林虹

[摘 要] 數學教學就是思維的教學. 課本例題都是教材編纂者精心選出來的，只有立足于學生的認知去理解教材意圖，挖掘課本例題的豐富內涵和廣闊外延，才能有效地訓練學生的思維. 本例題的教學設計把“由角的數量關系判定直線的位置關系”貫穿始終，通過分解圖形，暴露思維；類比實踐，沉淀思維；梳理小結，提升思維；例題演變，拓展思維等環(huán)節(jié)，揭示了“怎么想”到“怎么做”的思維過程，凸顯了數學教學的本質.

[關鍵詞] 理解教材；學生現狀；例題設計；基本圖形；思維教學

例題是知識的聚焦地，是學生思維交鋒的戰(zhàn)場，是教師實現教學主張的載體. 課本中每一個例題都是教材編纂者精心選出來的，有豐富的內涵和廣闊的外延，意在促進學生知識的形成，強化基礎知識和基本技能. 在引導學生思維、培養(yǎng)學生能力等方面，有著極大的潛在價值. 在數學教材中，由于篇幅、體系等諸多因素，一些內容被簡化或揚棄，有著許多學生看不見的空洞和留白，教師應及時把這些看不見的空白之處暴露出來，讓學生經歷“再創(chuàng)造”的過程，使教材內容“增值”. 但在具體的教學實施和學生學習的過程中，沒有充分使用課本例題，挖掘其教學價值的現象屢屢發(fā)生. 一些教師認為課本例題太簡單，或為了求新立異等舍棄課本例題；一些教師在教材例題解讀上，本位思想嚴重，沒有立足于學生的認知去理解教材意圖，因此教學也未能凸顯例題教學本質. 下面就一道具體的課本例題的教學過程探索其教學本質.

題目與分析

如圖1，∠1=∠2，∠B+∠BDE=180°，指出圖中哪些直線相互平行，并說明理由.

1. 教材解答

解：AB∥EF，DE∥BC.

因為∠1與∠2是AB，EF被DE截成的內錯角，且∠1=∠2，所以AB∥EF.

理由是：內錯角相等，兩直線平行.

因為∠B與∠BDE是BC，DE被AB截成的同旁內角，且∠B+∠BDE=180°，所以DE∥BC.

理由是：同旁內角互補，兩直線平行.

2. 教材意圖

該例題是第7章平面圖形的認識（二）中，探索直線平行的條件（第二課時）的內容. 這節(jié)課的教學目標是：①會正確識別內錯角、同旁內角；②探索并證明直線平行的條件：“內錯角相等，兩直線平行”“同旁內角互補，兩直線平行”（下文把它們稱為直線平行的第2個、第3個條件）；③經歷探索直線平行條件的過程，發(fā)展空間觀念和有條理的表達能力.

該例題是在學生認識內錯角、同旁內角的基礎上，對探索歸納出的直線平行的條件的應用. 它具有開放性，要求根據給出的條件，找出圖中互相平行的直線，并尋找使這些直線平行的條件. 其作用有兩個：一是運用直線平行的第2個、第3個條件進行推理；二是進一步識別內錯角、同旁內角.

3. 學生現狀

學生已有探索直線平行的條件“同位角相等，兩直線平行”的經驗，通過第二課時繼續(xù)探索直線平行的條件，學生能夠進一步認識到平行作為兩直線的位置關系，與角的大小存在著內在的聯系：由角的數量關系判定直線的位置關系，反映了圖形與數量之間的關系. 由于學生對新知識的學習有著一定的認知過程，他們對內錯角、同旁內角的特征認識還不是很充分，很大程度上在圖形中無法清楚識別：已知的兩角是由哪兩條直線被第三條直線所截而構成的哪類角？即對由“角”找“線”存在困惑、迷茫. 因此很多學生對教材提供的解答，知其然不知其所以然，很難實現教材的意圖，達不到應有的教學價值.

教學設計

1. 分解圖形，暴露思維

我們知道，教學的價值往往表現在面對問題能自然地做出選擇，又不斷地優(yōu)化自己的想法與做法，并在這一思維過程中積累經驗，增長智慧. 為了達到這種教學價值，筆者采用華羅庚教授所說的“善于解題就是要善于退，要退到最簡單而又不失本質的地方”，立足于學生現有的數學現狀，用“退”的思想，設計了從復雜圖形中分解出基本圖形，由“角”找“線”的教學活動.

問題1 （1）角是由什么組成的圖形？∠1，∠2由哪兩條邊組成？ 用紅色的線標識出這兩邊，然后畫出所標識的部分并標注相應的字母.

