楊麗萍

［摘? 要］ 平面幾何中的基本圖形是指幾何問題中常見的、具有典型特征，能夠得到常用結(jié)論的一些圖形. 基本圖形的掌握，有助于提高學生的幾何直觀和想象能力，再通過猜測、驗證、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，能從某種程度上有效促進學生幾何思維的發(fā)展.

［關(guān)鍵詞］ 基本圖形；數(shù)學教學；數(shù)學學力.

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》指出，數(shù)學源于對現(xiàn)實世界的抽象，我們在學數(shù)學的過程中，可以通過對數(shù)量和數(shù)量關(guān)系、圖形和圖形關(guān)系的抽象、提煉，得到新的研究對象具備的結(jié)論或關(guān)系. 教師的教育教學應注重對基礎(chǔ)知識、基本技能的教學，并督促學生理解基礎(chǔ)知識、掌握基本技能. 掌握“知識與技能”是學生發(fā)展的最基礎(chǔ)目標，同時要落實“數(shù)學思考”“問題解決”“情感態(tài)度”等目標. 在教學中，教師應注重學生對所學知識的理解與掌握，讓學生體會數(shù)學知識之間的關(guān)聯(lián)，實現(xiàn)數(shù)學知識真正意義上的內(nèi)化. 當然，學生掌握數(shù)學知識，絕對不能依賴死記硬背，而應在理解的基礎(chǔ)上應用知識，并不斷鞏固、深化、內(nèi)化知識. 筆者認為，根據(jù)課程標準的指導意見，教師在教學中，應注重培養(yǎng)學生的數(shù)學學力，使學生進一步領(lǐng)悟數(shù)學核心素養(yǎng)（數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析）. 數(shù)學學力與數(shù)學核心素養(yǎng)之間并不是相互獨立的，二者相輔相成. 數(shù)學核心素養(yǎng)對數(shù)學教學具有明確的指導意義，起著統(tǒng)領(lǐng)性的作用. 數(shù)學學力則可以看作是在核心素養(yǎng)指導下數(shù)學學習中較為實用的具體操作方法，它是數(shù)學核心素養(yǎng)的現(xiàn)實操作路徑，具有可操作性、具體化的特點.

學生都想學好數(shù)學這門課，但無奈自身數(shù)學學力的缺乏，使得絕大部分學生學得非常吃力. 筆者也經(jīng)常聽到身邊的同事這樣吐槽：“這道題我都講了無數(shù)遍了，怎么還有這么多人做不對？”從這句話中可以得到兩個信息：一，這道題經(jīng)常考，在平時的練習中出現(xiàn)的頻次較高，姑且說它是典型題；二，學生的學習效率不高，一個高頻出現(xiàn)的練習題，學生多次接觸后仍有部分做不對. 基于這兩點，筆者深刻地體會到，在平時的教學中教師應采取措施去提升、發(fā)展學生的數(shù)學學力. 數(shù)學家波利亞曾經(jīng)主張：與其做大量的難題，不如把一道題的各個側(cè)面研究通透，這樣會積累更好的經(jīng)驗，提高解決其他問題的能力. 基于波利亞的主張，教師在教學中應深挖問題本源. 平面幾何問題的本源是一些基本圖形，具體指幾何問題中常見的、具有典型特征，能夠得到常用結(jié)論的一些圖形. 基于某一類基本圖形的變式題或拓展題比比皆是，學生只要熟練掌握基本圖形，經(jīng)歷猜測、驗證、發(fā)現(xiàn)結(jié)論的過程，便能求解. 在求解的過程中，學生提高了幾何直觀和想象能力，發(fā)展了數(shù)學思維，對提升數(shù)學學力起到了立竿見影的效果. 下面以基本圖形“飛鏢形”在解題中的靈活應用為例，進行具體闡述.

基本圖形——“飛鏢形”

如圖1所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”，在“飛鏢形”圖形中，∠ADC與∠A，∠C，∠B之間的數(shù)量關(guān)系為∠ADC=∠A+∠C+∠B. 該數(shù)量關(guān)系可以通過添加輔助線（連接BD并延長），并利用三角形的外角性質(zhì)得到.

