李杲

［摘 要］教材中有大量數(shù)形結(jié)合的身影，通過分析學(xué)生習(xí)題檢測(cè)結(jié)果，結(jié)合調(diào)查與訪談發(fā)現(xiàn)，受傳統(tǒng)教學(xué)觀念與教學(xué)方式的影響，部分教師對(duì)數(shù)形結(jié)合思想沒有足夠的重視，導(dǎo)致學(xué)生經(jīng)驗(yàn)欠缺，運(yùn)用能力不足。結(jié)合實(shí)際情況，建議教師在教學(xué)過程中轉(zhuǎn)變觀念，認(rèn)真研讀課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，采用“以形助數(shù)”“以數(shù)解形”“數(shù)形互助”等學(xué)習(xí)策略，豐富數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)資源。

［關(guān)鍵詞］小學(xué)數(shù)學(xué)； 數(shù)形結(jié)合；調(diào)查；分析；策略

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2023）20-0028-04

一、問題的緣起

在我校五年級(jí)“多邊形的面積”單元的學(xué)生作業(yè)中，一名學(xué)生解答題目 “有一個(gè)直角梯形，它的下底是12厘米，現(xiàn)將上底延長(zhǎng)5厘米，就變成了一個(gè)長(zhǎng)方形，面積增加了15平方厘米，原來這個(gè)直角梯形的面積是多少平方厘米？”的方法讓筆者產(chǎn)生了疑慮。

這道題考查的是學(xué)生是否能運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想畫圖解決問題。可是，這道題目的正確率只有76.31%，且嘗試運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的學(xué)生只占52.63%。這是本班的個(gè)例，還是五年級(jí)學(xué)生的普遍現(xiàn)象？帶著這個(gè)疑問，筆者調(diào)查并統(tǒng)計(jì)了本校五年級(jí)5個(gè)班和另一所學(xué)校五年級(jí)3個(gè)班的學(xué)生答題情況，結(jié)果見表1。

分析發(fā)現(xiàn)，無論是本校還是外校，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的學(xué)生人數(shù)所占比例均不足70%，甚至出現(xiàn)50%的比例。為了更深入地了解學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)的現(xiàn)狀，筆者決定從教材、學(xué)生、教師三方面著手進(jìn)行調(diào)查分析。

二、調(diào)查設(shè)計(jì)與調(diào)查過程

1.對(duì)教材的調(diào)查

數(shù)形結(jié)合思想在教材知識(shí)體系中是如何呈現(xiàn)的？筆者翻閱人教版教材時(shí)發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)“乘法分配律”時(shí)，滲透的重要思想就是數(shù)形結(jié)合思想。教材引導(dǎo)學(xué)生采用不完全歸納法發(fā)現(xiàn)規(guī)律，啟發(fā)學(xué)生用自己喜歡的方式表示規(guī)律，并突出要求“用圖形、字母和其他符號(hào)表示規(guī)律”，針對(duì)a×（b+c）=a×b+a×c這種形式，說一說a和b可以表示什么數(shù)，以促使學(xué)生深入理解分配律的內(nèi)涵?？梢钥闯?，在四、五年級(jí)的教材中，教材編者注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的滲透和應(yīng)用。

2.題組訓(xùn)練跟進(jìn)調(diào)查

在跟進(jìn)調(diào)查中，筆者決定更改題目數(shù)據(jù)，并給出相應(yīng)圖形（如圖1），以檢測(cè)學(xué)生的正確率是否有提高。

檢測(cè)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的正確率大大提高，可見運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想確實(shí)可以幫助學(xué)生提高解決問題的能力。之前答錯(cuò)的大部分學(xué)生在解這題時(shí)都能夠根據(jù)圖來說明思考過程。

3.問卷調(diào)查

問卷內(nèi)容 （學(xué)生版）：

（1）你聽說過數(shù)形結(jié)合思想嗎？如果聽說過，請(qǐng)用你喜歡的方式描述出來。

（2）你的數(shù)學(xué)老師經(jīng)常在教學(xué)中應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想嗎？

