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        對(duì)2023年高考數(shù)學(xué)甲卷解析幾何題的解法探究與拓展

        2024-01-01 00:00:00李波
        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)本質(zhì)理性思維

        摘" 要:2023年全國(guó)甲卷理科第20題,要求學(xué)生在緊張的狀態(tài)中尋找運(yùn)算對(duì)象,選擇運(yùn)算方法,設(shè)計(jì)運(yùn)算程序,求解運(yùn)算結(jié)果.在條件變方法不變的情境中,促進(jìn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展,養(yǎng)成思考與解決問(wèn)題的習(xí)慣,鑄造嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神.

        關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)本質(zhì);理性思維;運(yùn)算程序;運(yùn)算結(jié)果

        中圖分類(lèi)號(hào):G632""" 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A""" 文章編號(hào):1008-0333(2024)16-0063-07

        收稿日期:2024-03-05

        作者簡(jiǎn)介:李波(1991—),男,中學(xué)一級(jí)教師,從事中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究.

        本文所引文獻(xiàn)研究了雙變量的最值問(wèn)題,解題方法多種多樣,運(yùn)算過(guò)程較為復(fù)雜,具有一定的思維難度,既考查了學(xué)生對(duì)課本概念的準(zhǔn)確理解,又考查了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、基本技能、思想方法靈活運(yùn)用的能力,能較好地考查學(xué)生的核心素養(yǎng)[1]. 2023年高考全國(guó)甲卷第20題是一道解析幾何中的雙變量最值問(wèn)題,考查了不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、向量、同角三角函數(shù)基本關(guān)系、解三角形、圖象變換、直線(xiàn)、拋物線(xiàn)、坐標(biāo)系與參數(shù)方程等知識(shí).

        1" 解法賞析

        題目" 已知直線(xiàn)x-2y+1=0和拋物線(xiàn)y2=2px(pgt;0)交于A,B兩點(diǎn),|AB|=415.

        (1)求p的值;

        (2)設(shè)F為拋物線(xiàn)y2=2px的焦點(diǎn),M,N為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn),MF·NF=0,求△MFN面積的最小值.

        分析" 第(1)問(wèn)考查直線(xiàn)與曲線(xiàn)的位置關(guān)系,弦長(zhǎng)公式,設(shè)而不求的數(shù)學(xué)方法. 第(2)問(wèn)通過(guò)細(xì)微的探究發(fā)現(xiàn),考查了直線(xiàn)普通方程的幾種形式、拋物線(xiàn)的定義、直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系、三角恒等變換、解三角形、圖象的平移和伸縮變換、極坐標(biāo)和參數(shù)方程在解析幾何中的綜合應(yīng)用、基本不等式、拋物線(xiàn)的常用結(jié)論等知識(shí);考查了換元、設(shè)而不求、函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想方法.試題情境簡(jiǎn)單大氣,意蘊(yùn)優(yōu)美,計(jì)算過(guò)程由淺入深,要求學(xué)生具備嚴(yán)密的邏輯思維,扎實(shí)的運(yùn)算技巧,靈活的數(shù)學(xué)思維,給人以又愛(ài)又恨之感.

        1.1" 第(1)問(wèn)解析

        解法1" 聯(lián)立x=2y-1,y2=2px,得y2-4py+2p=0.

        滿(mǎn)足△=16p2-8pgt;0,解得pgt;12.

        由根與系數(shù)的關(guān)系知y1+y2=4p,y1y2=2p.

        所以|AB|=1+22·(y1+y2)2-4y1y2=5·16p2-8p=415,

        解得p=2.

        解法2" 聯(lián)立y=12x+12,y2=2px,得

        x2+(2-8p)x+1=0.

        滿(mǎn)足△=64p2-32pgt;0,解得pgt;12.

        由根與系數(shù)的關(guān)系知x1+x2=8p-2,x1x2=1.

        所以|AB|=1+(12)2·(x1+x2)2-4x1x2=5·16p2-8p=415,

        解出p=2.

