儲春琴

遞進式教學模式是指在一個遞進式的情境線索下，由淺入深地設計一個個問題情境，鼓勵學生在自主探究與合作交流中實現(xiàn)教學三維目標的一種教學方法.這種方法是引導學生深入思考與探究、提高學習效率、形成良好思維習慣的重要手段.筆者以“三垂線法”的教學為例，具體談談遞進式教學模式在高中數(shù)學課堂教學中的實踐與思考，共勉！

1 結(jié)合學情分析，確立遞進目標

不同的學生受其生活經(jīng)驗與認知水平的影響，思維上會存在一定的差異性.這種差異性導致他們在面對同一問題時，會產(chǎn)生不同的理解.新課標明確提出：“數(shù)學教學要使每個學生都能在學習中獲得不同程度的發(fā)展.”因此，教師應結(jié)合實際情況，根據(jù)學生的認知差異，確立遞進式的教學目標，為真正意義上實現(xiàn)教學的“三維目標”與“促進每個學生的發(fā)展”奠定基礎.

如圖1，教材中所呈現(xiàn)出的三垂線位置清晰，學生初次見到該圖，雖能認識“三垂線定理”，但因初次接觸，對該定理的本質(zhì)屬性尚不能完全理解，對于該定理的不同形態(tài)，難以把握.

筆者認為可引導學生從不同的角度出發(fā)，將“二面角”作為問題的背景，根據(jù)學情，由淺入深步步推進，讓教學活動具有內(nèi)在邏輯主線，讓學生充分了解“三垂線法”的核心，深化對知識本質(zhì)屬性的認識.

三垂線定理：如圖1所示，第1垂為直線AC⊥α；第2垂為a⊥BC；第3垂為a⊥AB.逆定理同理，在此不重復贅述.

若想用“三垂線法”解題，要關(guān)注以下幾個方面：①平面不一定是水平位置，要善于觀察參照面；②理清平面內(nèi)的直線、垂線、斜線以及射影四條線，且能找到或作出參照面的垂線.

三垂線定理與其逆定理常用來證明線線垂直、求二面角與求線面角等，是轉(zhuǎn)化線面垂直與線線垂直的主要手段.熟練掌握三垂線法，對立體幾何的學習具有深遠的影響.因此，三垂線法受到了廣大師生的關(guān)注.

從三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容和它的重要性出發(fā)，確立本節(jié)課的教學目標時，應根據(jù)學生實際認知水平逐層深入，具體為：

（1）理解并掌握三垂線定理及其逆定理；

（2）掌握線線垂直和線面垂直之間存在的辯證關(guān)系，滲透立體幾何證明過程中常用的轉(zhuǎn)化思想；

（3）初步掌握三垂線法的實際應用，尤其注重利用圖形位置的變化，訓練學生的空間想象力.

觀察這三個教學目標，不難發(fā)現(xiàn)，各層次的目標呈遞進式逐漸深入.從不同的參照面出發(fā)，問題的難度深淺不一，使得學生的思維螺旋式上升，目標也隨著思維的提升而達成.而問題的設置上，可參照水平位、豎直、傾斜以及應用性等，如此可訓練學生的空間想象力，達成既定目標，從真正意義上實現(xiàn)新課標所倡導的“三維目標”，為學生的終身可持續(xù)性發(fā)展奠定基礎.

2 遵循認知規(guī)律，確定遞進問題

教學不是簡單的“填灌”，而應遵循學生的認知發(fā)展的規(guī)律，找準新知的生長點，引導學生在原有的認知基礎上接納新知.本節(jié)課的教學，筆者從由簡單到復雜的認知發(fā)展規(guī)律著手，由淺入深地設置符合學生最近發(fā)展區(qū)的問題，以幫助學生更好地建構(gòu)新知.

例1如圖2所示，在三棱錐P-ABC中，PA與平面ABC垂直，已知△ABC是一個邊長為4的正三角形，且PA=BA，則二面角P-BC-A的正切值是多少？

解析：如圖3，過點A作線段BC的垂線，D為垂足，連接PD.

因為△ABC為正三角形，所以

AD⊥BC（第2垂）.又PA⊥面ABC（第1垂），所以

BC⊥PD（第3垂），故∠PDA是二面角P-BC-A的平面角.因此tan ∠ADP=PAAD=423=233.

評析：例1中垂面呈水平放置狀態(tài)，且條件中給出了垂線PA，通過觀察與分析，容易發(fā)現(xiàn)只要在平面ABC內(nèi)作出BC的垂線，就能達到三垂線法的要求，從而得出相應的結(jié)論.將此例作為起點問題，即第一個臺階，具有簡單、直觀、易理解的效果.這雖然是學生初次使用三垂線法，卻也順利.

