曾憲學(xué)

摘 要：在復(fù)習(xí)教學(xué)階段，必須對復(fù)習(xí)的時間和內(nèi)容做出科學(xué)、合理的安排，才能保證復(fù)習(xí)工作的扎實、高效。現(xiàn)以《K字形相似三角形專題復(fù)習(xí)》教學(xué)為例，對“橫向拓展”教學(xué)模式的基本流程、“橫向拓展”教學(xué)模式的實踐成效、建立“橫向拓展”教學(xué)模式的框架、“橫向拓展”教學(xué)模式與“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式的區(qū)別做系統(tǒng)論述，從而引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中不斷挖掘、提煉、總結(jié)基本圖形，以達到“做一題，通一類，會一片”，從而跳出題海的效果。

關(guān)鍵詞：基本圖形；橫向拓展；解題策略

初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗、基本數(shù)學(xué)思想方法涉及面很廣。因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)階段，必須對復(fù)習(xí)的時間和內(nèi)容做出科學(xué)、合理的安排，才能保證復(fù)習(xí)工作的扎實、高效?！皬?fù)習(xí)教學(xué)”一般分為“系統(tǒng)復(fù)習(xí)”和“專題復(fù)習(xí)”?！跋到y(tǒng)復(fù)習(xí)”的教學(xué)模式是用小問題回顧基礎(chǔ)知識，歸納、構(gòu)建知識縱向網(wǎng)絡(luò)，選擇典型問題，總結(jié)、提煉解題規(guī)律，梳理知識納入體系，強調(diào)的是知識之間的縱向聯(lián)系，主要針對一章或一領(lǐng)域的內(nèi)容，適用于第一輪復(fù)習(xí)，我們稱之為系統(tǒng)復(fù)習(xí)“縱向深入”教學(xué)模式?！皩ｎ}復(fù)習(xí)”是從基本問題（圖形）出發(fā)，逐漸增加條件（或改變圖形），過渡到專題的核心內(nèi)容，在提出問題和解決問題的過程中，引導(dǎo)學(xué)生對典型例題進行變式拓展，建立知識的橫向網(wǎng)絡(luò)，強調(diào)各部分知識的橫向聯(lián)系，主要針對跨章或跨領(lǐng)域的內(nèi)容，適用于第二輪復(fù)習(xí)，我們稱之為專題復(fù)習(xí)“橫向拓展”教學(xué)模式。

本文以《K字形相似三角形專題復(fù)習(xí)》的教學(xué)實踐為例，基于“橫向拓展”教學(xué)模式，談?wù)劰P者的一些嘗試研究與思考。

一、“橫向拓展”教學(xué)模式的基本流程

1.引入基本圖形

從基本圖形（基本問題）出發(fā)，逐漸增加條件（改變圖形），讓學(xué)生清晰地認識基本圖形的特征，然后逐漸拓展延伸基本圖形（問題）。

基本圖形：如圖1，A，C，D三點共線，且∠A=∠D=∠BCE=90°。

問題1：觀察圖形后，你能獲得什么結(jié)論？

生1：△ABC∽△DCE。

問題2：你能否用一個英文字母表示一下這個圖的模型？

生眾：K字形。

問題3：如圖2，A，C，D三點共線，且∠A=∠D=∠BCE，還有這個結(jié)論嗎？

生眾：有。

2.過渡核心問題，深刻認識基本圖形

通過基本圖形（基本問題）的拓展延伸，逐漸過渡到核心知識，引導(dǎo)學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時解決問題。在解決問題的過程中，深刻認識，明晰核心知識的考點及典型題。

問題4：如圖3，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動點，∠EDF=60°，這時你能得到什么結(jié)論？