        1.2" 第(2)問(wèn)解析

        視角1" 設(shè)直線(xiàn)MN的普通方程.

        解法1" 設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=my+n,M(my1+n,y1),N(my2+n,y2),聯(lián)立x=my+n,y2=4x, 消x,得

        y2-4my-4n=0.

        滿(mǎn)足△=16m2+16ngt;0,由根與系數(shù)的關(guān)系知,

        y1+y2=4m,y1y2=-4n.

        則FM=(my1+n-1,y1),F(xiàn)N=(my2+n-1,y2).

        則FM·FN=(my1+n-1)·(my2+n-1)+y1y2.

        整理,得FM·FN=(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0.

        代入兩根和與積,得

        4m2+4n=(n-1)2.

        又|MN|=1+m2·(y1+y2)2-4y1y2=2|n-1|·1+m2,

        點(diǎn)F到直線(xiàn)MN的距離d=|n-1|m2+1,

        所以△MFN的面積

        S=12·|MN|·d=(n-1)2.

        由4m2+4n=(n-1)2,知

        4m2=n2-6n+1≥0,

        解得n≥3+22或n≤3-22.

        當(dāng)n=3-22時(shí),△MFN面積的最小值為S=12-82.

        解法2" 當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率不存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)MN的方程為x=t,tgt;0,則M(t,2t),N(t,-2t).

        所以FM=(t-1,2t),F(xiàn)N=(t-1,-2t).

        由FM·FN=0,解得t1=3-22,t2=3+22.

        當(dāng)t=3-22時(shí),M(3-22,22-2),N(3-22,-22+2),△MFN的面積為S=12-82;

        當(dāng)t=3+22時(shí),M(3+22,22+2),N(3+22,-22-2),△MFN的面積為S=12+82.

        當(dāng)直線(xiàn)MN的斜率存在時(shí),設(shè)直線(xiàn)MN的方程為y=kx+b,k≠0,M(x1,y1),N(x2,y2),聯(lián)立y=kx+b,y2=4x,得

        k2x2+(2kb-4)x+b2=0.

        滿(mǎn)足△=16-16kbgt;0,即kblt;1.

        由根與系數(shù)的關(guān)系知

        x1+x2=4-2kbk2,x1x2=b2k2.

        所以FM·FN=(x1-1)(x2-1)+y1y2=0.

        又y1=kx1+b,y2=kx2+b,所以

        FM·FN=(1+k2)x1x2+(kb-1)(x1+x2)+b2+1=0.

        代入兩根和,積得b2+k2+6kb-4=0.

        即(b+k)2=4-4kb.

        由拋物線(xiàn)定義知

        |FM|=x1+1,|FN|=x2+1,

        △MFN的面積

        S=12(x1+1)(x2+1)

        =12(x1x2+x1+x2+1)

        =(k+b)2+4-4kb2k2

        =(1+bk)2.

        由b2+k2+6kb-4=0,知

        4k2=(bk)2+6·bk+1gt;0.

        解得bklt;-3-22或bkgt;-3+22.

        易知△MFN的面積Sgt;12-82.

        綜上所述,△MFN的面積S≥12-82.

        所以△MFN面積的最小值為S=12-82.

        解法3" 由解法2知,|MN|=1+k2·(x1+x2)2-4x1x2=41+k2·1-kbk2,點(diǎn)F到直線(xiàn)MN的距離|MN|=|k+b|1+k2.

        所以△MFN的面積

        S=12·|MN|·d=2|k+b|1-kbk2.

        又(b+k)2=4-4kb,所以S=(1+bk)2.

        以下同解法2.

        視角2" 設(shè)直線(xiàn)FM的普通方程.

        解法4" 由題知,不妨假設(shè)點(diǎn)M在x軸下方,點(diǎn)N在x軸上方.設(shè)直線(xiàn)FM的方程為x=my+1,mgt;0,代入y2=4x,得y2-4my-4=0,解得yM=

        2m-2m2+1.

