黎陽 彭國慶

［摘 要］圖形與幾何是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中的一個主要內(nèi)容領(lǐng)域。比較2011年版和2022年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中的“圖形與幾何”領(lǐng)域，發(fā)現(xiàn)兩個版本課標的傳統(tǒng)核心內(nèi)容和核心內(nèi)容的育人價值基本不變，但在三個方面有所不同：一是部分課程內(nèi)容的呈現(xiàn)和歸屬不同，凸顯以兒童發(fā)展為本的新課程設(shè)計理念；二是育人目標不同，凸顯新時代數(shù)學(xué)課程的育人導(dǎo)向；三是落實素養(yǎng)目標的教學(xué)方式不同，凸顯新課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化特征。由此獲得三點啟示：一是加強尺規(guī)作圖教學(xué)研究，做好“中小”銜接；二是加強系統(tǒng)性教學(xué)研究，促進知識的理解遷移；三是加強學(xué)科內(nèi)容教學(xué)研究，促進核心素養(yǎng)目標達成。

［關(guān)鍵詞］小學(xué)數(shù)學(xué)課程標準；圖形與幾何；不同版本；比較

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2023）20-0023-05

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》用“圖形與幾何”這一內(nèi)容領(lǐng)域來回應(yīng)數(shù)學(xué)定義，非常精準、恰當(dāng)。因此，“圖形與幾何”成為小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科重要的內(nèi)容領(lǐng)域之一也是理所應(yīng)當(dāng)?shù)摹Α读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》（以下簡稱“2011版課標”）和《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）》（以下簡稱“2022版課標”）中“圖形與幾何”領(lǐng)域之小學(xué)部分的相關(guān)內(nèi)容進行比較研究，有利于一線小學(xué)數(shù)學(xué)教師把握學(xué)科內(nèi)容本質(zhì)，理解相關(guān)內(nèi)容承載的育人價值，科學(xué)施教以實現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)育人目標。

一、兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的基本情況

整理2011版課標和2022版課標中“圖形與幾何”領(lǐng)域的基本情況，見表1、表2。

從表1和表2可以看出，2011版課標中“圖形與幾何”領(lǐng)域每個學(xué)段的4個內(nèi)容主題是一致的。但是，2022版課標的學(xué)段劃分與2011版課標不同，而且2022版課標“圖形與幾何”領(lǐng)域每個學(xué)段的內(nèi)容主題并不完全相同。2022版課標的每個學(xué)段都包含了圖形的認識與測量，并漸進式地安排了圖形的位置與運動內(nèi)容主題?？梢钥闯?，2022版課標中“圖形與幾何”領(lǐng)域的2個內(nèi)容主題是對2011版課標中“圖形與幾何”領(lǐng)域4個內(nèi)容主題的重新優(yōu)化組合。這是因為圖形的測量需要以圖形的認識作為基礎(chǔ)，而認識圖形有利于學(xué)生深入學(xué)習(xí)圖形的測量；同時，圖形運動之后產(chǎn)生新的位置，而圖形要到新的位置必然要經(jīng)過運動。因此，整合后的兩個主題更能體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化特點。

二、兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的相同點

1.傳統(tǒng)核心內(nèi)容基本不變

從表1可以看出，兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的內(nèi)容主題基本一致；從表2可以看出，兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》的主要內(nèi)容或核心內(nèi)容也基本相同。然而，2022版課標中對于“圖形與幾何”領(lǐng)域的傳統(tǒng)核心內(nèi)容進行了科學(xué)合理的保留。例如，2011版課標中圖形的認識包含了對空間和平面圖形的認識，而2022版課標中圖形的認識包含了立體圖形和平面圖形的認識，兩者都包含了平面圖形的認識。2011版課標中空間的認識概念的外延大于立體圖形的認識，但是所表達的基本內(nèi)核則更多地指向了立體圖形的認識。因此，2022版課標把圖形的認識內(nèi)容修改為立體圖形和平面圖形的認識，修改后的概念之間的并列關(guān)系更加精準、科學(xué)。這足以體現(xiàn)2022版課標在傳承和創(chuàng)新的同時更突出了傳統(tǒng)核心內(nèi)容的重要性。