生2：△BDE∽△CFD。

師：你能給出證明嗎？

生2：能。

∵△ABC是等邊三角形，∠EDF=60°，

∴∠B=∠C=∠EDF=60°

∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED

∴∠BED=∠FDC

∴△BDE∽△CFD

師：當BD=1，F(xiàn)C=3時，BE=？

生3：∵△BDE∽△CFD，∴=

∵BD=1，F(xiàn)C=3，CD=5，∴BE=

師：下面我們對這道題反思一下，我們從這道題中發(fā)現(xiàn)了什么？學(xué)到了什么？

生3：我發(fā)現(xiàn)在這個K字形中，一線上三個角相等的兩個相似三角形，對于求線段長，我們又多了一條思路，那就是利用相似三角形性質(zhì)，對應(yīng)邊中已知三邊，可以求第四邊。

3.典型例題變式，建立橫向網(wǎng)絡(luò)

引導(dǎo)學(xué)生對典型例題進行變式拓展，自己發(fā)現(xiàn)結(jié)論，同時解決問題。在解決問題的過程中，建立知識的橫向聯(lián)系，從而提高解決綜合問題的能力。

問題5：如圖4，在問題4的背景下，將等邊三角形改為等腰三角形，動點D，改為定點，且為底邊上的中點，即在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中點，∠EDF=∠B，這時你能得到什么結(jié)論？

生4：△BDE∽△CFD。

師（追問）：就這一結(jié)論嗎？

生4點點頭。

師：好的。你先坐下來再思考一下，其他同學(xué)還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？請大家思考一下。

∵∠APQ=∠APB+∠CPQ

∠ABC=∠APB+∠PAB

∠APQ=∠ABC

∴∠CPQ=∠PAB

又∵∠ABP=180°-∠ABC

∠PCQ=180°-∠ABC，∠ABC=∠ACB

∴∠ABP=∠PCQ

∴△QCP∽△PBA

師：此題是典型的圖形變式題，對于這類變式問題是中考中最常見的，雖然圖形改變，但是方法不變，依舊是原來的兩個三角形相似列出比例式后求解。當?shù)妊切巫兪綖檎叫螘r，依然沿用剛才的方法便可破解此類問題。記住口訣：“圖形改變，方法不變”。動點在線段上時，通過哪兩個三角形相似求解，當動點在線段的延長線上時，還是找原來的兩個三角形，多數(shù)情況下這兩個三角形還是相似的，還是可以沿用原來的方法求解。

4.尋求共性規(guī)律，形成解題策略

學(xué)生在對典型例題進行變式以及解決問題的過程中，發(fā)現(xiàn)共性規(guī)律，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗、優(yōu)化解題策略。

問題9：通過典型例題的變式與拓展，在解決問題的過程中，你發(fā)現(xiàn)了哪些共性的規(guī)律？

生10：我發(fā)現(xiàn)：在圖形中，若條件是頂點共線的三個角相等，應(yīng)考慮運用今天所學(xué)的K字形相似，這類型題目往往以等腰三角形或者等邊三角形為背景。

師：你總結(jié)得很到位。我們把剛才所學(xué)的幾個圖形提煉如下：

若條件是頂點共線的三個角相等，一個與等腰三角形的底角相等的角，其頂點在等腰三角形底邊（或其延長線）上，角的兩邊分別與等腰三角形的兩邊（或其延長線上）相交（如圖11所示），其中一等角的頂點在底邊上的位置不同得到的相似三角形的結(jié)論也不同，當頂點移動到底邊的延長線時，形成變式圖形，圖形雖然變化，但是求證的方法不變。

二、“橫向拓展”教學(xué)模式實踐成效

1.讓不同的學(xué)生得到不同的發(fā)展

基于《K字形相似三角形專題復(fù)習(xí)》這節(jié)課，課后我對所教的班級作了問卷調(diào)查，問卷如下：

（1）老師這堂課設(shè)計的問題對你來說難度如何

（ ）。

A.比較簡單 B.比較難 C.由簡單到難

（2）老師這堂課設(shè)計基本圖形——K字形，在今后解題時，若遇到的題目中需要用到今天所學(xué)K字形時，是否在較復(fù)雜的圖形中識別出基本圖形K字形，并運用今天總結(jié)的規(guī)律加以解決？

