心裁的解法.2? 用尺規(guī)解決問(wèn)題的現(xiàn)狀分析

在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，教師往往只注重作圖方法的講解，粗略或一筆帶過(guò)作圖原理的推理，這也進(jìn)一步導(dǎo)致缺乏學(xué)習(xí)主動(dòng)性的學(xué)生只是機(jī)械掌握了作圖的方法，做簡(jiǎn)單題目時(shí)生搬硬套，遇到較難題目或?qū)⒕唧w問(wèn)題隱藏在問(wèn)題情境中時(shí)，學(xué)生不能正確理解題目意圖，也難以從已有知識(shí)基礎(chǔ)尋找解決問(wèn)題的突破口和方法.以2023年徐州市中考數(shù)學(xué)第26題為例.

兩漢文化看徐州，桐桐在徐州博物館“天工漢玉”展廳參觀時(shí)了解到；玉璧、玉環(huán)為我國(guó)的傳統(tǒng)玉器，通常為正中帶圓孔的扁圓型器物，據(jù)《爾雅·釋器》記載：“肉倍好，謂之璧；肉好若一，調(diào)之環(huán)．”如圖1，“肉”指邊（陰影部分），“好”指孔，其比例關(guān)系見(jiàn)圖示，以考古發(fā)現(xiàn)看，這兩種玉器的“肉”與“好”未必符合該比例關(guān)系．

（1）若圖1中兩個(gè)大圓的直徑相等，則璧與環(huán)的“肉”的面積之比為；

（2）利用圓規(guī)與無(wú)刻度的直尺，解決下列問(wèn)題（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）．

①圖2為徐州獅子山楚王墓出土的“雷紋玉環(huán)”及其主視圖，試判斷該件玉器的比例關(guān)系是否符合“肉好若一”？

②圖3表示一件圓形玉坯，若將其加工成玉璧，且比例關(guān)系符合“肉倍好”，請(qǐng)畫(huà)出內(nèi)孔．

本題是2023年徐州中考第26題，是尺規(guī)作圖與傳統(tǒng)文化的結(jié)合應(yīng)用，得分率約為10％.這就說(shuō)明學(xué)生對(duì)于此題的理解不透徹，在尺規(guī)作圖方面的應(yīng)用能力差，難以把問(wèn)題簡(jiǎn)化成所學(xué)的知識(shí)技能.題目設(shè)計(jì)以徐州兩漢文化為背景，以玉璧、玉環(huán)為依托，注重將思想、推理和操作相融合，同時(shí)也貫徹落實(shí)了新課標(biāo)的新要求“能理解尺規(guī)作圖的操作過(guò)程；并能進(jìn)一步利用尺規(guī)作圖完成新的作圖，了解其中的數(shù)學(xué)依據(jù)，強(qiáng)化作圖的基本原理和方法”［1］71.

第（1）問(wèn)考查璧與環(huán)的“肉”的面積之比，題目中也指明了“肉”的位置，所以這一問(wèn)是圓面積公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.

第（2）問(wèn)重點(diǎn)考查尺規(guī)作圖.第①小題讓判斷圖形比例關(guān)系是否符合“肉好若一”，也就是判斷內(nèi)圓的半徑是否是外圓半徑的一半，結(jié)合尺規(guī)作圖以及圓的性質(zhì)可以確定本題的關(guān)鍵是找同心圓的圓心.簡(jiǎn)化后題目就轉(zhuǎn)化為找同心圓的圓心并判斷兩圓半徑之間的倍長(zhǎng)關(guān)系.根據(jù)“不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓”和“垂徑定理”確定具體作圖方法：如圖4所示.在該圓環(huán)外圓上任意找A，B，C三點(diǎn)，連接AB，AC，分別作線段AB，AC的垂直平分線，交點(diǎn)即為同心圓的圓心O.過(guò)圓心O畫(huà)一條直徑，以O(shè)為圓心，OD為半徑畫(huà)弧，看是否滿足“肉好若一”的比例關(guān)系即可.

