【摘? 要】? 數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)學(xué)科重要的核心素養(yǎng)之一，是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段.文章剖析了2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷蘊(yùn)含的多維度、多角度落實(shí)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的考查內(nèi)容和方式，并給出一些有效的教學(xué)建議.

【關(guān)鍵詞】? 數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)學(xué)素養(yǎng)；試題分析；教學(xué)建議

1? 問題的提出

供陜西、甘肅、寧夏、青海、新疆、內(nèi)蒙、江西、河南八省的2023年全國(guó)高考數(shù)學(xué)乙卷，全面考查了考生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)和能力，充分體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性的高考考查要求，凸顯數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科和在人才選拔中的重要作用，但不少考生認(rèn)為試題結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，難度不大，就是沒有做完，特別是實(shí)際分?jǐn)?shù)與期望存在較大反差.那么是什么原因?qū)е路謹(jǐn)?shù)的落差呢？本文筆者從數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的視角來剖析試題，并給出些許教學(xué)建議，不當(dāng)之處敬請(qǐng)指正.

2? 基于運(yùn)算素養(yǎng)的試題分析

數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的必由之路和關(guān)鍵環(huán)節(jié)，也是演繹推理的一種形式，是得到數(shù)學(xué)結(jié)果的重要手段，試題彰顯數(shù)學(xué)運(yùn)算是數(shù)學(xué)活動(dòng)的基本形式，充分體現(xiàn)了“無運(yùn)算不數(shù)學(xué)”的特點(diǎn).按照《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）給出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的水平劃分依據(jù)，數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)被劃分為三個(gè)水平，每一個(gè)水平又通過情境與問題、知識(shí)與技能、思維與表達(dá)和交流與反思這四個(gè)維度進(jìn)行表述，根據(jù)滿意原則，將每道試題四個(gè)維度中的最高水平作為該試題的運(yùn)算素養(yǎng)水平得到表1［1］，下面舉例說明相關(guān)“水平”的確定.圖1

例1? （理科第19題）如圖1，在三棱錐P-ABC中，AB⊥BC，AB=2，BC=22，PB=PC=6，BP，AP，BC的中點(diǎn)分別為D，E，O，AD=5DO，點(diǎn)F在AC上，BF⊥AO.

（1）證明：EF∥平面ADO；（2）證明：平面ADO⊥平面BEF；（3）求二面角D-AO-C的正弦值.

試題分析? 本題以三棱錐為載體進(jìn)行命題，考查了線面平行、面面垂直的判定和二面角的求法.前兩問表面看是空間線面位置關(guān)系的幾何證明，實(shí)則蘊(yùn)含大量的代數(shù)推理. 因?yàn)辄c(diǎn)F由BF⊥AO確定，所以問題的關(guān)鍵就是恰當(dāng)利用條件BF⊥AO，推得F是AC的中點(diǎn). 解答時(shí)，首先要在數(shù)學(xué)情境中迅速地找到運(yùn)算對(duì)象；然后根據(jù)題目所需，選擇比較合適的運(yùn)算方法求得所需結(jié)果. 第一問，可從以下三個(gè)角度進(jìn)行思考： ①向量基底法或向量坐標(biāo)法，從計(jì)算BF·AO入手，如設(shè)AF=tAC，則BF=BA+AF=（1－t）BA+tBC，AO=－BA+12BC，則由BF·AO=0，解得t=12，得F為AC的中點(diǎn)；②解析法，如以BA，BC所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，從計(jì)算斜率，即kBF×kAO=－1入手，求得F（1，2），說明F為AC的中點(diǎn)；③利用平面幾何知識(shí)，如同一法（設(shè)F′是AC的中點(diǎn)，利用三角形相似或勾股定理的逆定理證BF′⊥AO，由唯一性知BF與BF′重合，即F、F′為同一點(diǎn)）.最后證明四邊形ODEF為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.

