張慕橙 李楸婷 夏小剛

摘要? 近二十年來，初中數(shù)學教材圍繞“方程”內(nèi)容，設置了豐富的問題情境。通過構建基于問題情境內(nèi)外特征相結(jié)合的分析框架，對選取的人教社“2005年版”和“2022年版”教材中的“方程”內(nèi)容進行分析，發(fā)現(xiàn)教材中的問題情境發(fā)生了明顯變化：數(shù)學水平、任務水平和真實水平有了提升，問題情境的思考性明顯增強；生活情境、職業(yè)情境和數(shù)學情境的數(shù)量明顯增多，問題情境的現(xiàn)實性得到強化；綜合水平呈居中變化趨勢，問題情境的育人價值愈加凸顯。在此基礎上，提出了面向核心素養(yǎng)的幾點教學建議。

關鍵詞? 初中數(shù)學教材；方程；問題情境；數(shù)學核心素養(yǎng)；人教版

近二十年來，無論是《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》[1]、《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》[2]還是《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》[3]，它們均在教材編寫建議中強調(diào)應為學生提供豐富的問題情境，以此促進學生經(jīng)歷從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學知識與方法的過程。同時，在教學實施建議中提出，應強化情境設計與問題提出，以使學生在數(shù)學化活動中得到數(shù)學思維品質(zhì)和能力的發(fā)展。據(jù)此，人教社先后編寫了體現(xiàn)課程標準要求的初中數(shù)學教材。同時，國內(nèi)不少研究者也對初中數(shù)學教材中的情境創(chuàng)設進行了探討，主要有三類：一是側(cè)重于國內(nèi)外初中數(shù)學教材中情境的來源、情境的真實度、情境的文化性以及情境水平等方面的比較分析[4-7]，二是側(cè)重于我國初中數(shù)學教材中的情境任務、情境的“城市化”傾向、問題情境的質(zhì)量評價、問題情境的發(fā)展等方面的研究[8-10]，三是側(cè)重于不同時期我國初中數(shù)學教材中問題情境的作用分析[11]。然而，有研究指出，我國初中數(shù)學教材中的情境設置存在諸多問題，如情境只停留在問題的包裝表面、未與數(shù)學知識發(fā)生關聯(lián)[12]；雖然教材中例題情境種類多樣，但是“無情境”類型的例題比重過大[13]等等。這些問題反映了教材對如何通過情境設置建立數(shù)學知識與現(xiàn)實世界之間本質(zhì)的、必然的聯(lián)系關注不夠。

“方程”是初中數(shù)學教學的核心內(nèi)容之一，其滲透的“建?！彼枷?、“化歸”思想是學生在真實世界情境下解決問題的重要基礎。因此，通過構建基于情境內(nèi)外部特征相結(jié)合的研究框架，分析不同時期代表性教材中方程內(nèi)容的問題情境，以此探索教材中問題情境的發(fā)展變化，必將有助于深入理解教材中的問題情境及其價值取向變化，同時為進一步改進教材編寫中方程內(nèi)容的情境設置提供參考。

一、研究設計

1.研究對象

人教版初中數(shù)學教材是我國發(fā)行量最大、使用范圍最廣、影響力最大的初中數(shù)學教材，在我國數(shù)學課程實施的過程中扮演著重要角色[14]。結(jié)合課程標準教材的編寫與使用現(xiàn)狀，選取了人教社2005年版初中數(shù)學教材（以下簡稱“2005年版”教材）和2022年版初中數(shù)學教材（以下簡稱“2022年版”教材）。兩版教材所依據(jù)的課程標準分別為《全日制義務教育階段數(shù)學課程標準（實驗稿）》和《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》，在一定程度上代表了近二十年來不同時期初中數(shù)學教材的發(fā)展特點。