        所以|FM|=21+m2(1+m2-m).

        由FM⊥FN知,直線(xiàn)FN的方程為

        x=-1my+1.

        代入y2=4x,得y2+4my-4=0.

        解得yN=2m(m2+1-1),

        |FN|=2m2+1m(m2+1-1).

        所以△MFN的面積

        S=12|MF|·|NF|

        =2(m2+1)m2(m2+1-1)·(m2+1-m)

        =2(1+m/m2+1)(1+1/m2+1)

        =21+m/(m2+1)+1+2m/(m2+1).

        令h(x)=xx2+1,xgt;0,則h′(x)=1-x2(x2+1)2,易知h(x)在(0,1)單調(diào)遞增,h(x)在(1,+∞)單調(diào)

        遞減,當(dāng)x=1時(shí),h(x)有最大值h(1)=12,h(x)∈(0,12].

        則1+mm2+1+1+2mm2+1∈(2,32+2].

        所以△MFN面積的取值范圍為[12-82,1).

        所以△MFN面積的最小值為S=12-82.

        視角3" 利用二級(jí)結(jié)論.

        解法5" 如圖1,設(shè)直線(xiàn)FM的傾斜角為θ,θ∈(0,π2),與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為M1,點(diǎn)M在x軸下方,則

        cosθ=xM1-1|M1F|=xM1-1xM1+1.

        解得xM1=1+cosθ1-cosθ.

        所以|M1F|=xM1+1=21-cosθ.

        同理可得|MF|=21+cosθ.

        因?yàn)镕M⊥FN,所以直線(xiàn)FN的傾斜角為θ+π2,與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為N1,點(diǎn)N在x軸上方,易知|NF|=21+sinθ.

        所以△MFN的面積

        S=12|MF|·|NF|=2(1+sinθ)(1+cosθ).

        令f(θ)=(1+sinθ)(1+cosθ),θ∈(0,π2),則

        f ′(θ)=(cosθ-sinθ)(1+sinθ+cosθ).

        令f ′(θ)=0,θ=π4. 當(dāng)θ∈(0,π4)時(shí),f ′(θ)gt;0,f(θ)單調(diào)遞增;當(dāng)θ∈(π4,π2)時(shí),f ′(θ)lt;0,f(θ)單調(diào)遞減;當(dāng)θ=π4時(shí),f(θ)有最大值,f(π4)=32+2.

        所以△MFN面積的最小值為S=12-82.

        解法6" 由解法5知,△MFN的面積

        S=2(1+sinθ)(1+cosθ)

        =21+sinθ+cosθ+sinθcosθ.

        令sinθ+cosθ=t,則t=2sin(θ+π4)∈(1,2],t2=1+2sinθcosθ,解得sinθcosθ=t2-12.

        所以1+sinθ+cosθ+sinθcosθ=t22+t+12∈(2,32+2],△MFN面積的取值范圍為

        [12-82,1).

        所以△MFN面積的最小值為S=12-82.

        視角4" 利用直線(xiàn)FM的參數(shù)方程.

        解法7" 設(shè)直線(xiàn)FM的傾斜角為α,α∈(0,π2),與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為M1,M在x軸下方,由FM⊥FN,所以直線(xiàn)FN的傾斜角為α+π2,與拋物線(xiàn)的另一個(gè)交點(diǎn)為N1,點(diǎn)N在x軸上方.

        設(shè)直線(xiàn)FM的參數(shù)方程為x=-1+tcosα,y=tsinα(t為參數(shù)),代入y2=4x,得

        t2sin2α-4tcosα-4=0,△=16gt;0.

        所以t1=2cosα-2sin2α,t2=2cosα+2sin2α.

        因?yàn)辄c(diǎn)M在x軸下方,記|FM|=|t1|=-t1,則|FM|=2-2cosαsin2α.

        同理可得|FN|=2-2sinαcos2α.