第二問，可從以下兩個(gè)角度進(jìn)行思考：①利用向量法，如計(jì)算法向量，證法向量垂直；②幾何綜合法，如計(jì)算OD2+AO2=AD2=152，利用勾股定理的逆定理得OD⊥AO，進(jìn)而由線面和面面垂直的判定定理證明.

第三問，同樣有兩個(gè)思考角度，如圖2：①利用空間向量法，建立空間直角坐標(biāo)系，得平面AOC的一個(gè)法向量m=（0，0，1），平面ADO的一個(gè)法向量n=（1，2，3），由向量夾角公式和同角關(guān)系得結(jié)論為22；

②幾何綜合法（一作二證三計(jì)算），如過點(diǎn)O作OH∥BF交AC于點(diǎn)H，則∠DOH為二面角D-AO-C的平面角，但運(yùn)用余弦定理求角時(shí)需求△DOH的三邊長(zhǎng)，它不僅需繼承已有結(jié)果，而且計(jì)算邊DH=152的運(yùn)算也不簡(jiǎn)單.詳解? 略.

素養(yǎng)水平? 通過對(duì)試題的詳細(xì)分析可知，該題在考查相關(guān)空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系判定的同時(shí)，全面考查考生空間想象、運(yùn)算求解、邏輯推理及綜合分析解決問題的能力.第一問在情境與問題這個(gè)維度涉及到的只有數(shù)學(xué)情境，無其它情境；在知識(shí)與技能這個(gè)維度，考查的知識(shí)點(diǎn)涉及線線平行、線面平行的判定和線線垂直的性質(zhì)及相關(guān)平面幾何知識(shí)，考查考生靈活應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，選擇合理運(yùn)算方法解決問題的能力；在思維與表達(dá)這個(gè)維度，體會(huì)通過合理運(yùn)算解決線面平行的推理證明過程，形成規(guī)范化思考解決問題的品質(zhì)；從交流與反思這個(gè)維度來看，體現(xiàn)了借助運(yùn)算探討位置關(guān)系的運(yùn)用.根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平劃分，第一小問基本可以劃分為數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平2.

第二問承前啟后，通過勾股定理的逆定理得到DO⊥AO，進(jìn)而有EF⊥AO，說明考生能將題目提供的數(shù)據(jù)信息與幾何圖形有機(jī)聯(lián)系，并能形成合理的運(yùn)算思路解決問題，類同第一問，根據(jù)加分原則，可以認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平2的要求.

第三小問在情境與問題這個(gè)維度仍僅涉及數(shù)學(xué)情境，運(yùn)算對(duì)象清晰；在知識(shí)與技能這個(gè)維度，在前兩問的基礎(chǔ)上還涉及二面角、空間向量坐標(biāo)、法向量、夾角公式、同角三角關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，主要考查考生根據(jù)所求問題選擇適合解決該問題的運(yùn)算方法；在思維與表達(dá)這個(gè)維度，主要考查學(xué)生能否利用所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求出二面角的正弦值，進(jìn)而體驗(yàn)運(yùn)算即邏輯推理的過程；在交流與反思這個(gè)維度，體現(xiàn)了利用運(yùn)算結(jié)果說明問題這一過程，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，該問達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平2的要求.

例2? （理科第20題，文科第21題）已知橢圓C：y2a2+x2b2=1（a>b>0）的離心率是53，點(diǎn)A（－2，0）在C上．

（1）求C的方程；（2）過點(diǎn)（－2，3）的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ與y軸的交點(diǎn)分別為M，N，證明：線段MN的中點(diǎn)為定點(diǎn)．

試題分析? 該題以圓錐曲線中的橢圓為載體設(shè)置，第一問相對(duì)比較簡(jiǎn)單， 主要考查的是考生能夠利用主干條件求出題目中要求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第二問在主干條件的大前提下，又設(shè)置了小條件作為問題解決的媒介，考查的是直線恒過定點(diǎn)問題.