基于此，選取兩個版本教材中“方程”內(nèi)容的問題情境作為研究對象，內(nèi)容主要涉及一元一次方程（七上）、二元一次方程組（七下）、分式方程（八上）、一元二次方程（九上）等。由于兩版教材在“方程”內(nèi)容部分的編寫體例、欄目分布幾乎一致，為便于研究，將“方程”內(nèi)容中的章頭、問題、探究、思考、例題、實驗與探究和數(shù)學活動等欄目統(tǒng)稱為教材“新知引入”欄目，將“方程”內(nèi)容中的練習、復習鞏固、綜合運用和拓廣探索等欄目統(tǒng)稱為教材“新知鞏固”欄目。

2.研究方法

采取內(nèi)容分析法，分別從問題情境的內(nèi)部特征和外部特征視角建立起問題情境分析框架，對人教版“2005年版”和“2022年版”教材中“方程”內(nèi)容的問題情境進行分類、編碼與統(tǒng)計分析，以此揭示初中數(shù)學教材中“方程”內(nèi)容的問題情境的整體特性與發(fā)展變化。

3.分析框架

（1）內(nèi)部特征分析框架

內(nèi)部特征分析框架主要借鑒陳志輝[15]等人研究的問題情境水平分析框架。同時，依據(jù)夏小剛等人[16]對情境真實性的理解并參考李保臻[17]等人對情境真實性水平的劃分，將問題情境的真實性分為構造式情境、經(jīng)驗式情境、理性式情境和思辨式情境。其中，構造式情境指的是情境未涉及真實世界中的人和事物，用假設、如果等詞描述問題或用純數(shù)字構造的運算問題；經(jīng)驗式情境指的是情境與學生已有生活經(jīng)驗對接，涉及真實世界中的場景；理性式情境指的是情境的真實性需要學生依據(jù)已有經(jīng)驗并經(jīng)理性反思后加以確認，通常從學生未來生活可能接觸到的情境和歷史事件中取材；思辨式情境指的是情境中蘊含了數(shù)學關系，其背景主要以數(shù)學、科學和人文知識為內(nèi)容。

對各維度特征水平采用加權平均的方法進行計算：

其中di（i=1，2，3，4）依次分別表示“數(shù)學水平”“表征水平”“任務水平”“真實水平”4個維度上的加權平均值；dij表示第i個維度的第j個水平的權重（依水平分別取1，2，3，4）；n為情境總量，nij表示第i個維度在第j個水平的情境數(shù)量。

同時，將問題情境分為低水平、中水平和高水平三個層次。低水平：問題情境所涉及的四個維度均在水平二及以下，表明問題情境不能全方位激發(fā)學生的問題意識；高水平：涉及的四個維度均在水平三及以上，表明問題情境具有較高的復雜性和綜合性，利于培養(yǎng)學生解決問題情境的能力；其余水平被視為中水平，通常這類問題情境所呈現(xiàn)的內(nèi)部特征水平良好，對學生知識的認識、理解和創(chuàng)新具有積極作用。

（2）外部特征分析框架

在PISA 2021[18]對情境類型劃分的基礎上，將情境劃分為五類：生活情境、職業(yè)情境、社會情境、科學情境和數(shù)學情境（生活情境：重點關注與學生自身、學生所在家庭和學校等相關的日常活動；職業(yè)情境：重點關注工作環(huán)境，與工作決策有關；社會情境：重點關注個體所在社區(qū)，與公共事件、經(jīng)濟、人口有關；科學情境：涉及的是運用數(shù)學解決與自然界、科學技術相關的專題；數(shù)學情境：含有相關數(shù)學知識和數(shù)學思想方法，主要以符號語言體現(xiàn)）。另外“方程”在教科書中的位置分布主要從內(nèi)容分布和欄目分布兩個方面考察，外部特征只進行分類統(tǒng)計不進行賦值，具體見表1。