（3）這堂課你在解決老師課堂任務(wù)單上題目時，是否積極思考了，老師給的時間夠嗎？若不夠是哪道題？其中哪道題最能激發(fā)你的思維？

（4）談?wù)勍ㄟ^這種專題復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)你最大的收獲是什么。（多談點）

（5）最后請同學(xué)們對這堂課提出一些你想表達的建議。（我希望得到建議，可多談些）

問卷分析如下：

對于第（1）題，大部分的同學(xué)回答：C.由簡單到難，說明教師設(shè)計的問題合理且符合學(xué)生的認知規(guī)律。

對于第（2）題，80%的學(xué)生回答：通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)能夠解決類似題型。

對于第（3）題，對于基礎(chǔ)好的學(xué)生回答：積極思考，而且認為思考的時間足夠；其中基礎(chǔ)差的學(xué)生回答：老師給的思考時間不夠，講得有點快；對于最能激發(fā)思維的都認為：問題6的最后一問及問題7，需要用到分類討論的思想方法。

對于第（4）題，學(xué)生的回答基本上是：

A學(xué)生：我最大的收獲是基本掌握了K字形的題目，能從復(fù)雜的圖形中識別出K字形，有些題目還需要在圖形中構(gòu)造K字形，并運用其結(jié)論解題?？傊?，我這節(jié)課聽懂了。

B學(xué)生：我最大的收獲是可以從反復(fù)講過的同一類型的題目當中找到了基本圖形，從而讓解題思路清楚明了，對解同一類型題目增強了信心。

C學(xué)生：我最大的收獲是原來涉及這一類題易錯，通過今天的學(xué)習(xí)，覺得不會再出錯，思維變開闊了。

眾生思考。

對第（5）題，學(xué)生的回答基本是：

D學(xué)生：我覺得這堂課的時間過得太快了，不知不覺就下課了，我還發(fā)現(xiàn)：在有關(guān)二次函數(shù)的知識里也有K字形，可以用今天所學(xué)的知識來解決。

E學(xué)生：可以在下次考試當中放一道有關(guān)K字形的題，檢測一下我們，看看我們是否真的掌握了，老師最好是你自己編的好題、新題，大家都沒有做過的，這樣更能反映我們的真實水平。

F學(xué)生（優(yōu)秀生）：下次復(fù)習(xí)的時候，問題可以再難點，這樣更能激發(fā)我們的思維，提高我們的解題能力。

由此可見，運用“橫向拓展”模式進行專題復(fù)習(xí)，設(shè)計題目遵循“切入口小、由簡到難、橫向拓展”的原則，符合學(xué)生的認知規(guī)律，讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展。

2.教育質(zhì)量明顯提高，培養(yǎng)優(yōu)生效果顯著

中考復(fù)習(xí)第二輪，我校九年級數(shù)學(xué)組進行了中考復(fù)習(xí)課的研究與實踐，其中實驗班采用了“橫向拓展”專題復(fù)習(xí)，其余沿用了傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)。筆者將這次九年級模擬成績（以下簡稱“九模”）與九上期末成績作了比較：

■

由上表數(shù)據(jù)可以看出，906班（這次“實驗班”）九上期末時成績從平均分與優(yōu)秀率來看，與我校其他同層次班級幾乎在同一起跑線上，但通過采用“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”與“橫向拓展專題復(fù)習(xí)”兩種不同的教學(xué)模式進行教學(xué)實驗。實驗班九模成績明顯高于同層次且未采用這種模式進行復(fù)習(xí)的班級，對優(yōu)生的培養(yǎng)也起到了意想不到的效果，在第二輪復(fù)習(xí)難度增加的情況下，同層次班級優(yōu)秀生略有下降，而實驗班的優(yōu)秀率明顯增多。由此可見，運用“橫向拓展”模式進行專題復(fù)習(xí)，不但能提高教育教學(xué)質(zhì)量，還能培養(yǎng)尖子生。