設計意圖：此問的首要目的是引導學生順利使用三垂線法，初步感知三垂線定理的實際應用價值，從而對學習產(chǎn)生充足的信心；其次是以此例作為教學的墊腳石，讓學生從簡單的問題著手，逐漸過渡到有一定難度的問題.逐層深入的問題可燃起學生的探究熱情，為后期的深入教學奠定基礎.

新課標提出：“教師肩負的責任，不僅僅是單純呈現(xiàn)知識那么簡單，還應從學生的視角去看待與思考問題，根據(jù)學生的實際認知水平設計問題，秩化自己的思維，傾聽學生的意見，讓課堂成為學生建構(gòu)新知、發(fā)展思維的主要陣地.”由此可見，教師不僅要成為學生新知建構(gòu)與思維成長的引導者與幫助者，更有激發(fā)學生探究興趣、啟發(fā)學生學習動機的重要作用.因此，階梯狀的問題設計顯得尤為重要，符合學生認知發(fā)展規(guī)律的問題是聯(lián)系新知與舊知的橋梁，是遞進式教學的關(guān)鍵.

3 立足思維難點，實現(xiàn)遞進突破

受原有認知水平的影響，即使對同一個知識點的理解，學生也會存在一定的差異.面對學生思維的難點，該如何設計問題，幫助學生找到問題的本質(zhì)呢？“三垂線法”教學的重點與難點在圖形的翻轉(zhuǎn)與偏移上，這對學生空間想象力的要求較高，想要發(fā)現(xiàn)其中的本質(zhì)，突破這個教學難點，就需要引導學生對幾何體位置擺放問題進行深入探究.

例2如圖4，在三棱錐P-ABC中，△ABC為邊長是4的正三角形，已知AP=AB，PA⊥面ABC，則二面角A-PC-B的正切值是多少？

解析：如圖5，過點B作BE⊥AC，E為垂足，根據(jù)PA⊥BE，可得BE⊥平面PAC.作直線EF⊥PC，F(xiàn)為垂足，連接BF.根據(jù)BE⊥平面PAC（第1垂），EF⊥PC（第2垂），可得BF⊥PC（第3垂）.因此∠BFE為二面角A-PC-B的平面角.由△ABC的高BE=23，通過相似比得EF=EC·PAPC=2，所以tan ∠BFE=BEEF=6.

評析：例2對學生空間想象力的要求比較高，以平面PAC為參照面，圖5中它是豎直的平面，且平面PAC的垂線BE是由前往后作出的，這一步是學生理解的難點，因為大部分學生的對三垂線定理配圖印象較為深刻，不容易想到這種情況.例2成功地激發(fā)了學生的認知沖突，對空間想象力提出了新的挑戰(zhàn).在學生順利解決本例后，筆者又提出了新的問題，以深化學生對知識的理解與應用.

例3如圖6，四邊形B1C1CB是一個矩形，BB1垂直于平面ABC，且△ABC是等腰直角三角形，已知∠ACB=90°，AC=B1B=4，則二面角C-AB1-C1的正切值是多少？

解析：如圖7，過點C作直線AC1的垂線，D為垂足且為線段AC1的中點，再過點D作B1A的垂線，E為垂足，連接CE.

由C1B1⊥平面ACC1，得

C1B1⊥CD.又CD⊥AC1且C1B1∩AC1=C1，所以CD⊥平面AB1C1（第1垂）.又DE⊥AB1（第2垂），所以CE⊥AB1（第3垂）.

故∠DEC是二面角C-AB1-C1的平面角.

后續(xù)求解過程略.

評析：例3將參照面AB1C1傾斜放置，垂線也相應發(fā)生了變化，不再是直觀的從上而下的視覺效果.事實上，例2與例3的設置，最主要的目的在于突破學生思維定式對解題的影響，通過圖形位置的變化來激活學生的思維，幫助學生學會從不同角度分析與看待問題，從而提高對知識本質(zhì)的認知，達到舉一反三的成效.

實踐證明，不少學生遇到與三垂線定理相關(guān)的問題時，受思維定式的影響，習慣于平面處于水平放置的位置，當遇到平面豎直、傾斜位置等情況時，就手足無措.因此，筆者在本節(jié)課應用平面位置的變化來激發(fā)學生的探究欲，以突破學生思維的難點，為熟練應用三垂線法解決問題奠定基礎.

蘇霍姆林斯基認為：“有趣的課堂，是指學生帶著高漲的熱情進行探索與思考的課堂.”創(chuàng)設具有層次性、梯度性的問題是激發(fā)學生探究熱情的基礎，是遞進式教學模式的核心.由淺入深的問題能縮小學生思維的跨度，促進學生產(chǎn)生情感上的認同，形成積極的解決問題的心理傾向，從而更好地掌握知識的內(nèi)涵與外延，提升思維能力.