張曉笑 郭美華

［摘? 要］ 數(shù)學建模是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，教師應基于建模規(guī)律，按照“發(fā)現(xiàn)問題—探究問題—解決問題—模型初現(xiàn)—模型完善—模型建立—模型應用”的環(huán)節(jié)展開教學，尤其要重視“探究問題”和“模型完善”兩個環(huán)節(jié). 基于建模規(guī)律進行“古典概型”的教學設計，應遵循模型的生成規(guī)律，注重學生的思維參與，拓寬模型的應用領域，著力培養(yǎng)學生的建模素養(yǎng).

［關鍵詞］ 數(shù)學建模；古典概型；核心素養(yǎng)

問題的提出

數(shù)學是現(xiàn)代科學中必不可少的工具，其“源于生活，歸于生活”的特點對數(shù)學教學提出了很高的要求. 數(shù)學建模是從“實際問題”到“用數(shù)學”的一個復雜的綜合性過程［1］. 若將整個世界劃分為現(xiàn)實世界和數(shù)學世界，那么數(shù)學建模便可以將兩個世界打通并建立聯(lián)系［2］. 因此，數(shù)學建模是實現(xiàn)數(shù)學學科“工具性”要求的必要手段. 作為中學數(shù)學教師，應當按照新課標的要求，基于數(shù)學建模規(guī)律設計與開展高中數(shù)學課堂教學.

古典概型是最簡單的概率模型，也是高中生學習概率相關知識的基礎模型，是培養(yǎng)學生建模素養(yǎng)的重要載體. 當前，古典概型教學常見的設計思路是：歷史背景導入—明確概念形成模型—應用模型解決問題—課堂小結. 其中，在“明確概念形成模型”環(huán)節(jié)，部分教師對樣本空間中的樣本點的“有限性”和“等可能性”進行簡單說明后便提出古典概型的概念，再就是概念應用. 這種“順利”的建模過程有可能造成學生數(shù)學建模素養(yǎng)的培養(yǎng)效果“大打折扣”.? 其一，在建模過程中，學生只是對具體事例本身進行了討論，通過歸納其樣本空間中的樣本點的“有限性”和“等可能性”，直接得出古典概型的概念后就是概率計算. 而事實上，得到古典概型的概念應該是探究活動結束后的一種成果，而不是探究活動的起始. 其二，模型一經(jīng)建立就“完美”，缺乏檢驗與完善模型的過程. 事實上，數(shù)學建模并非從“現(xiàn)實情境”轉化為“數(shù)學模型”的單向線性過程，而是建立真實世界與數(shù)學世界之間可逆的聯(lián)系，關注抽象出數(shù)學問題與解決現(xiàn)實問題的過程［3］. 這意味著，數(shù)學建模需要不斷地從數(shù)學世界返回真實世界中檢驗結果、完善模型［4］. 因此，古典概型的教學應遵循模型的生成規(guī)律，按照“發(fā)現(xiàn)問題—探究問題—解決問題—模型初現(xiàn)—模型完善—模型建立—模型應用”的環(huán)節(jié)展開教學（見圖1）.

基于建模過程的“古典概型”的教學設計

1. 情境導入，發(fā)現(xiàn)問題

教師導入情境：據(jù)說，意大利醫(yī)生兼數(shù)學家卡當曾經(jīng)研究過一種賭博方法——把兩顆質地均勻的骰子擲出去，以每顆骰子朝上的點數(shù)之和作為賭博的內容. 已知骰子的六個面上分別標有1～6點. 那么，賭注下在多少點上最有利？

學生饒有興趣地進行猜想，當學生充分表達自己的意見后，教師展示課前部分學生“拋骰子”的結果（見圖2）.

教師提問：哪個結果出現(xiàn)的次數(shù)最多？學生一致回答“和為7”. 教師指出，按照初中所學知識可以認為，上述賭博游戲中，“點數(shù)和為7”的可能性最大.為什么會出現(xiàn)這種現(xiàn)象呢？學生帶著問題進行學習和思考.

2. 小組合作，探究問題

教師提示，研究事件出現(xiàn)的可能性，應該從該試驗的樣本空間著手，因為樣本空間含有一個隨機試驗可能出現(xiàn)的所有結果.教師通過PPT展示“拋擲兩顆骰子朝上點數(shù)”的樣本空間（見表1）. 讓學生根據(jù)樣本空間合作探究：為什么“點數(shù)和為7”的可能性最大？

3. 整合觀點，解決問題

經(jīng)充分討論，學生初步形成自己的觀點：樣本空間共有36個樣本點，其中“點數(shù)和為7”的樣本點有6個，比和為其他值的樣本點的個數(shù)多，所以“點數(shù)和為7”的可能性最大.