解答第二問，首先要不拘泥于試題的固有形式，能對(duì)試題適當(dāng)拓展延伸，問題即驗(yàn)證yM+yN2為定值；其次，能夠針對(duì)所求問題選擇較合適的運(yùn)算方法，最主要的是結(jié)合所學(xué)知識(shí)將抽象的動(dòng)態(tài)的問題轉(zhuǎn)化為可以直接解答的問題，如圖3.

易知直線PQ的斜率存在，設(shè)PQ：y=k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），與橢圓方程聯(lián)立，韋達(dá)定理可得

x1+x2=－8k（2k+3）4k2+9，x1x2=16（k2+3k）4k2+9，再在直線AP：y=y1x1+2（x+2）中，令x=0，得yM=2y1x1+2，變量替換可得yN=2y2x2+2，綜合y1=k（x1+2）+3，y2=k（x2+2）+3等信息，運(yùn)算得

yM+yN2=3，即證得線段MN的中點(diǎn)是定點(diǎn)（0，3）.

在整個(gè)解題過程中考生能體驗(yàn)到利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸思想解決復(fù)雜問題的功效，及規(guī)范化的理性思維品質(zhì)和克服困難、勇攀高峰的精神意志.詳解? 略.

素養(yǎng)水平? 通過上面對(duì)試題的詳細(xì)分析，可以看到這道試題不僅是單一地考查相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，還考查考生的綜合分析及解決問題的能力. 這道試題的第一問在情境與問題這個(gè)維度涉及到的只有單純的數(shù)學(xué)情境，無其它任何的實(shí)際情境；在知識(shí)與技能這個(gè)維度，考查的知識(shí)點(diǎn)涉及橢圓的離心率、頂點(diǎn)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，主要考查考生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)列、解方程的能力；在思維與表達(dá)這個(gè)維度，考生能夠體會(huì)橢圓的幾何性質(zhì)及方程思想對(duì)整個(gè)問題解決的關(guān)鍵作用；從交流與反思這個(gè)維度來看，體現(xiàn)了“反思” 這個(gè)過程. 根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》有關(guān)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平劃分，該問基本可以劃分為數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平1.

第二問在情境與問題這個(gè)維度涉及到的是純數(shù)學(xué)情境，只需簡(jiǎn)單轉(zhuǎn)化即可明確運(yùn)算對(duì)象；在知識(shí)與技能這個(gè)維度，該問除了要利用第一問的計(jì)算結(jié)果之外，還涉及直線方程、直線與橢圓位置關(guān)系、韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式和定點(diǎn)等知識(shí)點(diǎn)，主要考查考生能否綜合應(yīng)用所學(xué)過的知識(shí)，結(jié)合題目條件準(zhǔn)確地找出運(yùn)算問題，再根據(jù)所求問題的類型選擇適合解決該運(yùn)算問題的運(yùn)算方法；在思維與表達(dá)這個(gè)維度，主要考查學(xué)生能否利用數(shù)形結(jié)合、分類討論、設(shè)而不求、設(shè)而要求、化歸等思想方法設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，求出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)之和；其次，在解題過程中切身體會(huì)到運(yùn)算過程是一種邏輯推理過程；在交流與反思這個(gè)維度，體現(xiàn)了“反思”這一過程，說明考生能合理構(gòu)造運(yùn)算程序，綜合運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算，完美解答問題，根據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》，遵循加分原則，該問可以劃分為數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的水平3.

《標(biāo)準(zhǔn)》中指出：數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的過程. 從表1展示的素養(yǎng)水平可以看出，全卷100%的題需計(jì)算，整體計(jì)算量較大，運(yùn)算能力水平要求較高，如理科設(shè)問32個(gè)，運(yùn)算素養(yǎng)水平1、2的問題各15個(gè)，水平3的問題2個(gè)，相關(guān)問題的分值權(quán)重依次為43.8%，48.7%，7.5%，理科運(yùn)算素養(yǎng)的考查水平明顯高于文科，雖有近一半的題目運(yùn)算對(duì)象明確，運(yùn)算所必須的知識(shí)及技能熟悉，但它與正確求得運(yùn)算結(jié)果還有較大距離，對(duì)于需要轉(zhuǎn)化甚至構(gòu)造運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算方法的題目，更需考生具備較強(qiáng)的綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問題的能力.