        所以△MFN的面積

        S=12|MF|·|NF|=2(1-sinα)(1-cosα)sin2αcos2α=2(1+sinα)(1+cosα).

        以下同解法6.

        視角5" 利用拋物線(xiàn)的參數(shù)方程.

        解法8" 設(shè)M(y214,y1),N(y224,y2),其中y1lt;0,y2gt;0,所以

        FM=(y214-1,y1),F(xiàn)N=(y224-1,y2).

        由MF·NF=0,知

        (y214-1)(y224-1)+y1y2=0.

        解得(y1y2+4)2=(2y2-2y1)2.

        即|y1y2+4|=2|y1-y2|.

        又kMN=y2-y1y22/4-y21/4=4y2+y1,

        則直線(xiàn)MN的方程為y-y2=4y2+y1(x-y224).

        整理,得4x-(y1+y2)y+y1y2=0.

        所以點(diǎn)F到直線(xiàn)MN的距離

        d=|4+y1y2|(y1+y2)2+16,

        |MN|=|y2-y1|416+(y2+y1)2,

        所以△MFN的面積S=12·|MN|·d=|4+y1y2|·|y1-y2|8=(4+y1y2)216.

        又(y1y2)2+16y1y2+16=4y21+4y22,

        由重要不等式知

        (y1y2)2+16y1y2+16≥8y1y2,(y1y2)2+16y1y2+16≥-8y1y2,

        故y1y2≤-12-82或y1y2≥-12+82.

        所以當(dāng)y1y2=-12+82時(shí),△MFN的面積有最小值為S=12-82.

        解法9" 由拋物線(xiàn)的定義,知|FM|=y214+1,|FN|=y224+1.

        △MFN的面積

        S=12|MF|·|NF|=12(y214+1)(y224+1).

        整理,得S=12(y21y2216+y21+y224+1).

        又y21+y22=14[(y1y2)2+16y1y2+16],

        所以△MFN的面積S=(4+y1y2)216.

        以下同解法8.

        視角6" 利用

        S=12xM-xF" yM-yFxN-xF" yN-yF.

        解法10" 設(shè)M(t21,2t1),N(t22,2t2),t1lt;0,t2gt;0,則

        FM=(t21-1,2t1),F(xiàn)N=(t22-1,2t2).

        所以FM·FN=(t21-1)(t22-1)+4t1t2=0.

        整理,得(t1t2+1)2=(t1-t2)2.

        即t1t2+1=±(t1-t2).

        又△MFN的面積

        S=12xM-xF" yM-yFxN-xF" yN-yF

        =12|2t2(t21-1)-2t1(t22-1)|

        =|t1t2+1|·|t1-t2|,

        又|t1t2+1|=|t1-t2|,所以S=(t1t2+1)2.

        當(dāng)t1t2+1=t1-t2時(shí),t2=t1-1t1+1.

        所以t1t2+1=t21+1t1+1=t1-t2lt;0,即t1+1lt;0.

        令x=t1+1,xlt;0,則t1=x-1.

        則S=|t21+1t1+1|=|x2-2x+2x|=|x+2x-2|.

        由xlt;0知S=-x-2x+2≥22+2.

        即S≥12+82,當(dāng)且僅當(dāng)x=-2,即t1=-2-1時(shí),等號(hào)成立.

        當(dāng)t1t2+1=t2-t1時(shí),t2=1+t11-t1.

        所以t1t2+1=t21+11-t1=t2-t1gt;0,即1-t1gt;0.

        令x=1-t1,xgt;0,則t1=1-x.

        則S=|t21+11-t1|=|x2-2x+2x|=|x+2x-2|.

        由xgt;0知S=x+2x-2≥22-2.

        即S≥12-82,當(dāng)且僅當(dāng)x=2,即t1=2-1時(shí),等號(hào)成立.

        綜上所述,△MFN的面積有最小值為S=12-82.

        視角7" 利用極坐標(biāo)方程.