（3）你會(huì)主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題嗎？說出你的理由。

對(duì)于第（1）題，有90.5%的學(xué)生表示聽說過數(shù)形結(jié)合思想。其中有11.5%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想是代數(shù)知識(shí)，有22.8%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想是幾何知識(shí)，有39.5%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想既是代數(shù)知識(shí)又是幾何知識(shí)，有11.5%的學(xué)生認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想通過代數(shù)知識(shí)研究幾何知識(shí)和通過圖示來理解數(shù)學(xué)知識(shí)。

對(duì)于第（2）題，有47.2%的學(xué)生表示教師上課時(shí)經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來教學(xué)，有21.5%的學(xué)生表示老師偶爾運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來教學(xué)。

對(duì)于第（3）題，有56.9%的學(xué)生表示自己會(huì)主動(dòng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來學(xué)習(xí)，因?yàn)橥ㄟ^圖示可以提升解決問題的速度；有31.7%的學(xué)生表示自己偶爾會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解題，因?yàn)橛袝r(shí)候畫圖比較麻煩，也不知道該怎么畫出清晰的圖示。

問卷內(nèi)容 （教師版）：

（1）你認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想重要嗎？

（2）教學(xué)中，你經(jīng)常向?qū)W生提及數(shù)形結(jié)合思想嗎？

（3）對(duì)于運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的學(xué)生，你會(huì)怎么做？

（4）人教版教材哪些章節(jié)中出現(xiàn)過“數(shù)形結(jié)合”的模型？（至少5 個(gè)）

對(duì)于第（1）題，100%的教師認(rèn)為數(shù)形結(jié)合思想對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)很重要。

對(duì)于第（2）題，67.1%的教師表示上課時(shí)經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來教學(xué)，32.9%的教師表示偶爾運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來教學(xué)。

對(duì)于第（3）題，32.6%的教師表示會(huì)積極表揚(yáng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來思考的學(xué)生，45.9%的教師表示偶爾會(huì)表揚(yáng)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來思考的學(xué)生。

對(duì)于第（4）題，63.7%的教師能夠說出5個(gè)以上的模型，27.3%的教師能說出10個(gè)以上的模型。

三、原因分析

從學(xué)生、教材、教師三方面的調(diào)查結(jié)果可以看出，促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題，看似簡(jiǎn)單，實(shí)則是一大難題。

首先，如果教師沒有積極轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)就不會(huì)很清晰。其次，對(duì)于數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用方法，如果教師教學(xué)不夠靈活、系統(tǒng)，不知道如何引導(dǎo)學(xué)生，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中就不能體會(huì)到運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的便利，從而喪失積極思考、尋求突破的興趣。

四、教學(xué)建議

1.“以形助數(shù)”，培育沃土

“以形助數(shù)”是指借助圖形的直觀特點(diǎn)，促進(jìn)學(xué)生理解抽象概念的數(shù)、數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，幫助學(xué)生精準(zhǔn)掌握并運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。

（1）借助實(shí)物，感受數(shù)的內(nèi)涵

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想能夠?qū)㈩}目信息轉(zhuǎn)化成對(duì)應(yīng)的圖形或直觀符號(hào)，促進(jìn)學(xué)生建構(gòu)數(shù)與形之間的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生深入思考問題并解決問題，進(jìn)而使學(xué)生歸納出“形”對(duì)“數(shù)”的幫助。

