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        利用基本圖形解決圓的幾個問題

        2016-06-14 15:29:44李娜婷
        關(guān)鍵詞:基本圖形變化

        李娜婷

        內(nèi)容提要:初中數(shù)學(xué)的知初識內(nèi)容中,圓的基本性質(zhì)、圓與直線的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系及其這幾個方面知識結(jié)合三角函數(shù)、相似三角形、函數(shù)等知識應(yīng)用是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。下面就對本人在教學(xué)實(shí)踐中所得到的經(jīng)驗(yàn)給予總結(jié)。初中圓知識的復(fù)習(xí)基本可以分為四塊:1、基本知識、基本圖形的熟練掌握和應(yīng)用。2、答案不唯一性的討論。3、變化中尋找不變的量或關(guān)系。4、圓在綜合題中的應(yīng)用。以上這四塊知識應(yīng)該分塊系統(tǒng)地進(jìn)行復(fù)習(xí),并且在復(fù)習(xí)中注意題目的演變和應(yīng)用。再配合相應(yīng)的練習(xí),效果應(yīng)該會更加的好。

        關(guān)鍵詞:圓 基本圖形 不唯一性 變化

        【分類號】G634.6

        一、基本知識、基本圖形的熟練掌握和應(yīng)用。

        圓的基本知識主要可以分為:關(guān)于圓的定理,圓與點(diǎn)、線、其他圓位置關(guān)系兩大塊。

        關(guān)于圓的基本定理可以從圓的兩個主要性質(zhì)中得到。1、圓的軸對稱性—對稱軸為直徑所在的直線。根據(jù)這個性質(zhì)可以方便的得到垂徑定理。2、圓的旋轉(zhuǎn)不變性—圓以圓心為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)任意角度能和原來的圓重合。由這個性質(zhì)也可以容易的得到圓心角定理。再由圓心角定理推出圓周角定理。關(guān)于這幾個定理的敘述和證明同學(xué)們都應(yīng)該已經(jīng)熟練地掌握。

        圓與點(diǎn)、線、其他圓位置關(guān)系。這三種位置關(guān)系的關(guān)鍵就是分別討論點(diǎn)與圓心之間的距離和半徑的比較、圓心與直線的距離和半徑的比較、圓心和圓心之間的圓心距和兩圓半徑關(guān)系的比較。結(jié)合在一起復(fù)習(xí),就有對比性,學(xué)生容易掌握。

        二、答案不唯一性的討論。

        在初中圓的知識中,學(xué)生比較容易犯錯的還有就是碰到有兩個或兩個以上答案時,很多學(xué)生經(jīng)??紤]的不夠全面,導(dǎo)致犯錯.下面我就對一些經(jīng)??赡艹霈F(xiàn)多個答案的知識點(diǎn)進(jìn)行小結(jié).

        在一個圓中,大家知道一段弧所對的弦只有一條,但一條弦所對弧卻有兩段,并且這兩段弧組成這個圓.如圖,已知劣弧AB所對的圓心角∠AOB=

        120度,則這條弧所對的圓周角度數(shù)為60度,只有一個答案.若已知

        弦AB所對的圓心角∠AOB=120度,則弦AB所對的圓周角為60度或

        120度,有兩個答案.此題還可以這樣問,若已知弦AB=8,圓半徑

        R=5,求這條弦的中點(diǎn)到它所對弧中點(diǎn)的距離,則也應(yīng)該有兩個答案,

        2或8.