2.傳統(tǒng)核心育人價值不變

“圖形與幾何”領(lǐng)域承載的核心育人價值是空間觀念的培養(yǎng)。無論過去、現(xiàn)在還是將來，這一點都不會改變。2011版課標在課程設(shè)計思路中對空間觀念這一核心詞的定義分為四個方面：抽象、想象、描述、繪制。抽象是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形；想象是指根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體，想象是出物體的方位及其相互之間的位置關(guān)系；描述是指能夠描述圖形的運動和變化；繪制是指能夠依據(jù)語言的描述畫出圖形等。2022版課標在課程目標中就核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)和內(nèi)涵對空間觀念進行了科學(xué)界定：首先指出空間觀念是指對空間物體或圖形的形狀、大小及其位置關(guān)系的認識，而后圍繞三個關(guān)鍵詞開展論述，即抽象、想象、描述。抽象是指能夠根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形；想象是指根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實際物體，想象并表達物體的空間方位及其相互之間的位置關(guān)系；描述是指能夠在感知的基礎(chǔ)上描述圖形的運動和變化規(guī)律。

從上述分析可以看出，兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》都抓住了空間觀念的核心，即抽象、想象和描述，用這三個詞彰顯空間觀念的內(nèi)在和外在表現(xiàn)。但是，兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》對于空間觀念的解釋又略有不同。顯然，2022版課標更準確、科學(xué)地解釋了空間觀念的內(nèi)涵，有利于一線數(shù)學(xué)教師的精準理解。綜合兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》對于空間觀念的內(nèi)涵解釋，正如2022版課標所強調(diào)的“空間觀念有助于理解現(xiàn)實生活中空間物體的形態(tài)與結(jié)構(gòu)”，發(fā)展學(xué)生的空間觀念，有助于學(xué)生空間想象力的發(fā)展和培養(yǎng)。

三、兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的不同點和主要變化

仔細比較兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中“圖形與幾何”領(lǐng)域的課程內(nèi)容、育人價值等方面，發(fā)現(xiàn)其存在一些明顯的不同和變化。

1.部分課程內(nèi)容的呈現(xiàn)和歸屬不同，凸顯以兒童發(fā)展為本的新課程設(shè)計理念

（1）“尺規(guī)作圖”呈現(xiàn)時機和作用不同，實現(xiàn)從操作技能的培養(yǎng)向發(fā)展核心素養(yǎng)能力的轉(zhuǎn)變

2011版課標沒有在小學(xué)階段安排尺規(guī)作圖內(nèi)容，尺規(guī)作圖內(nèi)容全部被安排在第三學(xué)段（7～9年級）的“圖形與幾何”領(lǐng)域。關(guān)于尺規(guī)作圖，2011版課標提出了具體內(nèi)容要求，如能用尺規(guī)完成基本作圖，作一條線段等于已知線段，會利用基本作圖作三角形，等等。而2022版課標對尺規(guī)作圖中的部分內(nèi)容進行了適當(dāng)前置，在課程內(nèi)容的內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求和教學(xué)提示三個方面分別呈現(xiàn)了尺規(guī)作圖的相關(guān)內(nèi)容（見表3）。

