杜宇

［摘? 要］ 培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是新課程的重要目標，代數(shù)思維在培養(yǎng)學(xué)生抽象能力、推理意識、模型意識方面起著非常重要的作用。因此，教師要將核心素養(yǎng)的理念融入學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)之中，有意識地培養(yǎng)小學(xué)生的代數(shù)思維，轉(zhuǎn)變運算方式，培養(yǎng)綜合能力。

［關(guān)鍵詞］ 核心素養(yǎng)；代數(shù)思維；抽象能力；推理意識；模型意識

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有高度的整體性、一致性和發(fā)展性［1］，繼高中數(shù)學(xué)課程標準提出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)后，在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中也提出以數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)為目標的課程體系，并明確指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)包括以下三個方面：（1）會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)的眼光主要表現(xiàn)為抽象能力（包括符號意識、數(shù)感、量感）、幾何直觀、空間觀念與創(chuàng)新意識；（2）會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實世界。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)思維主要表現(xiàn)為運算能力、推理意識或推理能力；（3）會用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界。在義務(wù)教育階段，數(shù)學(xué)語言主要表現(xiàn)為數(shù)據(jù)意識或數(shù)據(jù)觀念、模型意識或模型觀念、應(yīng)用意識［2］。

數(shù)學(xué)思維是核心素養(yǎng)的重要體現(xiàn)，代數(shù)思維是其中的一種。代數(shù)思維是指學(xué)生能夠歸納概括出一般化的算式結(jié)構(gòu)、變化規(guī)律和數(shù)量關(guān)系，并且能運用符號來表征和推理論證一般化的結(jié)論［3］。代數(shù)思維的本質(zhì)是一般化思維，在規(guī)則的推導(dǎo)下進行一系列的符號化運算和數(shù)學(xué)建模。小學(xué)階段代數(shù)思維的培養(yǎng)直指小學(xué)數(shù)學(xué)抽象能力、推理意識和模型意識。這是因為符號化是代數(shù)思維的基本特征之一，數(shù)及數(shù)量關(guān)系進一步抽象成符號表達；代數(shù)推理的一般性與普遍性需要符號化的推理過程，從而發(fā)展代數(shù)思維；代數(shù)思維主要表現(xiàn)為解決問題時的模型建構(gòu)，其實質(zhì)是數(shù)學(xué)建模。

由此可見，代數(shù)思維的培養(yǎng)與核心素養(yǎng)“三會”是一脈相承的。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)加強對小學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)，進行有針對性的訓(xùn)練，開展實踐研究，為中學(xué)的代數(shù)學(xué)習(xí)做好必要的基礎(chǔ)鋪墊，以實現(xiàn)學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維的自然過渡，從而促進其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的不斷提升。

一、關(guān)注符號意識，激發(fā)代數(shù)思維

7～12歲的小學(xué)生正處于具體運算階段向形式運算階段過渡，逐漸不需要具體的形象教具來輔助學(xué)習(xí)。學(xué)生的邏輯推理思維開始發(fā)展，抽象思維能力逐漸變強，能用符號進行思考和對算術(shù)進行抽象。代數(shù)的學(xué)習(xí)需要學(xué)生更多抽象思維的參與，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維能打開其抽象思維的大門。在教學(xué)過程中教師要有意識地進行引導(dǎo)和強化，使學(xué)生從算術(shù)思維到代數(shù)思維能有效銜接和過渡。

符號意識作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，其重要性不言而喻，代數(shù)思維的培養(yǎng)就要重視符號意識。在學(xué)生能夠運用文字語言描述量與量之間的關(guān)系后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考怎樣體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的簡潔之美。比如，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)符號、字母來表示數(shù)字和算式；引導(dǎo)學(xué)生在主動發(fā)現(xiàn)與交流中用簡潔的符號形式來表征同一情境、同一問題，加深對不同表征形式中的等價關(guān)系的理解，將等價關(guān)系推廣到類似的情境中來發(fā)展其代數(shù)思維。

比如，在教學(xué)“乘法的初步認識”時，教師可以呈現(xiàn)：5+5+5=（? ）×（? ），7+7+7+7=（? ）×（? ），9+9=（  ）×（? ），☆+☆+☆=（? ）×（? ），m+m+m+m=（? ）×（? ）。通過☆、m表示算式中相同的加數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生進一步思考☆、m可以表示哪些數(shù)，加深理解乘法的意義。學(xué)習(xí)運算律體現(xiàn)了學(xué)生對規(guī)律探索的歸納過程，發(fā)現(xiàn)規(guī)律需要學(xué)生進行抽象概括，表達規(guī)律則需要學(xué)生對規(guī)律進行一般化表達［4］。比如，乘法分配律的文字表達“兩個數(shù)的和乘一個數(shù)等于這兩個數(shù)分別與這個數(shù)相乘，再把積相加”，學(xué)生對此難以理解；然而當(dāng)通過抽象符號表達成（a+b）×c=ac+bc，學(xué)生能形象地理解乘法分配律。讓學(xué)生充分經(jīng)歷觀察、交流、歸納、表達、抽象的過程，這個過程是學(xué)生代數(shù)思維的體現(xiàn)，是不可或缺的。

二、巧用代數(shù)推理，助推代數(shù)思維

推理意識是小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容。推理意識主要是指學(xué)生對邏輯推理過程及其意義的初步感悟［2］?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》中強調(diào)了代數(shù)推理的教學(xué)理念，指出代數(shù)推理能為學(xué)生的邏輯推理提供一定的幫助。小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該在教學(xué)中巧妙地使用代數(shù)推理，讓學(xué)生初步感知代數(shù)推理的過程，發(fā)展學(xué)生的代數(shù)思維。