例如，對(duì)于“體積和體積單位”，有些學(xué)生對(duì)體積的概念掌握熟練，卻對(duì)具體實(shí)物的體積大小判斷出現(xiàn)差錯(cuò)，這有可能是因?yàn)榻處熢诮虒W(xué)時(shí)沒有將體積單位和所對(duì)應(yīng)的實(shí)物進(jìn)行聯(lián)系。因此，教師在教學(xué)時(shí)可先通過烏鴉喝水的情境導(dǎo)入，引導(dǎo)學(xué)生在討論和交流中感悟有關(guān)體積的表象；再讓學(xué)生通過觀察、比較實(shí)驗(yàn)過程中的現(xiàn)象，概括體積的概念，并比較不同物體的體積大小；最后引出體積單位的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)長(zhǎng)度單位和面積單位的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行類推，進(jìn)而想到比較體積大小同樣需要一個(gè)統(tǒng)一的體積單位作為標(biāo)準(zhǔn)。此外，教師還可以借助直觀的教具進(jìn)行演示，或利用學(xué)生熟知的物體，引導(dǎo)學(xué)生將體積單位和生活實(shí)物進(jìn)行聯(lián)系（如圖2），讓學(xué)生通過觀察對(duì)比建立清晰的表象。

建構(gòu)完體積單位的模型后，教師讓學(xué)生思考生活中的物品可以用哪些體積單位來度量，并完成練習(xí)（如圖3）。

（2）依托線段圖或?qū)嵨?，?jiǎn)化抽象問題

①借助線段圖理解數(shù)學(xué)問題

線段圖能將抽象的數(shù)量關(guān)系直觀化。在教學(xué)中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生感悟線段的妙用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解決問題的能力。

例如，學(xué)習(xí)“植樹問題”時(shí)，學(xué)生受到負(fù)遷移的影響，解決簡(jiǎn)單問題的時(shí)候更容易出錯(cuò)。

對(duì)于題目“同學(xué)們?cè)谌L(zhǎng)40米的小路一邊上植樹，每隔8米栽一棵（兩端要栽），一共需要栽多少棵樹？”，學(xué)生一看到題目就會(huì)覺得答案是40÷8=5（棵）。顯然，這個(gè)答案是錯(cuò)誤的。此時(shí)，教師要指導(dǎo)學(xué)生畫線段圖（如圖4），把分割的點(diǎn)數(shù)和棵數(shù)進(jìn)行一一對(duì)應(yīng)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩端都栽的情況下，棵數(shù)=間隔數(shù)+1，進(jìn)而延伸一端栽一端不栽和兩端都不栽的情況的規(guī)律，以此豐富“植樹問題”的數(shù)學(xué)模型。

②借助實(shí)物，理解算理和算法

要掌握計(jì)算的知識(shí)與技巧，關(guān)鍵在于建構(gòu)算理和算法模型。

例如，在教學(xué)“兩位數(shù)除以一位數(shù)”時(shí)，對(duì)于48÷3，筆者借助實(shí)物——小棒，使計(jì)算具體化：先在3個(gè)方框中分10根小棒，再把剩下的18根小棒平均分到3個(gè)方框中（如圖5）。

2.“以數(shù)解形”，厚積薄發(fā)

在小學(xué)階段，學(xué)生對(duì)平面圖形的學(xué)習(xí)是建立在實(shí)物之上的，而組合圖形的面積的學(xué)習(xí)又是建立在平面圖形的學(xué)習(xí)之上的。因此，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比、分析、建構(gòu)，可以幫助學(xué)生歸納圖形之間的聯(lián)系。

例如，在回顧多邊形的面積公式時(shí)，教師可引導(dǎo)學(xué)生對(duì)學(xué)過的圖形進(jìn)行歸納，了解它們之間的聯(lián)系，將腦海中的知識(shí)碎片歸整成塊（如圖6）。