從表3可以看出，尺規(guī)作圖第一次呈現(xiàn)時，2022版課標在內(nèi)容要求、學(xué)業(yè)要求和教學(xué)提示三個方面都給予明確的要求和指導(dǎo)。但是，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，尺規(guī)作圖作為周長認識和三角形三邊關(guān)系認識的知識技能基礎(chǔ)，只在教學(xué)提示方面給予指導(dǎo)。由此看出，尺規(guī)作圖對畫給定線段的等長線段的技能學(xué)習(xí)具有重要性。初中部分的尺規(guī)作圖在培養(yǎng)學(xué)生畫圖操作能力方面的作用更強一些。在小學(xué)階段前置尺規(guī)作圖的教學(xué)內(nèi)容，不僅可以培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力，還有兩個方面的顯著作用：一方面，通過尺規(guī)作圖幫助學(xué)生感受兩點確定一條線段的意義，感受尺規(guī)作圖比測量作圖更有優(yōu)越性；另一方面，可以更好地培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

（2）“圖形的位置”部分內(nèi)容所屬領(lǐng)域不同，實現(xiàn)從知識型學(xué)習(xí)向主題式學(xué)習(xí)方式轉(zhuǎn)變

兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中都有圖形的位置相關(guān)內(nèi)容（見表4）。從表4中可以看出，2011版課標“圖形與位置”中有關(guān)方向的內(nèi)容在2022版課標“圖形的位置”內(nèi)容中并沒有呈現(xiàn)。這樣的編排改變了傳統(tǒng)的純數(shù)學(xué)知識性學(xué)習(xí)，而是轉(zhuǎn)向主題活動學(xué)習(xí)，通過學(xué)生的綜合實踐發(fā)展學(xué)生的空間觀念。這樣的調(diào)整強化了課程內(nèi)容的綜合性和實踐性，有利于推動育人方式的變革。

2.課程內(nèi)容承載的育人目標不同，凸顯新時代數(shù)學(xué)課程的育人導(dǎo)向

（1）新課程內(nèi)容轉(zhuǎn)向凸顯度量本質(zhì)，發(fā)展量感

兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》都明確指出，“圖形的測量”是“圖形與幾何”領(lǐng)域中的傳統(tǒng)核心內(nèi)容，但對度量（測量）的本質(zhì)認識卻不一樣。圖形的測量重點是確定圖形的大小，而確定圖形的大小離不開度量單位。因此，度量單位是圖形的測量的最核心概念。度量單位的統(tǒng)一使度量從個別的、特殊的測量活動成為一般化的、可以在更大范圍內(nèi)應(yīng)用和交流的活動的前提。因此，在測量內(nèi)容的設(shè)計和教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷統(tǒng)一度量單位的過程。例如，在測量課桌長度時，可以用書本、文具盒或手指來量，但是度量結(jié)果并不一致，給交流帶來了麻煩。為了交流的便利，就有了統(tǒng)一度量單位的需求。在這樣的實際情境中，學(xué)生能夠感受統(tǒng)一度量單位的意義，并用規(guī)定的度量單位再次進行度量。2011版課標對于上述內(nèi)容也有涉及，但是2022版課標更明確地指出，度量的本質(zhì)就是看圖形所包含的度量單位的個數(shù)。換言之，圖形的大小如長度、面積、體積等都是相應(yīng)度量單位不斷累加的結(jié)果。2022版課標關(guān)于度量本質(zhì)的觀點是圖形測量認識上的一次提升和飛躍。量感是2022版課標中小學(xué)階段數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)目標的表現(xiàn)之一，也是新增的育人目標。量感主要指對事物可測量屬性及大小關(guān)系的直觀感知。在圖形測量內(nèi)容中，幫助學(xué)生通過觀察規(guī)定的度量單位，建立標準度量單位的空間量感，學(xué)會選擇合適的度量單位描述物體長度、面積和體積；通過觀察生活中常見物體大小，產(chǎn)生量感記憶，并把這些常見物體大小作為參照，對其他物體大小進行估測；通過實際測量、估測圖形長度、面積、體積等度量學(xué)習(xí)活動，發(fā)展學(xué)生的量感。