教師充分肯定學生的發(fā)現(xiàn)，并追問：“同學們初步找到了分析隨機事件發(fā)生的可能性大小的方法.在上述樣本空間中，‘點數(shù)和為2’的樣本點只有1個.而拋擲一枚質地均勻的硬幣，觀察其朝上一面的情況，發(fā)現(xiàn)這個試驗的樣本空間包括正、反兩個樣本點，其中‘正面朝上’的樣本點也只有1個.請問：‘拋擲兩顆質地均勻的骰子，朝上的點數(shù)和為2’的可能性與‘拋擲一枚質地均勻的硬幣，正面朝上’的可能性相等嗎？”“大家能借助路程與速度的關系對這一問題進行討論嗎？”

學生指出：路程相同并不代表速度相同，還要關注時間. 類似地，兩個隨機事件包含的樣本點個數(shù)相同，不代表它們發(fā)生的可能性相同，還與樣本空間中的樣本點的總個數(shù)有關系.

教師追問：類比速度的計算方式，你能將隨機事件發(fā)生的可能性用一個數(shù)值來表示嗎？

學生思考后指出：用隨機事件包含的樣本點個數(shù)占樣本空間包含的樣本點總個數(shù)的比值表示隨機事件發(fā)生的可能性大小.

教師充分肯定學生的創(chuàng)新思維、類比思維，讓學生按照剛才的觀點分別計算拋擲兩顆質地均勻的骰子，朝上的點數(shù)和為2，3，…，12的可能性大小，并據(jù)此說明“點數(shù)和為7”的可能性最大的理由.

4. 數(shù)學抽象，模型初現(xiàn)

教師引導學生從上述具體事例中抽象出數(shù)學模型：一般地，事件A發(fā)生的可能性大小稱為概率. 設隨機試驗E的樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則

此處，教師不急于將該模型命名為“古典概型”，而將重點放在概率的計算方面，幫助學生初步理解該模型下概率的計算原理.教師舉學生熟悉的例子以簡單應用，如下所示：

人類白化病基因（a）是正?；颍ˋ）的隱性，白化病是常染色體隱性遺傳病. 一個家庭中父母雙方均為正常，但因缺乏優(yōu)生優(yōu)育知識，不幸生育了一個白化病孩子. 請通過已知信息計算：父母雙方再次生育一個健康孩子的概率.

5. 初步應用，模型完善

教師以常見的隨機試驗作為例題，學生借助上一環(huán)節(jié)所學知識計算隨機事件發(fā)生的概率. 為創(chuàng)造完善的模型，例題應同時包含古典概型與非古典概型（主要指違背樣本空間中的樣本點的“有限性”和“等可能性”的概率模型）. 在解決問題的過程中，學生會發(fā)現(xiàn)上一環(huán)節(jié)抽象出來的模型有一些“漏洞”——當樣本空間中的樣本點不滿足“有限性”或“等可能性”時，上一環(huán)節(jié)所得的模型“失靈”了，這可以引導學生注重模型的完善.例題如下：

例題1 從甲、乙、丙三人中任選兩人擔任課代表，甲被選中的概率為_____.

例題2 袋子中有5個大小質地完全相同的球，其中2個紅球、3個黃球，從中不放回地依次隨機摸出2個球，求下列事件發(fā)生的概率：

（1）A=“第一次摸到紅球”；

（2）B=“第二次摸到紅球”；

（3）AB=“兩次都摸到紅球”.

例題3 判斷下面說法是否正確，并說明理由.

（1）某運動員連續(xù)進行兩次飛碟射擊練習，觀察命中目標的情況，用y表示“命中”，用n表示“沒有命中”，那么試驗的樣本空間Ω=｛yy，yn，ny，nn｝，因此運動員“兩次射擊都命中目標”的概率為0.25.

（2）從所有自然數(shù)中隨機選取一個數(shù)字，這個數(shù)字小于10的概率是0.1.

6. 歸納總結，模型建立

教師指出：同學們剛剛歸納完善的模型正是古典概型. 同學們沿著數(shù)學家的足跡歷經(jīng)古典概型的建模過程，最終確定了這個模型，它能幫助我們解決生活中很多概率問題.

7. 知識貫通，模型應用

數(shù)學建模強調“應用性”，本環(huán)節(jié)借助完善后的古典概型解決不同領域的相關問題，進一步培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng).

練習1 從兩名男生（記為B1和B2）、兩名女生（記為G1和G2）中任意抽取兩人.

（1）分別寫出有放回簡單隨機抽樣、不放回簡單隨機抽樣和按性別等比例分層抽樣的樣本空間，并判斷是否為古典概型.

（2）在上述三種抽樣方式下，分別計算抽到的兩人都是男生的概率.

練習2 “五行學說”是華夏民族創(chuàng)造的哲學思想，是華夏文明的重要組成部分. 古人認為，天下萬物皆由金、木、水、火、土五類元素組成. 圖3是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關系圖. 若從五類元素中任選兩類元素，則兩類元素相生的概率為_____.