        在圓與圓的位置關(guān)系中,若兩圓沒有交點(diǎn),則有外離和內(nèi)含兩種情況.若兩圓有交點(diǎn),則有相切和相交兩種情況.其中需要注意的是相切有外切和內(nèi)切之分.這也是比較容易考到的知識點(diǎn).如,若已知相切兩圓的圓心距為2,其中一個圓的半徑為5,求另一個圓的半徑.此題首先應(yīng)該明白相切有外切和內(nèi)切兩種,但根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知只能是內(nèi)切關(guān)系,內(nèi)切兩圓圓心距為大圓半徑減去小圓半徑,但已知條件中只告訴大家一個圓的半徑為5,并不知道這個是大圓還是小圓,所以答案有兩個,為7或3.我們也可以討論一下兩個圓移動的問題,

        三、變化中尋找不變的量或關(guān)系。

        變化一般是指圖形中一個點(diǎn)或者一部分圖形按照一定的規(guī)律在移動.解這一類題的關(guān)鍵是能夠在變的過程中尋找發(fā)現(xiàn)一些不變的量或者關(guān)系,并應(yīng)用這些量或關(guān)系來解決問題.在第一部分的前后兩大組基本圖形中,大家也應(yīng)該已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了這一個規(guī)律.下面我們再來看一個問題.

        如圖,已知點(diǎn)P是圓O中直徑BC延長線

        上的一個動點(diǎn),過P做圓O的切線PA切圓O

        于點(diǎn)A,連接AB,作∠APB的角平分線PM交

        AB于點(diǎn)M.問在點(diǎn)P往BC的延長線移動的過程

        中,∠AMP是否發(fā)生變化,若變化說明理由,若不變,請計(jì)算∠AMP的值.

        分析:無論P(yáng)點(diǎn)在什么位置,PA永遠(yuǎn)與圓O相切,切點(diǎn)為A,所以可以連接AO,可知∠OAP=90度.因?yàn)锽O=PO=R,PM為∠APB的角平分線,所以∠OBA=∠OAB,∠APM=

        ∠BPM.又因?yàn)椤螦OP=∠OBA+∠OAB=2∠OBA,∠AMP=∠OBA+∠MPB,∠AOP+∠APB=90度,所以∠AMP=45度.在P的移動過程中,這個關(guān)系始終成立.所以∠AMP不會變,永遠(yuǎn)為45度.

        諸如上題的題目也比較多,同學(xué)們拿到題只要不要被變化所嚇倒,認(rèn)真分析思考,尋找到一些不變的量或關(guān)系,此類題就可以引刃而解.

        四、圓在綜合題中的應(yīng)用

        圓的知識在綜合題中的應(yīng)用,就是要利用圓的性質(zhì)規(guī)律,結(jié)合三角函數(shù),相似三角形,函數(shù)等知識來解決綜合性比較高的一些問題.下面可以看個例子.

        如圖所示,有一正方形ABCD,和一直徑為BC的圓.BC=2cm,現(xiàn)在有兩點(diǎn)E,F(xiàn)分別從點(diǎn)B,點(diǎn)A同時出發(fā),點(diǎn)E沿線段BA以1cm/s的速度向點(diǎn)A運(yùn)動,點(diǎn)F沿折線A-D-C以2cm/s的速度向點(diǎn)C運(yùn)動.設(shè)點(diǎn)E離開點(diǎn)B的時間為t s.求

        (1)當(dāng)t為何值時,EF//BC?

        (2)設(shè)t大于1小于2,當(dāng)t 為何值時,EF與圓相切?

        (3)當(dāng)t 大于等于1小于2時,設(shè)EF與AC相交于點(diǎn)P,問點(diǎn)E,F(xiàn)運(yùn)動時,點(diǎn)P的位置是否發(fā)生變化?若變化說明理由?若不變,求AP:CP的值.

        分析:(1)EF//BC要成立,根據(jù)題目意思,點(diǎn)F肯定在DC段.

        畫出E1F1//BC如備用圖一所示.可知BE1=t,CF1=4-2t.

        因?yàn)樗倪呅蜤1BCF1為矩形,所以BE1=CF1.所以

        t =4-2t.解得t=4/3.

        像上題這樣綜合性高的題目比較多,大家只要認(rèn)真分析,圖畫清楚,能夠在圖中找到我們所熟悉的基本圖形,并能結(jié)合其他知識應(yīng)用,基本上也能過關(guān).

        以上觀點(diǎn)是本人的一些不成熟的看法,希望對大家有所幫助。

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