二、結(jié)果與討論

1.問題情境內(nèi)部特征和綜合水平情況

依據(jù)“方程”問題情境內(nèi)部特征分析框架，并采用加權平均法對各個維度進行均值計算，得到的統(tǒng)計結(jié)果見表2。

從表2可知，2022年版教材中“方程”內(nèi)容問題情境的數(shù)學水平、任務水平和真實水平較2005年版有所提升，其中數(shù)學水平提升較為明顯。數(shù)學水平的上升體現(xiàn)出課標對運算要求的變化：從提倡算法多樣化到發(fā)展運算思路和運算能力的素養(yǎng)要求，彰顯了問題情境對學生思維發(fā)展的重要意義。兩版教材中問題情境的任務水平最高，且2022年版教材比2005年版有小幅度上升，反映了2022年版教材對高水平數(shù)學任務的重視，引導學生進行高層次的思維和推理。在真實水平的研究中發(fā)現(xiàn)，2022年版教材對一些問題的表述進行了修改：增加了問題的具體信息（時間、地點、人物等），問題表述中“如果”“假設”這樣的詞匯減少，例如將甲乙更換成真實人名，將某地冬季一天的溫差改為某地某具體時日的溫差，這樣的表述使問題更具真實感。經(jīng)驗式情境數(shù)量增加最多，反映了“方程”內(nèi)容與學生現(xiàn)實生活聯(lián)系更為廣泛，例如一元一次方程（七上）第四節(jié)中的探究活動，將油菜種植問題更改為電話計費問題，對七年級學生來說，電話計費問題與日常生活的聯(lián)系更緊密。需要注意的是，兩版教材中問題情境的表征水平都明顯低于其他三種水平，且2022年版較2005年版教材有所下降，分析發(fā)現(xiàn)2022年版教材刪除了部分插圖，表征方式較單一。例如，一道關于農(nóng)業(yè)灌溉方式的問題，2005年版教材展現(xiàn)了兩張農(nóng)業(yè)灌溉的圖片，2022年版教材將圖片刪除。由于學生（尤其是城市學生）對農(nóng)業(yè)灌溉的了解程度不高，這在一定程度上阻礙學生的數(shù)學思考，教材對非語言元素的重視有待提升。變化之外，兩版教材的問題情境在各內(nèi)部特征的具體水平上呈現(xiàn)出相對一致性，這體現(xiàn)出對學生“方程”學習要求的總目標不變。

通過對問題情境進行綜合水平（低水平、中水平、高水平）的分類統(tǒng)計，得到兩版教材中“方程”內(nèi)容問題情境綜合水平的占比情況，如圖1，兩版教材中問題情境綜合水平以中水平為主，其次是低水平。盡管高水平的問題情境占比較低，但是總體上問題情境的復雜性和綜合性程度良好。這為人人都能獲得良好的數(shù)學教育提供了可能，問題情境的育人價值得以凸顯。

2.問題情境類型及內(nèi)部特征分布情況

按照問題情境分類框架，對兩版教材中“方程”內(nèi)容的問題情境類型及其數(shù)量進行統(tǒng)計，見表3。

兩版教材中各類型情境占比變化不大，且都以數(shù)學情境為主導，教材的數(shù)學化程度較高。2022年版的生活情境和職業(yè)情境占比有所提升，說明現(xiàn)行教材對學生的個人生活、教育和職業(yè)發(fā)展關注度較高，這與“方程”內(nèi)容中高度滲透的應用意識有關，也與2011年版課標強調(diào)課程內(nèi)容與時俱進、反映現(xiàn)代科學技術與社會發(fā)展需要的觀念相符，體現(xiàn)了課程對學生生活現(xiàn)實和數(shù)學現(xiàn)實的關注。需要注意，教材對社會情境和科學情境的關注有待提高。

由圖2發(fā)現(xiàn)，隨著年級的增加和數(shù)學知識的不斷深入，兩版教材中“方程”內(nèi)容的問題情境化數(shù)量呈下降趨勢，而問題的數(shù)學化趨勢在高年級陡然增加。無疑，作為對此現(xiàn)象的教學反思，教師有必要加強對高年級數(shù)學問題的情境化設計，以此彌補教材之不足，進而增強學生基于現(xiàn)實情境理解方程的意義。