試題1? 一個五角星如圖2所示，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=_____.

對于此題，有些學生無從下手，但是仔細觀察圖形，不難發(fā)現(xiàn)該圖形中含有基本圖形“飛鏢形”，利用“飛鏢形”的重要結(jié)論，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，很容易得到該題的答案為180°.

試題2? 如圖3所示，P是△ABC三個內(nèi)角平分線的交點，O是△ABC三邊垂直平分線的交點. 若∠BPC=115°，則∠BOC=______.

∠OCA+∠BAC=∠OAB+∠OAC+∠BAC=∠BAC+∠BAC=2∠BAC=100°.

以上兩題的解決，說明了在復雜圖形中提煉出基本圖形的重要性. 所以教師在教學中一定要引導和幫助學生提煉出基本圖形，并要求學生記住基本圖形相應的結(jié)論.

變式1? 在四邊形ABCD中，∠A=x，∠C=y.

（1）∠ABC+∠ADC=______（用含有x，y的代數(shù)式表示）.

（2）如圖5所示，BE，DF分別為∠ABC的外角平分線和∠ADC的外角平分線.

①若BE∥DF，x=30°，則y=______；

②當y=2x時，若BE與DF交于點P，且∠DPB=20°，求y的值.

（3）如圖6所示，∠ABC的平分線與∠ADC的外角平分線交于點Q，則∠Q=______（用含有x，y的代數(shù)式表示）.

第（1）題比較簡單，利用四邊形的內(nèi)角和為360°就可以得到∠ABC+∠ADC=360°-x-y.

變式2? 我們將圖10所示的凹四邊形稱為“飛鏢形”. 在“飛鏢形”中，我們很容易得到∠AOC與∠A，∠C，∠P存在數(shù)量關(guān)系∠AOC=∠A+∠C+∠P.

利用“飛鏢形”模型解決下列問題：

（1）如圖11所示，若AP平分∠BAD，CP平分∠BCD，∠B=28°，∠D=48°，求∠P的大小；

（2）如圖12所示，已知直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，猜想∠P與∠B，∠D的關(guān)系，并說明理由；

（3）如圖13所示，已知直線AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，則∠P與∠B，∠D的關(guān)系為______.

對于第（3）題，有了第（2）題的解題經(jīng)驗，該題不難想到輔助線：作∠DCO的平分線交AP的延長線于點G（如圖15所示）. 圖15中仍含有兩個

解后反思

上面2道變式題都是測試中的壓軸題，在學生看來，無疑難度非常大. 一部分有畏難情緒的學生，光看題目中復雜的圖形就望而卻步了. 而我們在解決上面兩道“難題”時 ，能從復雜圖形中找到熟悉的基本圖形──“飛鏢形”，在難度層層遞進的梯度問題解決中，運用了類比、追本溯源的方法，從而輕松、靈活地解決了“難題”.? 以研究平面圖形為主的初中幾何，隨著所學知識的增多、內(nèi)容的加深，一些幾何題的綜合性和復雜性也不斷增加，學生在解題過程中需要養(yǎng)成良好的數(shù)學圖形觀察習慣，要將復雜圖形轉(zhuǎn)化或者類比為常見的基本圖形. 在教學中，對于復雜題型、圖形，教師要善于引導學生進行去復雜化，轉(zhuǎn)化、提煉出基本圖形或轉(zhuǎn)化成熟悉的知識去解決. 長此以往地訓練，必然有利于學生數(shù)學學力的培養(yǎng)與提升. “基本圖形”只是初中數(shù)學幾何中的一小部分，通過吃透“基本圖形”來提升數(shù)學學力的措施也啟發(fā)我們，可以從與學生聯(lián)系比較密切的典型題型出發(fā)，通過學生對于典型題型的理解與吃透來讓學生積累解題經(jīng)驗，形成“模式”. 這樣，在學生面對稍難或一些變式題型時，就可以透過現(xiàn)象看本質(zhì)，通過類比，洞察解題規(guī)律與本質(zhì)，從而在解題時達到事半功倍的效果.