3.開發(fā)成資源，讓大家共享

課后研討也得到了同伴聽課老師的一致好評，同時得到我區(qū)教研員周老師的認可：本節(jié)課以問題為主線，注重啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生思考，從問題中發(fā)現(xiàn)結(jié)論，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、探究、推理、交流、反思等理性思維的基本過程，使學(xué)生更加主動、富有探索性地學(xué)習(xí)，逐步培養(yǎng)了學(xué)生的問題意識、創(chuàng)新意識。通過提煉基本圖形，并將圖形進行不斷的變式，橫向拓展，有效地落實了“四基”。建議繼續(xù)研究并開發(fā)下去，匯編成教學(xué)資源，讓大家共享。

三、建立“橫向拓展”教學(xué)模式的框架

“橫向拓展”教學(xué)模式是從基本問題、基本圖形出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，解決問題。通過對基本問題、基本圖形的分析與思考，主動尋求解決問題的方法并產(chǎn)生新的問題，進而尋求解決問題的方法，再產(chǎn)生新的問題，使問題和思維層次逐漸深入，是遞進的過程（如圖12）。在解決問題的過程中，歸納知識使知識系統(tǒng)化，并橫向拓展，切實提高了學(xué)生的解決問題和解題能力。同時學(xué)生在變式拓展的過程中積累了解決問題的經(jīng)驗和方法，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，今后的解題能做到舉一反三。

專題復(fù)習(xí)：“橫向拓展”教學(xué)模式

四、“橫向拓展”教學(xué)模式與“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式的區(qū)別

“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式是由教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)基本概念并解決問題，從而納入知識體系，然后就知識要點有針對性地強化訓(xùn)練。它與“橫向拓展”的區(qū)別有以下兩點：

一是“橫向拓展”教學(xué)模式是學(xué)生由基本圖形（基本問題）中的條件主動思考問題，由問題去思考用什么知識去解決問題，學(xué)生在主動地建構(gòu)知識體系，整個過程是學(xué)生的行為，而教師利用自己精心設(shè)計的問題，引導(dǎo)學(xué)生去尋找共性規(guī)律，并形成解題策略，讓學(xué)生掌握這一類型的方法。

二是“傳統(tǒng)專題復(fù)習(xí)”教學(xué)模式是由教師提出問題，牽著學(xué)生走，學(xué)生被動記憶和接受知識，由概念、結(jié)論去想問題，被動回答問題，不能提出問題，整個過程是教師的行為。

在專題復(fù)習(xí)的教學(xué)中，要提高課堂教學(xué)的有效性，關(guān)鍵要教會學(xué)生把復(fù)雜問題簡單化、模塊化，以期在較短的時間內(nèi)抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這樣可以達到舉一反三，觸類旁通的目的。這一切都需要教師在教學(xué)過程中不斷培養(yǎng)學(xué)生發(fā)掘、提煉、總結(jié)基本圖形，以達到“做一題，通一類，會一片”，從而跳出題海的效果。

以上是筆者的一些教學(xué)實踐嘗試，僅以專題復(fù)習(xí)課的課型開發(fā)了一些資源，今后將擴大范圍，研究新課的課型，將教學(xué)的理念轉(zhuǎn)變，在教學(xué)設(shè)計時以“學(xué)為中心，以學(xué)定教”，在理論層次上還需拓展視野，在教學(xué)實踐上向深處挖，力求從根本上更好地解決學(xué)生學(xué)習(xí)中存在的普遍性問題。

參考文獻：

1.梁立士.初中數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)“橫向拓展”教學(xué)模式初探[J].中國數(shù)學(xué)教育（初中版），2011（12）：10-12.

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3.孫福明.課型范式與實施策略.江蘇教育出版社，2012（06）.

4.[美]G·波利亞著.涂泓，馮承天譯.怎樣解題數(shù)學(xué)思維的新方法.上海科技教育出版社，2011（11）.

（作者單位：浙江省杭州市余杭區(qū)仁和中學(xué)）