3? 基于運(yùn)算素養(yǎng)的教學(xué)建議

高考題是命題專家依據(jù)《標(biāo)準(zhǔn)》和《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》經(jīng)過嚴(yán)格推敲，體現(xiàn)“一核四層四翼”的良好素材，是中學(xué)教與學(xué)的指南針，深化對(duì)高考考查方式、命題特點(diǎn)的理解，在教中練，在練中悟，在悟中學(xué)，在學(xué)中提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是我們教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和著力點(diǎn).這里以運(yùn)算素養(yǎng)的主要表現(xiàn)形式為抓手，通過具體試題的剖析，給出教學(xué)建議，促使大家在欣賞高考試題的同時(shí)，強(qiáng)化培養(yǎng)運(yùn)算素養(yǎng)的意識(shí).3.1? 理解運(yùn)算對(duì)象，保證運(yùn)算的根正苗紅

例3? ?（理科第3題，文科第3題）如圖4，網(wǎng)格紙上繪制的一個(gè)零件的三視圖，網(wǎng)格小正方形的邊長(zhǎng)為1，則該零件的表面積為（? ）.A.24??? ?B.26? C.28? ???D.30

解析? 如圖5所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=3，點(diǎn)H，I，J，K為所在棱上靠近點(diǎn)B1，C1，D1，A1的三等分點(diǎn)，O，L，M，N為所在棱的中點(diǎn)，

則三視圖所對(duì)應(yīng)的幾何體為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1去掉長(zhǎng)方體ONIC1-LMHB1之后所得的幾何體.

解法1? 直接法.該幾何體的表面積為正方體ABCD-KHIJ的表面積與長(zhǎng)方體KMNJ-A1LOD1的側(cè)面積之和：（2×2）×6+（2×2+1×2）×1=30.

解法2? 間接法.該幾何體的表面積和原來的長(zhǎng)方體的表面積相比少2個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，其表面積為：（2×2）×2+（2×4）×3－（1×1）×2=30. 故選D.

評(píng)析與建議? 求空間幾何體的表面積，關(guān)鍵是要弄清幾何體的類型及其結(jié)構(gòu)特征，并正確寫出面積表達(dá)式.本題由三視圖還原空間幾何體，在求其表面積時(shí)易忽視面MNOL錯(cuò)選C，忽視底面錯(cuò)選B，或空間上的對(duì)象模糊混亂，如用ABCD-A1B1C1D1的表面減去MHIN-LB1C1O的表面或側(cè)面或底面而錯(cuò)選B、C、A等等.由于學(xué)生的基礎(chǔ)和理解能力不盡相同，教學(xué)中對(duì)寫錯(cuò)算式不能簡(jiǎn)單用“粗心馬虎”武斷了之，而應(yīng)放慢速度，長(zhǎng)期地從題目閱讀、疑點(diǎn)釋疑、難點(diǎn)化解、重點(diǎn)突破、關(guān)系梳理及數(shù)學(xué)表達(dá)等方面探索交流，以落實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目的，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力，形成扎實(shí)的運(yùn)算基礎(chǔ).3.2? 掌握運(yùn)算法則，儲(chǔ)備運(yùn)算的科學(xué)武器

例4? （理科第1題）設(shè)z=2+i1+i2+i5，則=（? ）.

A.1－2i??? B. 1+2iC. 2－i??? ???D. 2+i

解析? 由題意可得z=2+i1+i2+i5=2+i1－1+i=i（2+i）i2=2i－1－1=1－2i，則

=1+2i. 故選B.

