田麗娜

摘要：集合是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的工具.對于剛從初中升到高一的學(xué)生而言，面對集合這一抽象的概念，往往理解不透.APOS理論是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，它認為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程是一個建構(gòu)的過程，分為操作、過程、對象、圖式這四個階段.在APOS理論的指導(dǎo)下，以“集合”為例，進行四個階段的教學(xué)設(shè)計.

關(guān)鍵詞：APOS理論；數(shù)學(xué)概念；集合；概念教學(xué)

集合是高中階段數(shù)學(xué)課程引入的第一個概念，是整個高中數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的基礎(chǔ)，對后續(xù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)非常有幫助，在整個高中階段數(shù)學(xué)內(nèi)容中有著舉足輕重的地位.可見，學(xué)好集合至關(guān)重要.然而，不少學(xué)生對集合概念的理解卻存在著誤區(qū)，在做題時出現(xiàn)了很多問題.美國學(xué)者EdDubinsky等人提出的APOS理論對數(shù)學(xué)概念的教學(xué)具有指導(dǎo)作用.本文中要解決的問題就是如何運用APOS理論指導(dǎo)集合概念的教學(xué).

1 APOS理論概述

APOS理論由美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基提出＼.APOS是由action（操作）、process（過程）、object（對象）、schema（圖式）這幾個英文的首字母組合而成的.這個理論認為，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，如果教師能引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷操作、過程以及對象這幾個階段，那么一般情況下，學(xué)生就能夠在建構(gòu)、反思的基礎(chǔ)上把它們組成圖式，從而厘清問題的情境，順利解決問題＼.該理論是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，它認為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的過程是一個建構(gòu)的過程，建構(gòu)的四個階段應(yīng)該是循序漸進的，一般來說，不可逾越，因此教師可以把APOS理論作為經(jīng)驗，指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.

2 概念教學(xué)概述

數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)是學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的基石，還可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分.教學(xué)中教師要展示數(shù)學(xué)概念的形成過程，使學(xué)生能夠主動建構(gòu)學(xué)習(xí)過程，從而更加深刻理解這個數(shù)學(xué)概念＼.

3 基于APOS理論的“集合”教學(xué)設(shè)計

3.1 活動階段

在小學(xué)和初中階段，我們就已經(jīng)接觸過了一些集合.比如在初中階段，在代數(shù)方面，學(xué)過自然數(shù)集合、有理數(shù)集合以及實數(shù)集合；在幾何方面，學(xué)過點的集合等.觀察下面的例子：

（1）1～10之間的所有偶數(shù)；

（2）黑龍江省克東縣一中的全體高二學(xué)生；

（3）所有的正方形；

（4）到直線l的距離等于定長d的所有點；

（5）方程x2－3x+2=0的所有實數(shù)根；

（6）地球上的四大洋.

在例（1）中，把1到10之間的每一個偶數(shù)都作為元素，那么這些元素的全體就可以組成一個集合；在例（2）中，把黑龍江省克東縣一中的每一位高二學(xué)生作為元素，這些元素的全體也可以組成一個集合.

思考：上述的例（3）到例（6）中的元素分別是什么？它們可以組成集合嗎？

集合：一般地，我們把研究對象統(tǒng)稱為元素，通常用小寫拉丁字母a，b，c，……表示，把一些元素組成的總體叫做集合（簡稱為集），通常用大寫拉丁字母A，B，C，……表示.

追問：高中學(xué)生中的跑步能手的全體是否能組成集合？

分析：高中學(xué)生中的跑步能手這一定義并不明確，很難判斷某個人是否滿足跑步能手這樣子的說法，無法確定一個標準，所以，這樣的說法表示的對象無法組成一個集合.

確定性：對于一個給定的集合，集合中的元素必須是確定的，一個元素要么是這個集合中的元素，要么不是這個集合中的元素.

互異性：一個給定集合中的元素是互不相同的.

無序性：集合中元素的位置是可以變換的，只要構(gòu)成兩個集合的元素是相同的，那么這兩個集合就是相等的.

設(shè)計意圖：根據(jù)學(xué)生已經(jīng)有的認知結(jié)構(gòu)，再從學(xué)生熟悉的各種具體的集合引入，重要的是將這些具體的事例進行抽象，從而得到集合的概念.教學(xué)中共講解六個例子，從中總結(jié)集合的概念，讓學(xué)生充分體會集合的含義，并用準確的語言表達集合的特征.另外，講解一個反例，幫助學(xué)生理解集合的概念.這個階段是操作階段，應(yīng)多提供一些感性材料啟發(fā)學(xué)生進行思考.

3.2 過程階段

如果a是集合A中的元素，那么a屬于集合A，記作a∈A；如果a不是集合A中的元素，那么a不屬于集合A，記作aA.

練習(xí)：用符號“∈”或“”填空.

0N；

-3N；

0.5Z；

2Z；

13Q；πQ.

設(shè)計意圖：此階段講述元素與集合的關(guān)系，通過練習(xí)題加深學(xué)生對此概念的理解，這也是自然語言轉(zhuǎn)化為符號語言的關(guān)鍵.符號語言的教學(xué)是整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一個重點，所以要特別注意學(xué)生的符號使用是否規(guī)范，為以后的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ).這個階段是過程階段，要注意引導(dǎo)學(xué)生進行抽象概括，要求學(xué)生嚴謹?shù)厥褂梅栒Z言.