表4呈現(xiàn)了兩版教材中“方程”內(nèi)容問題情境的內(nèi)部特征加權平均值。除表征水平外，其他內(nèi)部特征水平在2022年版各內(nèi)容主題中的均值均大于或與2005年版教材持平。而表征水平的均值變小不完全代表其有明顯下降，以一元二次方程為例，其中一道關于植物主干與分支生長的問題，在2005年版教材中呈現(xiàn)了一棵樹的圖片，在2022年版教材中呈現(xiàn)同樣的問題但沒有附帶圖片，“樹”是學生日常生活中最熟悉的事物之一，這類非必要性圖片的出現(xiàn)對學生解決問題是否有意義需要進一步考察，重要的是要思考如何將文字信息進行可視化，以復合型表征形式呈現(xiàn)問題，助力學生解決創(chuàng)造性問題以及激活學生的深度思維[19]。此外，兩版教材中九年級（一元二次方程）問題情境的內(nèi)部特征均低于七年級（一元一次方程），從一個側(cè)面反映出隨著受教育程度的提升，教材相應呈現(xiàn)出去情境化和強數(shù)學化的趨勢。

在欄目分布中，2022年版教材和2005年版教材“新知引入”欄目中的問題情境數(shù)分別為63和64，“新知鞏固”欄目中的問題情境數(shù)分別為192和179，2022年版教材中學生課后進行知識鞏固的問題情境增多。結(jié)合圖3和圖4可以發(fā)現(xiàn)，“新知引入”和“新知鞏固”欄目均以數(shù)學情境為主，生活情境和職業(yè)情境次之。與2005年版相比，2022年版教材在總問題情境數(shù)量減少的情況下，科學情境反而增多，反映出教材期望學生在教師引導下感受方程在其他學科中的廣泛應用。

由表5可知，除表征水平外，兩版教材“新知引入”欄目中問題情境其他特征水平均高于“新知鞏固”欄目，反映出教材“新知引入”內(nèi)容中問題情境的綜合性和復雜性相對較高。然而，2022年版教材表征水平下降，在一定程度上制約了學生獲取和分析圖表信息能力的發(fā)展。

三、結(jié)論與建議

自2001年以來，隨著基礎教育數(shù)學課程改革的不斷深化，我國數(shù)學課程建構的邏輯和教育理念由“雙基”、“四基”轉(zhuǎn)向了“核心素養(yǎng)”。核心素養(yǎng)的課程邏輯，使得問題情境成為教材發(fā)揮育人價值的重要載體。二十年來，兩版教材中“方程”內(nèi)容問題情境的變化，無不反映課程育人的時代要求：其一，教材中問題情境的來源與背景更加貼近學生在客觀世界中獲取的生活經(jīng)驗與數(shù)學經(jīng)驗；其二，教材中問題的思考性與任務要求更加符合當前對核心素養(yǎng)培育的價值取向；其三，教材中問題情境創(chuàng)設的出發(fā)點已從激趣設疑轉(zhuǎn)向了對學生數(shù)學思維品質(zhì)和能力的培養(yǎng)。

當前，有關“方程”內(nèi)容的教材研究主要集中在不同版本教材間的比較，其研究內(nèi)容大多集中在內(nèi)容編排、內(nèi)容難度、習題設置等方面。本研究對兩版教材中“方程”內(nèi)容問題情境的比較分析，無疑對數(shù)學教育如何從“課程育人”的角度回答“素養(yǎng)為本”的問題具有積極意義。

1.結(jié)論

通過構建基于問題情境內(nèi)外特征相結(jié)合的分析框架，對選取的人教社“2005年版”和“2022年版”教材中的“方程”內(nèi)容進行分析，發(fā)現(xiàn)教材中的問題情境發(fā)生了明顯變化：數(shù)學水平、任務水平和真實水平有了提升，問題情境的思考性得到加強；生活情境、職業(yè)情境和數(shù)學情境的數(shù)量有所增加，問題情境的現(xiàn)實性得到強化；綜合水平呈居中趨勢，問題情境的育人價值愈加凸顯。