這一小題看似容易，但難在理解題意.很多學(xué)生難以理解該怎樣用尺規(guī)作圖的方式來(lái)判斷比例關(guān)系，其實(shí)就是對(duì)尺規(guī)作圖的基本原理沒(méi)有完全掌握，沒(méi)有切實(shí)從問(wèn)題出發(fā)“執(zhí)果索因”，對(duì)問(wèn)題做“減法”，找關(guān)鍵.? 圖4

第（2）問(wèn)的第②小題題目看似容易，只需要在第①小題已經(jīng)確定圓心的基礎(chǔ)之上找到內(nèi)孔的半徑，有了圓心和半徑就能確定這個(gè)圓的大小，但這也是本題難度最大的地方.該如何找“肉倍好”內(nèi)孔的半徑，或者換個(gè)角度根據(jù)題目已有信息“肉倍好”的內(nèi)涵是三等分外圓的直徑.因此確定本題的關(guān)鍵是如何用尺規(guī)作圖的方法將線段三等分，然后在已有知識(shí)中展開(kāi)聯(lián)想：可以借助三角形相似、平行線所截線段成比例、三角形重心、矩形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)等來(lái)解決問(wèn)題.按照①的方法找出圓心O，過(guò)圓心畫(huà)一條直徑AB，再借助聯(lián)想整合出以下作圖方法.2.1? 借助平行線所截線段成比例

如圖5所示.過(guò)點(diǎn)A作一條射線；以A為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，在射線上依次截取AC=CD=DE；連接BE，分別過(guò)點(diǎn)C，D作BE的平行線，交AB于點(diǎn)F，G，則F，G為線段AB的三等分點(diǎn)；進(jìn)而以FG為直徑畫(huà)圓，問(wèn)題得解.圖5

如圖6所示.以A，B，C為頂點(diǎn)，其中C在圓外，作△ABC；線段BC與圓O交于點(diǎn)D，連接AD；取AD的中點(diǎn)E，連接CE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)F；取BF的中點(diǎn)G，則F，G為線段AB的三等分點(diǎn)；進(jìn)而以FG為直徑畫(huà)圓，問(wèn)題得解.圖6

這兩種方法都是依據(jù)三角形相似和平行線所截線段成比例的性質(zhì).其中第一個(gè)方法也是新課標(biāo)在尺規(guī)作圖中新增的要求“過(guò)直線外一點(diǎn)作這條直線的平行線”的針對(duì)性運(yùn)用.

2.2? 借助三角形重心

如圖7所示.作△BCD，使點(diǎn)A為邊CD的中點(diǎn)，那么此時(shí)線段AB是邊CD的中線；取BD中點(diǎn)E，連接CE與AB交于點(diǎn)F，則點(diǎn)F是△BCD的重心；取BF的中點(diǎn)G，則F，G為線段AB的三等分點(diǎn)；進(jìn)而以FG為直徑畫(huà)圓，問(wèn)題得解.圖7

這種作法是依據(jù)三角形重心的性質(zhì).三角形三條中線的交點(diǎn)稱為三角形的重心，而重心能夠?qū)⑷切蔚闹芯€分為1∶2的兩部分，這也為本題解決線段三等分提供了思路.

2.3? 借助矩形的性質(zhì)

如圖8所示.在圓O中，連接AB，CD兩條直徑，以AB，CD為對(duì)角線作矩形ABCD；取AC，BD的中點(diǎn)分別為E，H，連接EH；連接DE，交AB于點(diǎn)F；取BF的中點(diǎn)G，則F，G為線段AB的三等分點(diǎn)；進(jìn)而以FG為直徑畫(huà)圓，問(wèn)題得解.圖8

此方法利用矩形對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，構(gòu)造出相似比為1∶2的兩個(gè)相似三角形△AFE∽△BFD，也就將線段分為了1∶2的兩部分，與借助三角形的重心有異曲同工之妙.

