施長燕

【內(nèi)容摘要】文章通過對幾何解題中一些“似曾相識”的圖形進行適當?shù)靥釤挘蜁l(fā)現(xiàn)一些經(jīng)驗型的“基本圖形”，再運用這樣的“基本圖形”去解題。這樣學生不僅可以迅速地抓住問題的本質(zhì)，思考問題的時間也大大縮短，解題效率得到提高。文章以K字型為例，來說明它在相似解題中的運用，為我們學生的解題拓展了思路，更容易看清事物的本質(zhì)，從而有效的進行解題，同時讓學生體會基本圖形在相似中的妙用。

【關鍵詞】K字型相似 基本圖形 構造 妙用

從教至今，我們的學生學習幾何時遇到相似有關的內(nèi)容往往愁眉不展，而近年的中考綜合題中總會穿插著相似的應用，所以相似這塊的內(nèi)容要求學生熟練掌握。

在幾何解題中對一些“似曾相識”的圖形進行適當?shù)靥釤?，就會發(fā)現(xiàn)一些經(jīng)驗型的“基本圖形”，再運用這樣的“基本圖形”去解題。這樣學生可以迅速地抓住問題的本質(zhì)，思考問題的時間也大大縮短，解題效率得到提高。而相似中的基本圖形有A字型，X字型，K字型等。一旦學生學會關注這些基本圖形，并讓學生學會運用基本圖形解題，那對于復雜的幾何圖形可以分解出基本圖形個個擊破，解題往往變得得心應手！在這些基本圖形的應用中“K字型”的應用比較廣泛，下面我將結合自己多年的教學經(jīng)驗追溯“K字型”的起源，談談其在相似中的應用。

一、追溯K字型的根源

1.初見K字型

回顧勾股定理中的“總統(tǒng)證法”，將兩個全等的直角三角形拼成如圖所示的直角梯形，以下是“總統(tǒng)”證法的用圖：

在勾股定理的“總統(tǒng)證法”中我們發(fā)現(xiàn)一直線上出現(xiàn)三個直角，這就是我們第一次接觸“K字型”這個基本圖形。數(shù)學中的基本圖形分為兩種：課本中的概念、公式和定理所對應的圖形叫做理論型基本圖形；重要的例題和習題所對應的圖形叫做經(jīng)驗型基本圖形，K字型屬于經(jīng)驗型基本圖形。初見“K字型”我們可以感受到幾何學習中內(nèi)藏奧秘，需要我們?nèi)ヌ綄ぁ⒔獯穑敲催@個基本圖形究竟如何應用呢？

2.K字型常見形式的探討

（1）K字型的特殊形式（一線三直角）

我們從勾股定理的證明開始，我們發(fā)現(xiàn)如果一條直線上出現(xiàn)三個直角就會出現(xiàn)基本圖形——K字型，在這個基本圖形中我們發(fā)現(xiàn)存在著相似，因此在教學中我們要引導學生來進行證明。

條件：B，C，E三點共線，∠B= ∠ACD=∠E=90°

結論：△ABC∽△CED

證明：∵∠B=∠ACD=∠CED=90°

∵∠ACE=∠B+∠A=∠ACD+∠DCE

∴∠A=∠DCE

∴△ABC∽△CED

通過證明歸納得到：如果出現(xiàn)一條直線上出現(xiàn)三個直角簡稱“一線三直角”這個特殊的K字型，得到一組相似，這個結論在解題中可以拿來靈活應用。

（2）K字型的一般形式（一線三等角）

如果把一直線上的三個直角換成三個相等的角，同樣K字型還是存在，那么換成三個相等的角之后K字型的相似是否依然存在呢？我們繼續(xù)探討。

條件：B，D，C三點共線，∠B= ∠EDF=∠C=α

結論：△BDE∽△CFD

證明：∵∠B=∠EDF=∠C=α

∵∠EDC=∠B+∠E=∠EDF+∠FDC

∴∠E=∠FDC

∴△BDE∽△CFD

通過上面的證明我們同樣發(fā)現(xiàn)一直線上三個角相等簡稱（一線三等角）會出現(xiàn)K字型這個基本圖形，同樣存在K字型的相似。

從K字型的出現(xiàn)到常見形式的探討，我們發(fā)現(xiàn)“一線三等角”的K字型中存在著相似，這幫助我們學生拓展解題思路，看清事物本質(zhì)，從而有效地進行解題。下面繼續(xù)結合典型的例子，體會K字型在相似中的妙用。

二、品味K字型在相似中的妙用

在討論完K字型的基本應用后，在學習相似中我們要幫助學生深入挖掘K字型這個基本圖形，抓住問題的本質(zhì)，使學生肯質(zhì)疑、善思考，從而幫助學生提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力。接下來為了把K字型融會貫通地使用，我打算從找出K字型、構造K字型兩方面來品味相似中基本圖形應用的精彩。

1.善于觀察，巧用K字型

K字型這一基本圖形往往隱藏于復雜的幾何圖形中，對于復雜的幾何圖形首先我們要學會分解，把它從圖形中找出，根據(jù)它的特征進行相似中應用，從而提高學生的幾何解題能力。在尋找是否存在K字型的過程中，可以根據(jù)K字型的特征嘗試著尋找一直線上是否存在三等角（或三直角）。K字型相似三角形往往是以等腰三角形、矩形為背景，下面我將結合具體的例子來體會如何順利找出K字型，并巧妙的運用K字型進行精彩的解題。