總結反思

1. 遵循模型的生成規(guī)律

建模過程具備自身的規(guī)律. 建模的第一階段包括發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、解決問題三個環(huán)節(jié)，師生的主要任務是借助所學知識解決具體情境中的問題；建模的第二階段包括模型初現(xiàn)、模型完善、模型建立三個環(huán)節(jié)，師生的主要任務是從具體情境中抽象出數(shù)學模型，并將模型“初步投入使用”，在應用中發(fā)現(xiàn)問題、完善模型；建模的第三階段是模型應用環(huán)節(jié)，師生的主要任務是將建立的模型應用到不同學科領域，解決生活中的現(xiàn)實問題，從而鞏固所學模型. 在第二階段與第三階段中應用模型的主要目的不同，第二階段的目的是讓學生在初步應用中檢驗和完善模型，第三階段的目的是幫助學生鞏固所學知識. 在當前部分建模教學中，經(jīng)常忽略“模型初現(xiàn)”與“模型完善”兩個環(huán)節(jié)，建模過程“一氣呵成”后，立即進行大量練習. 這種形式確實可以快速推進知識學習，但不利于學生建模素養(yǎng)的培養(yǎng).

在本課中，教師沒有在具體情境中直接給出古典概型樣本點的“有限性”和“等可能性”，而是引導學生將初步形成的帶有“紕漏”的模型應用于解決更多問題.在問題解決中，學生會發(fā)現(xiàn)已有模型存在不足，產(chǎn)生對原模型進行完善的需求. 這種設計正是基于模型的生成規(guī)律，盡管建模過程充滿了“曲折”，但學生正是從“完善模型”的過程中提升了數(shù)學建模的能力.

2. 注重學生的思維參與

數(shù)學建模過程有一個很重要的環(huán)節(jié)是情境探究，學生在探究過程中的思維參與程度直接影響了數(shù)學建模的效果. 因為只有學生深度思考具體情境中的關鍵問題，才能更好地實現(xiàn)從具體情境到數(shù)學知識的抽象. 這種從現(xiàn)實世界到數(shù)學世界的“飛躍”，正是數(shù)學建模的關鍵所在. 因此，教師應該在導入情境的設置上下功夫，選擇生活中的真情境、歷史中的典型情境、學生感興趣的情境.同時，應該給學生留出足夠的探究時間，讓他們慢慢去“尋找”解決情境問題的數(shù)學知識.

在本課中，教師用歷史情境“擲骰子”導入課題，以“兩顆骰子朝上的點數(shù)和”的可能性大小設置問題，為更好地解決問題，讓學生課前動手“拋骰子”試驗，記錄試驗結果，發(fā)現(xiàn)“點數(shù)和為7”發(fā)生的可能性最大，這是學生第一次思維參與；為了深入探究“點數(shù)和為7”的可能性最大的原因，教師給出該試驗的樣本空間作為提示，學生合作探究后根據(jù)樣本空間的情況指出“點數(shù)和為7”的可能性最大是由于樣本空間中“點數(shù)和為7”的樣本點最多，這是學生第二次思維參與；模型初現(xiàn)后，教師引導學生應用所學模型解決問題，在解決問題的過程中遇到樣本點不滿足“有限性”和“等可能性”的情境，學生帶著疑問完善已有模型，最終得到古典概型的概念，這是學生第三次思維參與；最后，學生借助完善后的古典概型解決生活、文化等領域的概率問題，用數(shù)學知識解決實際問題，并在解決問題的過程中鞏固知識、提升建模素養(yǎng)，這是學生第四次思維參與. 經(jīng)歷多次思維參與，學生更深刻地認識了古典概型.

3. 拓寬模型的應用領域

數(shù)學建模過程闡釋了數(shù)學作為“工具性學科”的含義，但要讓學生真正理解數(shù)學的“工具性”，需要跨學科、跨領域設置問題，因為只有學生能夠體會到數(shù)學知識在生活和學科中有廣泛應用，才能將數(shù)學作為解決問題的“工具”，在解決問題時“想到”用數(shù)學，“愿意”用數(shù)學.

在本課中，教師將古典概型與生物學中的遺傳問題、現(xiàn)實生活中的抽樣問題、傳統(tǒng)文化中的“五行學說”等相結合，借助數(shù)學知識解決更多領域的概率問題. 由此學生能夠深入領會數(shù)學模型的“廣泛功能”，提高數(shù)學學習興趣.

結語

數(shù)學建模素養(yǎng)是高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)之一，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模素養(yǎng)是數(shù)學教師的重要任務. 課堂是落實核心素養(yǎng)的“最后一公里”，因此課堂教學應當成為數(shù)學教師用心研究的一方天地. 在常態(tài)化教學中，遵循建模規(guī)律開展建?；顒樱⒅貙W生的思維參與，并努力拓寬模型的應用領域，有利于更好地落實建模素養(yǎng).

參考文獻：

［1］ 王穎喆. 關于中學數(shù)學建模教與學的思考［J］. 數(shù)學通報，2020，59（11）：1-3+30.

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［4］ 汪飛飛，張維忠. 中國中學數(shù)學建模研究的歷程與論題及其啟示［J］. 數(shù)學教育學報，2022，31（02）：63-68.