評(píng)析與建議? 掌握復(fù)數(shù)四則運(yùn)算及乘方運(yùn)算法則是計(jì)算復(fù)數(shù)z的關(guān)鍵，且本題仍存在i5計(jì)算或四則運(yùn)算不仔細(xì)，忽視目標(biāo)是求共軛復(fù)數(shù)等因素出錯(cuò).中學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)定義、定理、公式、運(yùn)算法則，系統(tǒng)地觀察并不多，如數(shù)式的六種初等運(yùn)算（加、減、乘、除、乘方和開方），集合、指對(duì)數(shù)、三角、向量、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)運(yùn)算法則，但由于其非常基本，使用頻率高，運(yùn)用的綜合性強(qiáng)，因而對(duì)這些法則必須深度理解、系統(tǒng)地準(zhǔn)確記憶并能靈活應(yīng)用.

3.3? 探究運(yùn)算思路，把準(zhǔn)運(yùn)算的正確方向例5? （理科第12題）已知⊙O的半徑為1，直線PA與⊙O相切于點(diǎn)A，直線PB與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)，若PO=2，則PA·PD的最大值為（? ）.

A.1+22??? B. 1+222C. 1+2? D. 2+2

解析? 解法1? 三角法.由OA=1，OP=2及題意，得PA=1，∠APO=π4.

當(dāng)點(diǎn)A，D位于直線PO異側(cè)時(shí)，設(shè)∠OPC=α，0≤α≤π4，則PA·PD

=|PA|·|PD|cosα+π4=12－22sin2α－π4.

由0≤α≤π4，得－π4≤2α－π4≤π4，所以，當(dāng)2α－π4=－π4時(shí)，PA·PD有最大值1.

當(dāng)點(diǎn)A，D位于直線PO同側(cè)時(shí)，設(shè)∠OPC=α，0≤α≤π4，則PA·PD

=PA·PDcosπ4－α=12+22sin2α+π4.

0≤α≤π4，則π4≤2α+π4≤3π4，所以，當(dāng)2α+π4=π2時(shí)，PA·PD有最大值1+22.

綜上可得，PA·PD的最大值為1+22.故選A.

解法2? 向量投影法. 如圖6所示，OA=1，OP=2，則由題意可知PA=1，∠APO=π4.由于D為BC的中點(diǎn)，所以PB⊥OD，所以點(diǎn)D在以PO為直徑的圓上，設(shè)PO的中點(diǎn)為Q，垂直PA的直線切圓Q于點(diǎn)D0，交PA于點(diǎn)E0，則∠D0QO=π4，所以AE0=QD0－12PA=22－12，PE0=PA+AE0=22+12，PE是PD在PA上的投影，于是PA·PD=PA×PE≤PE0=2+12.解法3? 估算法. 注意到四個(gè)選項(xiàng)相差較大，

PA·PD=PA×PE=PE，借助幾何直觀發(fā)現(xiàn)PE∈（0，PE0］，而PE0∈（1，2），B，C，D三個(gè)選項(xiàng)都大于2，故選A.

評(píng)析與建議? 解法1的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，反映了學(xué)生對(duì)于知識(shí)的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.然而完整作答需分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義得到PA·PD=12－22sin2α－π4，或PA·PD=12+22sin2α+π4，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)確定

PA·PD的最大值，大小有近二十步的計(jì)算量，耗時(shí)費(fèi)力.解法2充分利用數(shù)量積的幾何意義，借助直觀圖形，結(jié)合向量投影的幾何屬性，輔以適量的運(yùn)算求解，事半功倍；解法3結(jié)合題設(shè)條件的幾何特征與選擇支差異，通過較強(qiáng)的直觀想象和數(shù)感能力分析得解，達(dá)到“上兵伐謀”之功效.無疑，解法3的境界是我們的追求，但冰凍三尺非一日之寒，高中數(shù)學(xué)運(yùn)算技巧很多，除了基本的公式法則的正用、逆用、變用外，還包括換元、配方、待定系數(shù)、化整為零、化零為整、恒等變換、數(shù)形轉(zhuǎn)化、設(shè)而不求、放縮變換等等，要達(dá)到靈活運(yùn)用技巧解題，須在平時(shí)善于提煉數(shù)學(xué)思想方法，善于挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，善于一題多解并能舉一反三，善于訓(xùn)練積累和鉆研.3.4? 設(shè)計(jì)運(yùn)算程序，鋪平運(yùn)算的康莊大道例6? （理科第21題）已知函數(shù)f（x）=1x+aln（1+x）.