比如，六年級分數(shù)除法的算理是小學(xué)算理中最難理解的，教材通過具體情境和數(shù)形結(jié)合思想來幫助學(xué)生理解（如圖1），但教學(xué)后很多學(xué)生對算理依舊模糊不清，直接運用結(jié)論進行計算，這對學(xué)生思維的發(fā)展是不利的。在教學(xué)減法算理時，教師可以采用“想加做減”的方法，即從“減法是加法的逆運算”來理解算理；同樣，在教學(xué)除法時，也可以從“除法是乘法的逆運算”來加以理解。因此，筆者做了以下代數(shù)推理的嘗試（如圖2）。

這樣的代數(shù)推理，能讓學(xué)生很直觀地理解算理：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。學(xué)生容易接受這個理解算理的過程，能直達數(shù)學(xué)的本質(zhì)。讓學(xué)生經(jīng)歷這個代數(shù)推理的過程，有利于培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思想，并與中學(xué)的代數(shù)內(nèi)容接軌。

比如，在教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時，教師常常采用觀察法、枚舉法、不完全歸納法等方式得出結(jié)論。這樣的學(xué)習(xí)過程沒有真正培養(yǎng)學(xué)生的思維，沒有促進學(xué)生推理能力的發(fā)展，不利于學(xué)生核心素養(yǎng)的形成。在五年級上冊學(xué)生已經(jīng)學(xué)會了用字母表示數(shù)，已經(jīng)具備代數(shù)推理的基礎(chǔ)。因此，在教學(xué)“3的倍數(shù)特征”時，筆者以代數(shù)推理的方式來揭示“3的倍數(shù)特征”的本質(zhì)（如圖3）。

在探究性作業(yè)中，筆者也設(shè)計了代數(shù)推理的題目，如圖4。其中，方法二的代數(shù)推理更具有說服力，而且這個方法可以類推到更復(fù)雜的循環(huán)小數(shù)化分數(shù)的教學(xué)之中。

在小學(xué)階段能夠利用代數(shù)思維進行推理的案例還有很多，這需要教師充分掌握教材的知識脈絡(luò)，在適當(dāng)?shù)臅r機進行代數(shù)推理，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的推理意識。

三、滲透模型思想，提升代數(shù)思維

數(shù)學(xué)的發(fā)展過程就是不斷抽象、概括、模式化的過程，模型思想是數(shù)學(xué)的基本思想方法之一。模型思想指通過建立數(shù)學(xué)模型解決問題的一種思想方法。數(shù)學(xué)模型是通過對具體問題和研究對象的基本屬性、功能和特征進行理解和認識，用簡潔的語言抽象出描述客觀現(xiàn)象的運動變化規(guī)律。數(shù)學(xué)模型具備了原型對象的本質(zhì)屬性，但是不能反映原型的所有方面［5］。比如，“速度×?xí)r間=路程”是用來研究行程問題的數(shù)學(xué)模型。

小學(xué)數(shù)學(xué)教材雖然沒有對模型思想進行明確的定義，但是模型思想無處不在。在小學(xué)數(shù)學(xué)中滲透模型思想，能讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、合作、交流、歸納、符號抽象、代數(shù)推理，建立起具有一般性的數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用模型。通過數(shù)學(xué)建模，讓學(xué)生經(jīng)歷由特殊到一般，再從一般到特殊的過程，體會到代數(shù)思維的一般性和廣泛性，能為學(xué)生使用數(shù)學(xué)的語言表達現(xiàn)實世界奠定必要的基礎(chǔ)。

人教版數(shù)學(xué)教材從五年級起，運用代數(shù)思維進行數(shù)學(xué)建模的案例很多，比如“打電話（如圖5）”“探索圖形（如圖6）”等典型課例。

在作業(yè)設(shè)計中教師要有意識地滲透模型思想，培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維。比如，筆者在作業(yè)設(shè)計中的一些嘗試（見圖7、圖8）。

上面的作業(yè)設(shè)計既突出了對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，又有利于培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)思維和符號意識，增強學(xué)生數(shù)學(xué)建模意識。這些作業(yè)設(shè)計凸顯了代數(shù)思維的一般性和普遍性，通過符號化的推理、建模，能提高學(xué)生的代數(shù)思維能力。

綜上，在小學(xué)階段教師應(yīng)精心培養(yǎng)學(xué)生良好的代數(shù)思維習(xí)慣，讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)與關(guān)系、特殊與一般，洞察并把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。在小學(xué)階段適時培養(yǎng)學(xué)生的代數(shù)思維，是對學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的一種銜接、完善和延展。代數(shù)思維的培養(yǎng)有助于發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)，提升其抽象意識、推理能力和模型意識，從而促進其全面發(fā)展。

參考文獻：

［1］ 王永春. 迎接數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)帶來的挑戰(zhàn)［J］. 小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2021（10）：1.

［2］ 中華人民共和國教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）［M］. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［3］ 孫思雨，許添舒，孔企平. 基于潛在類別分析的小學(xué)生早期代數(shù)思維水平研究［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2022，31（01）：52-58.

［4］ 李星云. 論小學(xué)生代數(shù)思維的培養(yǎng)［J］. 廣西教育，2019（40）：63-66.

［5］ 沈紅萍. 小學(xué)階段數(shù)學(xué)模型思想的培養(yǎng) ——“簡單的周期”教學(xué)與思考［J］. 教育，2022（17）：33-35.