2.建議

教材是教學育人過程中的藍本、教師教學的重要依據(jù)，教師在理解教材的基礎之上，創(chuàng)造性地使用教材尤為重要。為此，結(jié)合兩版教材問題情境的變化特點，提出如下有關方程內(nèi)容的幾點教學建議。

（1）加強高年級問題情境化設計，發(fā)展學生均衡的數(shù)學化能力。從問題情境的內(nèi)容分布中可以發(fā)現(xiàn)，隨著年級的增加，教材中的問題多以純數(shù)學情境呈現(xiàn)，所創(chuàng)設的情境化問題數(shù)量明顯減少。因此，加強高年級教學中數(shù)學問題的情境設計，有助于學生橫向數(shù)學化和縱向數(shù)學化能力的均衡發(fā)展。

（2）提升問題情境的表征特征水平，助力學生分析信息的能力。適宜的問題表征對數(shù)學問題解決具有促進作用，可以幫助學生全面了解和充分理解問題的背景和指向。然而，兩版教材中問題情境多以純數(shù)字、短語或文本故事呈現(xiàn)，而真實世界中復雜問題的表征方式多樣，這必然影響學生面對這類復雜問題時，分析和獲取準確信息的能力[20]。因此，教師在教學過程中，要善用信息科技手段，豐富問題情境的表征形式，提升問題情境的表征特征水平，進而提高學生篩選和分析信息的能力。

（3）提高“新知鞏固”欄目的問題情境水平，促進學生數(shù)學思維的提升?！靶轮搿睓谀繂栴}情境的綜合水平高于“新知鞏固”欄目，這意味著新知的鞏固與深化，不利于激發(fā)學生的思維發(fā)展。羅日葉指出，學生在掌握某一概念的過程中，需要在一個比獲取這一概念時更加復雜的情境中來應用它[21]，即當新知識的學習結(jié)束后，學生應當在一個更加復雜的情境中重新運用學習到的知識與技能。因此，在課堂練習和布置作業(yè)的教學環(huán)節(jié)中以及后續(xù)的復習課中，教師應適當增加一些情境水平較高的問題，以促進學生在學習過程中的思維參與，進而提升學生的思維水平。

（4）重視問題情境的多學科背景，增強數(shù)學與其他學科之間的聯(lián)系。數(shù)學學習不僅需要數(shù)學思想的支撐，還與文學、藝術、歷史、科學、物理、生物等多學科產(chǎn)生緊密的聯(lián)系。然而，兩版教材“方程”內(nèi)容中的問題情境大多以數(shù)學情境為主導，且2022年版教材較2005年版中的社會情境和科學情境占比均有下降。由于社會情境和科學情境易于呈現(xiàn)數(shù)學問題情境的多學科背景，因此，教師應借助社會情境和科學情境的創(chuàng)設，以問題情境的多學科背景，增強學生數(shù)學學習中的多科學聯(lián)系。

（5）關注真實情境的創(chuàng)設，搭建經(jīng)驗世界與現(xiàn)實世界的橋梁。真實情境是培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要載體，是學生從經(jīng)驗世界通往現(xiàn)實世界的橋梁。兩版教材“方程”內(nèi)容中的問題情境真實性水平仍處于較低狀態(tài)。真實情境的“真實”體現(xiàn)在合乎學生的過往經(jīng)驗、契合學生的理性思考、符合學生的思維發(fā)展，由于學生所面對的問題是超越學校場景的真實性問題[22]，這需要教師在教學活動中把握真實與問題情境之間的深層關系，不可只停留于生活經(jīng)驗上的真實，而應更要關注學生思維理性上的真實，從外在轉(zhuǎn)向內(nèi)在，進而幫助學生達到“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界，會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”的目標。

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