當(dāng)學(xué)生掌握了圖形之間的轉(zhuǎn)化之后，便能發(fā)現(xiàn)梯形與平行四邊形和三角形之間的圖形聯(lián)系（如圖7）。

經(jīng)歷這兩個(gè)活動(dòng)后，學(xué)生進(jìn)一步加深了對(duì)圖形面積公式的理解，深化了幾何直觀。

3.“數(shù)形互助”，融會(huì)貫通

（1）挖掘“數(shù)”與“形”內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造圖像

在五年級(jí)的學(xué)習(xí)中，“喝牛奶問題”是一個(gè)典型的數(shù)形結(jié)合例子，對(duì)學(xué)生來說是一個(gè)難點(diǎn)。為突破這個(gè)難點(diǎn)，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在解決問題的過程中畫圖示，建構(gòu)出純牛奶模型，讓圖示發(fā)揮在題意理解、數(shù)量分析和問題解決上的優(yōu)勢(shì)，提升學(xué)生的幾何直觀素養(yǎng)。

教師在教學(xué)中需要突出借助圖示解決問題的策略，通過畫圖（如圖8）幫助學(xué)生把題目信息直觀化、數(shù)量關(guān)系清晰化，從而能結(jié)合分?jǐn)?shù)的意義找到解決問題的方法。

經(jīng)過觀察、分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)每一次喝的牛奶量是上一次剩下的一半。這時(shí)教師可以提問：“你能用一幅圖來表示嗎？”以此引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行遷移思考。學(xué)生可以用一個(gè)正方形表示一杯牛奶，用不同的顏色表示每一次喝的量，再用一個(gè)算式概括出規(guī)律（如圖9）。

（2）借助數(shù)對(duì)，滲透函數(shù)思想

教師要善于從學(xué)生的生活中挖掘其積累的感性經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的同時(shí)借助數(shù)形結(jié)合思想向?qū)W生滲透函數(shù)思想。

例如，“用數(shù)對(duì)確定位置”的一道習(xí)題（如圖10）。

教師要結(jié)合平移知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生思考“圖形平移后，表示頂點(diǎn)位置的數(shù)對(duì)有什么變化”。學(xué)生思考后可以發(fā)現(xiàn)圖形平移引起數(shù)對(duì)變化的規(guī)律。通過圖形變換對(duì)應(yīng)數(shù)對(duì)的變化，學(xué)生建構(gòu)出圖形和數(shù)量間的聯(lián)系，體會(huì)到數(shù)形結(jié)合的思想，也在不知不覺中接觸了函數(shù)思想。

（3）結(jié)合圖示，用“形”的變化體會(huì)“數(shù)”的神奇

折線統(tǒng)計(jì)圖是數(shù)形互助的有力體現(xiàn)。教師要引導(dǎo)學(xué)生觀察表格內(nèi)數(shù)據(jù)的大小、感受圖表上數(shù)據(jù)的變化情況，順勢(shì)而導(dǎo)，引出折線統(tǒng)計(jì)圖。在學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生經(jīng)歷了折線統(tǒng)計(jì)圖的形成過程，體會(huì)到“數(shù)—形—數(shù)”的完整分析過程，從而體會(huì)到數(shù)形結(jié)合看問題的好處。

例如，“統(tǒng)計(jì)”的一道習(xí)題（如圖11）。

面對(duì)這樣一道綜合題，教師可以先讓學(xué)生獨(dú)立完成，引導(dǎo)學(xué)生在描點(diǎn)連線的過程中感悟數(shù)據(jù)與所畫折線圖之間的聯(lián)系，深入思考所畫的折線圖反映的數(shù)據(jù)增減變化情況，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行合理推理。

“數(shù)無形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法并不是多么深?yuàn)W的知識(shí)。在小學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)體系中，只要教師做好教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生就能自覺地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想去解決一些實(shí)際問題，主動(dòng)用數(shù)學(xué)的眼光去認(rèn)識(shí)和處理生活中的事件，感受數(shù)學(xué)的魅力，去欣賞數(shù)學(xué)那片獨(dú)特的風(fēng)景！

［ 參 考 文 獻(xiàn) ］

[1] 田丹妹. 數(shù)形結(jié)合思想方法在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用策略研究：以人教版五年級(jí)為例[D].錦州：渤海大學(xué)，2017.

[2] 王舒瑤.數(shù)形結(jié)合思想在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[D].重慶：西南大學(xué)，2015.