（2）觀察你所畫的基本圖形，由于角的邊是直線的一部分，因此我們可知∠1和∠2是由哪兩條直線被哪條直線所截而成的什么角.

（3）這樣由∠1=∠2可知哪兩條直線平行？其依據是什么？

設計意圖 從學生已有的知識基礎和認知經驗出發(fā)，讓學生展開思維活動. 學生識別角時常常沒有依據角的定義，沒辦法把角和直線聯系起來. 所以設計時“退”到角的定義，在圖中找出角的邊，然后分解出如圖2的基本圖形，接著在基本圖形中尋找出基本元素及其關系，找出平行直線也就水到渠成了. 這樣的活動過程，為學生搭建了化“抽象”為“直觀”的腳手架，暴露了由“怎么想”到“怎么做”的思維過程，使學生獲得了數學活動經驗，培養(yǎng)了學生的空間觀念.

生成預設 對于第（1）問，學生解答不存在問題，老師結合學生的回答在PPT中用紅色線標識∠1，∠2的邊，待學生嘗試畫圖后，老師再在PPT中演示：從原圖形中剝離用紅色線標識的∠1，∠2，分解出如圖2的基本圖形——“Z”型圖. 對于第（2）問，讓學生思考后回答，如學生有問題可適當提醒學生“三線八角”的知識. 這種從復雜圖形中分解出基本圖形的方法，幫助學生排除多余的干擾因素，去偽存真，問題（3）的答案也就顯而易見了.

2. 類比實踐，沉淀思維

通過問題1的探索過程，學生初步積累了由“角”找“線”的數學活動經驗，可很大程度上只停留在感知層面，學生是否真正掌握需要實踐的檢驗. 正如波利亞所說：數學解題是一種實踐性技能，就像游泳、滑雪和彈鋼琴一樣，要通過模仿和實踐來學習. “由∠1=∠2確定的平行直線”與“由∠B+∠BDE=180°確定的平行直線”在結構和特征上有著共同點和相似處，因此可采用與問題1類比的方法進行研究，突出知識間的聯系，有利于學生掌握的系統(tǒng)性及內在聯系. 于是筆者提出了以下問題.

問題2 類比問題1的探索過程，請你指出由∠B+∠BDE=180°確定的平行直線，并說明理由.

設計意圖 認知心理學認為：學習既是經驗的遷移，又是在原有知識上的建構. 初一學生研究平面圖形的經驗不足，對研究平面圖形的思想方法還沒有形成一個完備的結構體系，可遷移的經驗很少，所以學生對找基本圖形感到困難. “類比問題1的探索過程”為學生提供探索問題的方向，把前面在數學活動中獲得的思維經驗實踐于問題2的探索，屬于知識的遷移，更是經驗積累的過程.

生成預設 學生能仿照問題1的活動過程，找出如圖3的基本圖形——“C”型圖，答案的得出不是難事.

3. 梳理小結，提升思維

問題3 通過上述活動，你能發(fā)現什么？

設計意圖 讓學生反思活動過程，小結活動經驗，提升活動理論，主要是將“增強學生發(fā)現問題和提出問題的能力、分析問題和解決問題的能力”的課程目標，細化為“根據兩角的大小關系確定兩直線的位置關系”這一課時目標，感悟從復雜圖形中分解出基本圖形的方法，讓學生掌握由“角”找“線”的“數學認識”，培養(yǎng)學生有條理的表達能力.

生成預設 從尋找已知兩角的邊出發(fā)，畫出對應的基本圖形，結合該基本圖形確定已知的兩角是由哪兩條直線被第三條直線所截而成的哪一類角，再在該基本圖形中尋找出基本元素及其關系.

4. 例題演變，拓展思維

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：學生的數學學習內容應當是現實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內容要有利于學生主動地進行觀察、實驗、猜測、驗證、推理和交流等數學活動. 不僅要將知識遷移，還要學會變化，能夠做到舉一反三. 筆者圍繞“由角的數量關系判定直線的位置關系”的教學目標，對例題適當引申、挖掘，將知識、方法與技巧融入其中，讓學生在解題過程中感知題組內的規(guī)律，發(fā)現題組內蘊含的知識和方法.

變式1 如圖1，除∠1=∠2外，若要說明直線AB∥EF，需要什么條件？

設計意圖 變式1與例題是一個互逆的過程，它反映了由“線”找“角”，是“由果索因”的數學活動. 學生獨立思考后，小組討論，全班展示，使學生體會到：由于第三條直線不確定導致答案不唯一. 該變式深化例題的豐富內涵，滲透分類討論的數學思想，旨在培養(yǎng)學生的逆向思維能力，開闊思維的寬度，提高學生的思維品質.