（1）當(dāng)a=－1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；

（2）是否存在a，b，使得曲線y=f1x關(guān)于直線x=b對(duì)稱，若存在，求a，b的值，若不存在，說明理由.（3）若f（x）在（0，+∞）存在極值，求a的取值范圍.

解析? 數(shù)學(xué)運(yùn)算既服務(wù)于解題，又引導(dǎo)解題方向，合理的運(yùn)算程序蘊(yùn)于解題程序之中，本題解題流程圖（圖7）的每一模塊實(shí)質(zhì)上包含一個(gè)或多個(gè)運(yùn)算步驟.請(qǐng)讀者不妨依程序框圖試著寫出題目詳解.

評(píng)析與建議? ?（1）求切線方程的核心是利用f′（x）的幾何意義求切線的斜率f′（1），一般求f′（x）要準(zhǔn)確地把函數(shù)拆分成基本初等函數(shù)的和、差、積、商，再利用運(yùn)算法則求導(dǎo)，對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)要進(jìn)行換元.接著求切點(diǎn)坐標(biāo)到切線方程的化簡(jiǎn)整理，運(yùn)算貫穿始終，可以說運(yùn)算過程就是解題過程.

（2）遵循定義域優(yōu)先原則，結(jié)合對(duì)稱的必要條件，通過函數(shù)的定義域即可確定實(shí)數(shù)b=－12，進(jìn)一步由函數(shù)的對(duì)稱中普遍與特殊的關(guān)系，利用特殊值法可得關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程可得實(shí)數(shù)a=12，最后檢驗(yàn)所得的a，b是否正確，完成充分性論證，體現(xiàn)運(yùn)算在解決問題中的工具性和邏輯價(jià)值.

（3）f（x）在（0，+∞）存在極值等價(jià)于f′（x）有變號(hào)的零點(diǎn)，等價(jià)于f′（x）=0有變號(hào)根，據(jù)此構(gòu)造新函數(shù)h（x）=ax2+x－（x+1）ln（x+1），求h′（x）=2ax－ln（x+1），分三種情況討論導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍是0，12.即：

①當(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）<0，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減，此時(shí)h（x）<h（0）=0，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點(diǎn)，不合題意;

②當(dāng)a≥12時(shí)，由于h″（x）=2a－1x+1>0，所以h′（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h′（x）>h′（0）=0，h（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）>h（0）=0，所以h（x）在區(qū)間（0，+∞）上無零點(diǎn)，不合題意；

③當(dāng)0<a<12時(shí)，由h″（x）=2a－1x+1=0可得x=12a－1.

當(dāng)x∈0，12a－1時(shí)，h″（x）<0，h′（x）單調(diào)遞減，h′（x）<h′（0）=0；

當(dāng)x∈12a－1，+∞時(shí)，h″（x）>0，h′（x）單調(diào)遞增，利用lnx<x－1x（x>1）（*）得h′（x）=2ax－ln（x+1）>2ax－x+1－1x+1=（2ax+1－1）xx+1.

令2ax+1－1=0，得x0=14a2－1，于是h′（x0）>0，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知：h′（x）在區(qū)間12a－1，x0，即（0，+∞）上存在唯一零點(diǎn)x1.

當(dāng)x∈（0，x1）時(shí)，h′（x）<0，h（x）單調(diào)減，h（x1）<h（0）=0；

當(dāng)x∈（x1，+∞）時(shí)，h′（x）>0，h（x）單調(diào)遞增，利用不等式（*），有

h（x）=ax2+x－（x+1）ln（x+1）>ax2+x－（x+1）x+1－1x+1=（ax+1－x+1）x.