        解法11" 將拋物線(xiàn)y2=4x向左平移1個(gè)單位,曲線(xiàn)方程為y2=4x+4,以O(shè)為極點(diǎn),x軸正半軸為極軸,如圖2,建立極坐標(biāo)系.

        則拋物線(xiàn)y2=4x+4的極坐標(biāo)方程為

        設(shè)點(diǎn)M在極軸下方, 點(diǎn)N在極軸上方,設(shè)直線(xiàn)FM的極坐標(biāo)方程為θ=α,ρ∈R,α∈(0,π2),則直線(xiàn)FN的極坐標(biāo)方程為θ=α+π2,ρ∈R.

        聯(lián)立θ=α,ρ2sin2θ-4ρcosθ-4=0, 得

        ρ2sin2α-4ρcosα-4=0.

        所以ρM=-21+cosα.

        則|OM|=21+cosα.

        同理可得|ON|=21+sinα.

        所以△MON的面積

        S=12|MO|·|NO|

        =2(1+sinα)(1+cosα)

        =21+sinα+cosα+sinαcosα

        ≥21+2(sin2α+cos2α)+(sin2α+cos2α)/2

        =12-82,

        當(dāng)且僅當(dāng)sinα=cosα,即α=π4時(shí)等號(hào)成立.

        所以△MFN的面積有最小值為S=12-82.

        2" 拓展探究

        拓展1" 點(diǎn)F為橢圓E:x2a2+y2b2=1(agt;bgt;0)的右焦點(diǎn),M,N為橢圓上兩點(diǎn),MF⊥NF,則△MFN面積的最小值為2b4(2a+2c)2.

        證明" 設(shè)有向線(xiàn)段MF與x軸正方向所成角為θ,由對(duì)稱(chēng)性知,當(dāng)θ∈[0,π2]時(shí),△MFN面積有最小值.記M(x0,y0),則x20a2+y20b2=1.

        又|MF|=(x0-c)2+y20,將y20=b2-b2a2x20代入上式,得|MF|=a-ex0.

        又|MF|cosθ+c=x0,解得x0=acosθ+c1+ecosθ.

        所以|MF|=b2a+ccosθ.

        由MF⊥NF,易知|NF|=b2a+csinθ.

        所以△MFN的面積

        S△MNF=12|MF|·|NF|

        =b42·1a2+ac(sinθ+cosθ)+c2sinθcosθ.

        令t=sinθ+cosθ,由θ∈[0,π2]知,t∈[1,2].

        所以sinθcosθ=t2-12,

        S△MNF=b42·1a2+act+c2(t2-1)/2.

        令g(t)=a2+act+c2(t2-1)2,t∈[1,2],則

        g(t)=c22(t+ac)2+b22.

        由acgt;1知,當(dāng)t=2,即θ=π4時(shí),g(t)有最大值

        g(2)=a2+2ac+c22.

        所以△MFN面積的最小值為2b4(2a+2c)2.

        評(píng)析" 設(shè)點(diǎn)M為橢圓、雙曲線(xiàn)上一點(diǎn),點(diǎn)F為橢圓、雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn),有向線(xiàn)段FM與焦點(diǎn)所在軸正方向的夾角為θ,θ∈(0,2π].當(dāng)點(diǎn)F為橢圓(雙曲線(xiàn))的左(下)焦點(diǎn)時(shí),|MF|=b2a-ccosθ;當(dāng)點(diǎn)F為橢圓(雙曲線(xiàn))的右(上)焦點(diǎn)時(shí),|MF|=b2a+ccosθ.設(shè)點(diǎn)M為拋物線(xiàn)上一點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),有向線(xiàn)段FM與焦點(diǎn)所在軸正方向的夾角為θ,θ∈(0,2π],則|MF|=p1-cosθ.

        拓展2" 點(diǎn)F為雙曲線(xiàn)E:x2a2-y2b2=1(agt;0,bgt;0)的右焦點(diǎn),M,N為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn),MF⊥NF,則△MFN面積的最小值為2b4(2a+2c)2.