生成預設 每位學生自主探索后，相互交流，得到如下結論：以AC為第三條直線得到如圖4的基本圖形，由圖4可知當∠A=∠FEC時，直線AB∥EF；以DE為第三條直線得到如圖5的基本圖形，由圖5可知當∠DEF+∠BDE =180°時，直線AB∥EF；以BC為第三條直線得到如圖6的基本圖形，由圖6可知當∠B=∠EFC或∠B+∠BFE =180°時，直線AB∥EF.

變式2 如圖1，除∠B+∠BDE=180°外，若要說明直線DE∥BC，需要什么條件？

設計意圖 同變式1，不再贅述.

生成預設 每位學生自主探索后，相互交流，得到如下結論：以AB為第三條直線得到如圖7的基本圖形，由圖7可知當∠B=∠ADE時，直線DE∥BC；以EF為第三條直線得到如圖8的基本圖形，由圖8可知當∠DEF=∠EFC或∠DEF+∠BFE=180°時，直線DE∥BC；以AC為第三條直線得到如圖9的基本圖形，由圖9可知當∠AED=∠C時，直線DE∥BC.

變式3 如圖1，如果∠1=∠EFC，直線DE∥BC嗎？請說明理由.

設計意圖 很多學生依靠直覺認為∠1與∠EFC是同位角，通過追根溯源，即與“三線八角”的知識比較辨析，通過對比，凸顯差異，強化同位角的圖形特征. 運用“形相近，意相遠”的題目，鞏固知識的內涵，培養(yǎng)學生思維的批判性，促使學生進一步養(yǎng)成解題有根有據的良好學習習慣.

生成預設 誤認∠1與∠EFC是同位角，得到直線DE∥BC的錯誤結論. 老師分解出如圖10的圖形，然后用“三線八角”的知識識別∠1與∠EFC不是同位角.

反思

1. 理解教材是教學設計的基礎

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學教材為學生的數學學習活動提供了學習主題、基本線索和知識結構，是實施數學教學、實現數學課程目標的重要資源. 平時教學中，研讀教材，領悟編者意圖，在教學設計的各個環(huán)節(jié)上對教材進行深入思考，尋求更恰當的內容來呈現，以期有效引導學生參與重要的數學知識與方法的產生、發(fā)展和運用的過程，實現學生對學習內容更深層次的理解. 本例題的教學設計把“由角的數量關系判定直線的位置關系”貫穿始終，注重該知識的“生長點”與“延伸點”. 又把它置于整體知識的體系中，設計出具有挑戰(zhàn)性的三個變式，注重處理局部知識與整體知識的關系，引導學生感受數學的整體性，體會對于某些數學知識可以從不同的角度加以分析、從不同的層次進行理解.

2. 切合學生是教學設計的本源

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學教學活動必須建立在學生的認知發(fā)展水平和已有的知識經驗基礎之上. 了解學生，是一切教學的基礎；適合學生，是因材施教的體現. 再精彩的教學設計都需要通過學生這一主體來落實，這直接關系到教學的有效程度. 如本例題的教學設計，就是在摸透學情的情況下，對可能出現的困難、錯誤進行一種預設. 運用從復雜圖形中分解出基本圖形的方法，化繁為簡，切合學生的知識能力水平，符合學生的心理年齡特點. 只有這樣，學生才會在嘗試與體驗中積極思考，才能在知識能力、數學思維、問題解決等方面真正得以發(fā)展，從而實現有效教學.

3. 暴露思維是教學設計的核心

數學的核心是思維，思維需要拓展，不能停留于“淺灘”，要思維向“青草更深處漫溯”. 本例題三個變式題組的設計，使學生對“由角的數量關系判定直線的位置關系”的認識，既從圖形結構特征進行解讀，又從數量關系上深入接觸到其隱性的內涵知識. 不僅能讓學生充分暴露思維本真，而且能開闊思維寬度，豐富學生解決問題方法的多樣性，更使得數形結合思想、分類討論思想的滲透做到靈活自如，自然貼切.

葉圣陶先生說過：“教材只能用為教課的依據，要教得好，使學生受益，還要靠教師善于應用. ”這就告誡我們要善于“用教材”，而不是“教教材”. 只有在理解教材、切合學生、暴露思維的前提下，教師適當對例題進行引申、拓廣，充分挖掘其智能因素——或啟迪思路，注重方法；或引申問題，豐富內涵；或串聯知識，一題多解；或解后思考，擴大成果；或歸納題型，總結規(guī)律，從而有效地訓練學生的思維能力，提高課堂教學質量.