令ax+1－x+1=0，得x2=1－2aa2，所以h（x2）>0，

所以函數(shù)h（x）在區(qū)間（x1，x2），即（0，+∞）上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.

前面四次等價(jià)轉(zhuǎn)化需要對(duì)問題有較強(qiáng)洞察和模式識(shí)別能力，之后的h（x）零點(diǎn)研究，特別是在0<a<12時(shí)“找點(diǎn)”利用定理驗(yàn)證零點(diǎn)存在性的環(huán)節(jié)，沒有合理解題思路指引，沒有厚積的知識(shí)儲(chǔ)備和扎實(shí)的運(yùn)算素養(yǎng)，是不可能實(shí)現(xiàn)解題愿望的.

運(yùn)算的程序設(shè)計(jì)是數(shù)學(xué)運(yùn)算最重要的內(nèi)容，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)運(yùn)算的保證，它不僅對(duì)數(shù)學(xué)中許多問題的解決有重要作用，而且廣泛應(yīng)用于其它科學(xué)技術(shù)之中.運(yùn)算的程序設(shè)計(jì)能力也是一種數(shù)學(xué)理性思維能力的具體體現(xiàn)，教師要不失時(shí)機(jī)地通過問題與交流、探究與歸納、模仿與表達(dá)、實(shí)踐與反思等手段重點(diǎn)培養(yǎng).

4? 結(jié)束語

1963年編制的《全日制中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱（草案）》首次明確提出“培養(yǎng)學(xué)生正確而且迅速的計(jì)算能力、邏輯推理能力和空間想象能力”的要求.1991年原國(guó)家教育委員會(huì)發(fā)布《普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)科說明》提出“數(shù)學(xué)科考試旨在測(cè)試基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本方法和運(yùn)算能力、邏輯思維能力、空間想象能力，以及運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，分析和解決問題的能力”，即所謂“三基四能” ［2］.2017年版（2020年修訂）的《標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了包含數(shù)學(xué)運(yùn)算的六個(gè)既有獨(dú)立性又互相交融的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，同時(shí)在高考從能力立意到核心素養(yǎng)立意的實(shí)踐中，數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)肩負(fù)著異乎尋常的責(zé)任. 從“三大能力”中的“計(jì)算”，到“四大能力”中的“運(yùn)算”，再到“五大能力”中的“運(yùn)算求解，數(shù)據(jù)處理”，再到《標(biāo)準(zhǔn)》提出的“數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)”，統(tǒng)統(tǒng)說明數(shù)學(xué)始終離不開數(shù)學(xué)運(yùn)算.運(yùn)算素養(yǎng)是學(xué)生適應(yīng)未來社會(huì)的一個(gè)最基本素養(yǎng)，它是甄別個(gè)人思維能力、展現(xiàn)思維過程的載體，是促進(jìn)個(gè)人智力發(fā)展的催化劑，是學(xué)生學(xué)習(xí)態(tài)度、意志品質(zhì)的反映，是數(shù)學(xué)落實(shí)立德樹人的指路明燈，更是決定數(shù)學(xué)高考成敗的關(guān)鍵！

參考文獻(xiàn)

［1］? 李子瞻，胡典順.基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的新舊高考比較分析——以2021年新高考Ⅰ卷與2020年全國(guó)Ⅰ卷為例＼[J＼].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2022（03）：26-30.

［2］? 任子朝，陳昂，趙軒.數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)研究＼[J＼].課程·教材·教法，2018（05）：116-121.

作者簡(jiǎn)介? 劉正章（1968—），正高級(jí)教師， 特級(jí)教師，陜西名師，省級(jí)教科研先進(jìn)個(gè)人；主要研究中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及數(shù)學(xué)文化;撰寫數(shù)學(xué)書籍30多部，發(fā)表文章130余篇，主持省市級(jí)課題10多個(gè)．