【例1】三角形中的K字型

如圖1，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動點，∠EDF=60°。求證：△BDE∽△CFD

【思路分析】由題意得∠B=∠C= ∠EDF=60°并且頂點B、D、C在直線BC上，這屬于典型的K字型相似，得出△BDE與△CFD相似。

圖1

點評：該題中學生可以輕松找出K字型，讓學生覺得找出K字型不是一件難事，有助于學生樹立學習的信心。在輕松找出三角形中K字型，我們來觀察如何找出矩形和等腰梯形中的K字型。

【例2】矩形中的K字型

已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11，0），點B（0，6），點P為BC邊上的動點，經(jīng)過點O、P折疊該紙片，得點B′和折痕OP。設BP=t。

（Ⅰ）如圖2，經(jīng)過點P再次折疊紙片，使點C落在直線PB′上，得點C′和折痕PQ，若AQ=m，試用含有t的式子表示m；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，當點C′恰好落在邊OA上時，求點P的坐標（直接寫出結果即可）。

圖2

【思路分析】

（1）對于題中（Ⅰ）發(fā)現(xiàn)通過兩次翻折得出∠OPQ=90°，繼而發(fā)現(xiàn)K 字型相似的存在，由∠OBP=∠OPQ= ∠PCQ=90°易證得△OBP∽△PCQ。

（2）問題（Ⅱ）由K字型的啟示首先過點P作PE⊥OA于E，構造新的K字型易證得△PC′E∽△C′QA：

點評：該題由于矩形的特殊性，可以利用一線三直角的K字型進行解決，在（Ⅰ）中我們成功的找到了K字型，但（Ⅱ）的解題中我們是構造了K字型，那如何構造K字型下面將繼續(xù)探討。

通過上面的探討發(fā)現(xiàn)任何一個復雜的幾何圖形都是由若干個基本圖形組合而成的，將一個復雜圖形中的基本圖形“離析”出來，是解決問題必須具備的重要能力之一，而這種“離析”是在真正理解基本圖形上才能進行的。在挖掘題中多個隱含的基本圖形時，學生的數(shù)學素養(yǎng)和圖形感知也將得到發(fā)展。

2.勇于構造，活用K字型

當通過觀察找不出K字型如上面例2中的（Ⅱ）需要添加適當?shù)妮o助線，構造出K字型使問題得以解決。在下面結合具體例子討論幾種常見的構造方法。

【例3】如圖3，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，∠B=90°，AB=7，AD=9，BC=12，在線段BC上任取一點E，連接DE，作EF⊥DE，交直線AB于點F。若點F在線段AB上，且AF=CE，求CE的長。

【思路分析】在本題中出現(xiàn)了一直線上兩直角的K字型的不完整圖形，因此我們可以用作高的方法構造K字型，過點D作DH⊥BC于H，再通過證明△BEF∽ △HDE加以解決；

圖3

點評：以上例題是我們熟知K字型的基礎上，利用作高來構造K字型，運用相似的有關性質(zhì)進行順利的解題。

通過上面探討可以幫助學生歸納在運用K字型這個基本圖形時分以下兩種情況：

（1）題目具備K字型的所有特征，可以直接通過這個基本圖形的性質(zhì)進行簡單應用；

（2）題目具備K字型的部分特征，可以添加適當?shù)妮o助線或稍作變形構造出基本圖形。

總之，復雜的圖形都是由基本圖形組合而成的，如果解題中通過觀察、分析，快速地從復雜圖形中分離出基本圖形，，定能將問題化繁為簡，事半功倍。通過對K字型基本圖形的多種應用，可以獲得常用的解題思路，從而進行有效的解題。

三、體驗無處不在的K字型，感受一法解多題

《數(shù)學課程標準》要求，隨著學生學習經(jīng)驗的積累和研究能力的發(fā)展，教師應逐步提高學生探究性水平的層次，為學生完善學習方式提供有利的條件。在品味完K字型在相似中的妙用，我們要會進行知識的遷移，結合下面精選的2題來體驗無處不在的K字型從而提高學生的幾何解題能力。

題1：如圖正五邊形ABCDE，B'是邊BC上任意一點，以AB'為邊（在BC的上方）向外作正五邊形AB'C'D'E'，連接CC'，則∠B'CC'=_____°。

題2：如圖，已知直線l1∥l2∥l3∥l4，相鄰兩條平行直線間的距離都是2，線段AB的兩端點分別在直線l1、l3上并與l2相交于點E，若以線段AB為一邊作正方形ABCD，C、D兩點恰好分別在直線l2、l4上，則sinα=_____。

以上2題表面不同，但本質(zhì)相同，都可以通過發(fā)現(xiàn)或構造出K字型的基本圖形，達到運用基本圖形解決問題的目的。

《數(shù)學課程標準》在幾何方面的學習要求學生“能從較復雜的圖形中分解出基本的圖形，并能分析其中的基本元素及其關系，利用直觀來進行思考”。當學生成功掌握了K字型這個基本圖形所隱含的基本性質(zhì)和基本結論，在解題時只要根據(jù)試題特征，巧妙構造基本圖形，運用其知識和方法，為解題思路的探求提供思維方向。在平時教學中要注重滲透基本圖形的教學，引導學生成功地從復雜圖形中分解出基本圖形，并靈活地運用基本圖形解決有關問題。

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（作者單位：江蘇常熟市濱江實驗中學）