        拓展3" 點(diǎn)F為拋物線(xiàn)E:y2=2px(pgt;0)的焦點(diǎn),M,N為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn),MF⊥NF,則△MFN面積的最小值為(3-22)p2.

        拓展4" 點(diǎn)F為橢圓E:x2a2+y2b2=1(agt;bgt;0)的右焦點(diǎn),M,N為橢圓上兩點(diǎn),滿(mǎn)足∠MFN=φ,φ∈(0,π),則△MFN面積的最小值為b42·sinφ[a+ccos(φ/2)]2.

        證明" 設(shè)有向線(xiàn)段FM與x軸正方向的夾角為θ,θ∈(0,π),由拓展1知|MF|=b2a+ccosθ.

        又∠MFN=φ,φ∈(0,π),

        所以|NF|=b2a+ccos(θ-φ).

        △MFN的面積

        S△MNF=12|MF|·|NF|·sinφ

        =b42·sinφa2+ac[cosθ+cos(θ-φ)]+c2cosθcos(θ-φ).

        令f(θ)=a2+ac[cosθ+cos(θ-φ)]+c2cosθcos(θ-φ),θ∈(0,π),則

        f ′(θ)=-ac[sinθ+sin(θ-φ)]-c2sin(2θ-φ).

        當(dāng)θ∈(0,φ2)時(shí),2θ-φl(shuí)t;0,即φ-θgt;θgt;0,所以sin(φ-θ)gt;sinθ,易知sinθ+sin(θ-φ)lt;0,sin(2θ-φ)lt;0,所以f ′(θ)gt;0,即f(θ)在(0,φ2)上單調(diào)遞增.

        當(dāng)θ∈(φ2,φ)時(shí),2θ-φgt;0,即0lt;φ-θlt;θ,所以sin(φ-θ)lt;sinθ,易知sinθ+sin(θ-φ)gt;0,sin(2θ-φ)gt;0,所以f ′(θ)lt;0,即f(θ)在(φ2,φ)上單調(diào)遞減.

        當(dāng)θ∈(φ,π)時(shí),|MF|,|NF|隨著θ的增大而增大,△MFN的面積也在增大.

        綜上所述,當(dāng)θ=φ2時(shí),f(θ)有最大值f(φ2)=(a+ccosφ2)2,△MFN面積的最小值為b42·sinφ[a+ccos(φ/2)]2.

        拓展5" 點(diǎn)F為雙曲線(xiàn)E:x2a2-y2b2=1(agt;0,bgt;0)的右焦點(diǎn),M,N為雙曲線(xiàn)上兩點(diǎn),∠MFN=φ,φ∈(0,π),則△MFN面積的最小值為b42·sinφ[a+ccos(φ/2)]2.

        拓展6" 點(diǎn)F為拋物線(xiàn)E:y2=2px(pgt;0)的焦點(diǎn),M,N為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn),∠MFN=φ,φ∈(0,π),則△MFN面積的最小值為p22·sinφ[1-cos(φ/2)]2.

        3" 結(jié)束語(yǔ)

        圓錐曲線(xiàn)中與面積有關(guān)的最值問(wèn)題,幾何關(guān)系代數(shù)化具有一定的難度.一是通過(guò)對(duì)面積的代數(shù)表達(dá)式消元,將多變量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為單變量問(wèn)題,利用基本不等式求最值;二是利用面積表達(dá)式構(gòu)造函數(shù),求導(dǎo)函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性求解最值;三是利用圓錐曲線(xiàn)的參數(shù)方程將幾何問(wèn)題代數(shù)化,求解運(yùn)算目標(biāo).不管采用何種策略,探究過(guò)程均注重深度思考,求解答案考查運(yùn)算能力.

        參考文獻(xiàn):

        [1]

        陳鋌.破解雙變量函數(shù)最值問(wèn)題的兩個(gè)“妙招” [J]. 語(yǔ)數(shù)外學(xué)習(xí),2022(12):41-42.

        [責(zé)任編輯:李" 璟]

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