2.4? 借助等邊三角形的性質(zhì)

如圖9所示.分別以A，B為圓心，AB為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于C，D兩點(diǎn)，連接AC，AD，BC，BD得到全等的等邊△ABC和等邊△ABD；在線段AC，BC上分別截取AH=BE=AO；連接DH、DE分別交線段AB于點(diǎn)F，G，則F，G為線段AB的三等分點(diǎn)；進(jìn)而以FG為直徑畫(huà)圓，問(wèn)題得解.? 圖9

這一作法實(shí)則是根據(jù)三角形的中位線和等邊三角形三邊相等的性質(zhì)，同樣構(gòu)造出了相似比為1∶2的兩個(gè)相似三角形△HFO∽△DFA，進(jìn)而促進(jìn)問(wèn)題的解決.

2.5? 借助三角函數(shù)

如圖10所示.以點(diǎn)A為圓心，AO為半徑作弧，交圓O于點(diǎn)C，連接BC，過(guò)點(diǎn)O作AB的垂線，交BC于點(diǎn)D，作BD的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，以點(diǎn)O為圓心，OE為半徑作圓，問(wèn)題得解.圖10

如圖11所示.以點(diǎn)A為圓心，AO為半徑作弧，交圓O于點(diǎn)C，連接OC，作OC的垂直平分線，交OC于點(diǎn)D，作OA的垂直平分線，交AD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作AD的垂線交AB于點(diǎn)F，以O(shè)為圓心，OF為半徑作圓，問(wèn)題得解.圖11

這兩種方法借助了30°和60°角的三角函數(shù)來(lái)解決.利用尺規(guī)作圖構(gòu)造出特殊直角三角形，并與垂徑定理結(jié)合，將大圓的半徑分成了1∶2的兩部分.特殊角的三角函數(shù)為本題的解答提供了獨(dú)特的思路.

綜上來(lái)看，解決這一問(wèn)的方法是多種多樣的，但學(xué)生的答題率和正確率卻不樂(lè)觀，其原因就在于學(xué)生分析題目的能力欠缺，對(duì)于尺規(guī)作圖一類(lèi)的題目只會(huì)機(jī)械套用作圖步驟，不能結(jié)合所學(xué)基本圖形的性質(zhì)進(jìn)行聯(lián)想.因此要解決尺規(guī)作圖類(lèi)題目，我們應(yīng)該先從情境中抽象出數(shù)學(xué)模型以達(dá)到問(wèn)題簡(jiǎn)化的目的，再去分析解決問(wèn)題的關(guān)鍵，然后在頭腦中展開(kāi)聯(lián)想，根據(jù)聯(lián)想整合作圖方法，最后形成自己的解題方法.注重從已有的知識(shí)出發(fā)分析問(wèn)題，注重將“思想、推理和操作”相融合，善于借力來(lái)解決問(wèn)題.

這樣通過(guò)“抽象數(shù)學(xué)模型—簡(jiǎn)化問(wèn)題—結(jié)合幾何圖形性質(zhì)—找尋問(wèn)題關(guān)鍵”的方式，對(duì)問(wèn)題做簡(jiǎn)化，幫助學(xué)生分析問(wèn)題，確定核心問(wèn)題；通過(guò)“執(zhí)果索因”，從問(wèn)題出發(fā)，理清解決問(wèn)題的思路，尋找問(wèn)題解決的突破口，幫助學(xué)生解決問(wèn)題；引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想已有的知識(shí)基礎(chǔ)，發(fā)散思維，使用不同的方法解決問(wèn)題，讓學(xué)生更加理解尺規(guī)作圖的基本原理.3? 核心素養(yǎng)背景下用尺規(guī)解決問(wèn)題的路徑探究

從新課標(biāo)的要求以及教學(xué)中的實(shí)際情況來(lái)看，尺規(guī)作圖作為解決數(shù)學(xué)幾何圖形問(wèn)題的“抓手”之一，是日常教師的教和學(xué)生的學(xué)與應(yīng)用的難點(diǎn).因此，教師應(yīng)該從學(xué)生現(xiàn)有的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，注重思想、推理和操作的相互融合，幫助并引導(dǎo)學(xué)生掌握尺規(guī)作圖.3.1