3.3 對象階段

列舉法：把集合中的所有元素一一列舉出來，并且用花括號“{}”括起來表示集合的方法叫做列舉法.

除了一些特殊集合外，還可以用什么方式表示集合呢？

例1用列舉法表示下列集合：

（1）1到11之間的所有奇數(shù)組成的集合；

（2）A={x|x2=5x}.

提問：對于不等式x－7<3，你可以用列舉法表示它的解集嗎？

描述法：一般地，設(shè)A是一個集合，我們把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x所組成的集合表示為{x∈A|P（x）}，這種表示集合的方法稱為描述法.

例2用描述法表示下列集合：

（1）正偶數(shù)集；

（2）被3除余2的正整數(shù)的集合；

（3）函數(shù)y=3x+5與函數(shù)y=x－4的圖象的交點組成的集合.

例3請同時使用描述法和列舉法表示下列集合：

（1）大于15并且小于25的所有整數(shù)組成的集合A；

（2）方程x2－10=0的所有實數(shù)根組成的集合B.

設(shè)計意圖：通過幾道例題，學(xué)生充分體會什么情況下使用列舉法好，什么情況下使用描述法好，因為有一些題目既可以使用列舉法又可以使用描述法，此時的教學(xué)也滲透給學(xué)生最優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想.經(jīng)過前面兩個階段的學(xué)習(xí)后，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了集合的特征，這時學(xué)生學(xué)習(xí)集合的表示法，能夠準確地使用符號語言表示集合，能夠把集合看成是一個整體，從而達到對象階段.

3.4 圖式階段

運用集合元素的性質(zhì)和表示法解決實際問題.

例4若x2∈x，1，0，則x=_____________.

解析：由題意可知，x2=x或x2=1或x2=0.

①當x2=x時，x=0或x=1.當x=0時，集合的三個元素為0，0，1，不滿足集合中元素的互異性；當x=1時，集合的三個元素為1，1，0，不滿足集合中元素的互異性.

②當x2=1時，x=－1或x=1（舍去），集合的三個元素為-1，1，0，滿足集合中元素的互異性.

③當x2=0時，x=0，不滿足集合中元素的互異性.

綜上可知，x=－1.

設(shè)計意圖：在學(xué)習(xí)了集合的含義、集合的特征、元素與集合之間的關(guān)系、集合的表示法之后，給出幾道練習(xí)題，讓學(xué)生運用這些知識來解決問題，從而形成集合概念的圖式.學(xué)生是否掌握了圖式的連貫性可以通過一個方法來確定，即學(xué)生有沒有用它來解決特定的數(shù)學(xué)問題的能力＼.在沒有學(xué)習(xí)這節(jié)課之前學(xué)生關(guān)于集合概念的圖式都是具體的、零散的，而新的圖式是抽象的、整體的.

4 教學(xué)反思及建議

APOS理論本質(zhì)上討論的是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理結(jié)構(gòu)和心理機制的問題.心理機制可以解釋個體的數(shù)學(xué)知識是如何建構(gòu)的，基于這個功能，APOS理論可以作為一個理論基礎(chǔ)，對數(shù)學(xué)概念教學(xué)進行指導(dǎo)＼.實踐表明，基于APOS理論下的數(shù)學(xué)概念的教學(xué)能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，加深學(xué)生對概念的理解.所以，在操作階段教師可以多提供一些感性材料，啟發(fā)學(xué)生進行思考；在過程階段教師應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生進行抽象概括，將集合的自然語言轉(zhuǎn)化為符號語言；在對象階段，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了概念的形式＼，教師應(yīng)引導(dǎo)并幫助學(xué)生理解概念的實質(zhì)；通過前面三個階段的學(xué)習(xí)，教師可以利用練習(xí)題來判斷學(xué)生是否達到第四階段，形成一個新的整體的圖式.APOS理論中的四個階段是緊密聯(lián)系的，不可以把它們割裂來看.APOS理論是一種建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論，強調(diào)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，強調(diào)學(xué)生應(yīng)是主動建構(gòu)知識而不是被動接受，所以，教師除了要發(fā)揮自己的主導(dǎo)作用，還要以學(xué)生為中心，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用.

參考文獻：

［1］濮安山，史寧中.從APOS理論看高中生對函數(shù)概念的理解[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007（2）：48-50.

［2］喬連全.APOS：一種建構(gòu)主義的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)理論[J].全球教育展望，2001（3）：16-18.

［3］李莉.學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的層次分析[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002（3）：12-15.

［4］江春蓮，胡玲.基于APOS理論和RMI原則的二次函數(shù)圖象平移教學(xué)實驗研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2020，29（6）：32-39.

［5］馬曉丹.APOS理論探索的反思與超越[J].教學(xué)與管理，2020（33）：74-77.

［6］程華.APOS理論的內(nèi)涵及其對中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的啟示[J].教學(xué)與管理，2010（24）：65-66.