確定解決問(wèn)題的關(guān)鍵

讀題是解決問(wèn)題的第一步.讀題是指閱讀問(wèn)題、理解問(wèn)題、分析問(wèn)題.學(xué)生在面對(duì)題干情境較長(zhǎng)的問(wèn)題時(shí)，通常會(huì)將題目歸為難度大的題目，而閱讀題目的過(guò)程中去圈畫(huà)關(guān)鍵字，目的是讓學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)模型，是幫助學(xué)生對(duì)問(wèn)題做“減法”，也讓學(xué)生更容易理解問(wèn)題.然后再?gòu)囊延兄R(shí)出發(fā)分析問(wèn)題，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分類(lèi)，確定解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

3.2? 關(guān)注知識(shí)之間的聯(lián)系

尺規(guī)作圖表面上是對(duì)學(xué)生的一項(xiàng)技能訓(xùn)練，實(shí)際上則是對(duì)學(xué)生思維能力的培養(yǎng).大部分題目都不是孤零零的出現(xiàn)，而且伴隨著多重考點(diǎn)，這就意味著學(xué)生要在頭腦中不斷聯(lián)想，要能夠?qū)⒅R(shí)緊密的聯(lián)系在一起.從問(wèn)題以及確定的關(guān)鍵出發(fā)，善用“執(zhí)果索因”，聯(lián)系基本圖形的性質(zhì)，注重知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)，這是做題的關(guān)鍵也是讓學(xué)生思維不斷開(kāi)闊的良好方法.

3.3? 理解作圖的基本原理

《新課標(biāo)》中多次強(qiáng)調(diào)要了解作圖的操作過(guò)程，強(qiáng)化作圖的基本原理，理解作圖的本質(zhì).作圖不能只是機(jī)械的套用畫(huà)圖步驟，而應(yīng)以基本知識(shí)為基礎(chǔ)去掌握基本技能，并學(xué)會(huì)站在數(shù)學(xué)的角度用數(shù)學(xué)的思想獲得基本的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).在觀察學(xué)生用尺規(guī)作圖解決問(wèn)題的過(guò)程中筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生通常畫(huà)了圖就默認(rèn)自己已經(jīng)完成解題，但他們忽略了畫(huà)圖只是一種假設(shè)，畫(huà)完圖后還應(yīng)對(duì)于此種假設(shè)進(jìn)行證明，看看是否符合數(shù)學(xué)邏輯.3.4? 形成自己的解題方法

基于學(xué)生思維發(fā)展的不同和已有知識(shí)的相似，解決問(wèn)題的方法是多種多樣的，因此就要求學(xué)生在做題時(shí)形成自己的解題方法.基于“確定關(guān)鍵、關(guān)注聯(lián)系、理解原理”這樣一個(gè)整體性的尺規(guī)作圖解題流程，學(xué)生的思維十分重要，而思維的體現(xiàn)方式就在于最終的方法的選擇.尺規(guī)作圖題目往往要求保留作圖的痕跡，從痕跡就可以看出學(xué)生的思維是否嚴(yán)謹(jǐn)，思維是否具有關(guān)聯(lián)性.4? 結(jié)束語(yǔ)

綜上所述，尺規(guī)作圖在培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中有著不可或缺的重要地位.同時(shí)教師也應(yīng)該借助尺規(guī)作圖的教學(xué)，讓學(xué)生更加關(guān)注知識(shí)之間的多元聯(lián)系，通過(guò)不斷聯(lián)想促進(jìn)“深度學(xué)習(xí)”的實(shí)現(xiàn)，發(fā)展高階思維，完成核心素養(yǎng)的提升.

參考文獻(xiàn)［1］中華人民共和國(guó)教育部．義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.4：63.

［2］劉金英.尺規(guī)作圖畫(huà)出精彩——基于2022年中考感悟尺規(guī)作圖的育人價(jià)值［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2022（12）：41-45.作者簡(jiǎn)介? 馬玉潔（1999—），女，江蘇徐州人，中小學(xué)二級(jí)教師；主要從事數(shù)學(xué)教育與初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.