（2）新課程內(nèi)容承載的“推理”素養(yǎng)目標，呈現(xiàn)階段性特點

推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。2011版課標強調(diào)，推理能力的發(fā)展應(yīng)貫穿于整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，注意發(fā)展學(xué)生的合情推理和演繹推理能力，以提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。而2022版課標立足于學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展，并指出數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展具有階段性，小學(xué)階段側(cè)重于對經(jīng)驗的感悟，因此推理意識是小學(xué)階段學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的表現(xiàn)之一，到初中階段才重點發(fā)展學(xué)生的推理能力?？梢钥闯?，兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中有關(guān)推理的育人目標的發(fā)展程度是不同的。推理意識主要指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，而推理能力主要指從一些事實和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力。推理意識是形成推理能力的重要經(jīng)驗基礎(chǔ)。“圖形與幾何”領(lǐng)域中有關(guān)圖形測量內(nèi)容承載了學(xué)生推理素養(yǎng)的培養(yǎng)目標。2011版課標在其設(shè)計理念指導(dǎo)下，從一年級到九年級全部貫穿推理能力培養(yǎng)目標。而2022版課標則強調(diào)結(jié)合圖形測量以及圖形運動等相關(guān)內(nèi)容發(fā)展學(xué)生的推理意識，體現(xiàn)出育人目標階段性和一致性的特點。2022版課標在“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容中6次出現(xiàn)“推理意識”一詞：1次出現(xiàn)在“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容前言中；1次出現(xiàn)在第二學(xué)段教學(xué)提示中；4次出現(xiàn)在第三學(xué)段學(xué)業(yè)要求和教學(xué)提示中。6次出現(xiàn)的“推理意識”分別出現(xiàn)在“圖形的認識與測量”“圖形的位置與運動”主題學(xué)習(xí)中。例如，在推導(dǎo)一些常見圖形周長、面積、體積計算方法過程中形成推理意識；在方格紙上按給定比例畫出簡單圖形放大或縮小后的圖形時形成推理意識?？梢哉f，“圖形與幾何”領(lǐng)域內(nèi)容全面承載了學(xué)生推理素養(yǎng)的培養(yǎng)目標，并循序漸進地促進學(xué)生推理素養(yǎng)的形成和發(fā)展。

（3）新課程內(nèi)容轉(zhuǎn)向多育并舉，體現(xiàn)新課程育人目標導(dǎo)向

2011版課標的課程內(nèi)容更多地體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本身的育人價值，更多地圍繞知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度四個方面確立本學(xué)科育人目標。而2022版課標則在全面落實立德樹人根本任務(wù)的指導(dǎo)思想下，堅持德育為先，提升智育水平的同時，將中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化、國家安全等有機融入課程內(nèi)容中，努力實現(xiàn)五育并舉、全面育人。

一是課程內(nèi)容加強傳統(tǒng)文化的滲透。例如，第一學(xué)段“圖形的認識”的學(xué)業(yè)要求指出“能說出立體圖形中某一面對應(yīng)的平面圖形”，并引入印章蓋印，讓學(xué)生充分感受中國傳統(tǒng)印章文化；在軸對稱圖形教學(xué)中讓學(xué)生欣賞中國剪紙，滲透中華傳統(tǒng)剪紙文化；在“圓”的教學(xué)中講述數(shù)學(xué)家祖沖之的故事，讓學(xué)生了解我國古代數(shù)學(xué)家的杰出貢獻，傳播中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化。

二是在“圖形的位置”內(nèi)容中結(jié)合軍事演練等素材，滲透國防教育。

三是在“圖形與幾何”領(lǐng)域中加強美育。例如，“圖形的位置與運動”前言部分指出“認識平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱特征，體會運動前后圖形變與不變”，引導(dǎo)學(xué)生欣賞自然界美和生活美，感受數(shù)學(xué)美；在具體內(nèi)容要求中再次指出“能借助方格紙設(shè)計簡單圖案，感受數(shù)學(xué)美”等。

可見，2022版課標課程內(nèi)容堅持目標導(dǎo)向，進一步增強數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的思想性和綜合性。

3.落實素養(yǎng)目標的教學(xué)方式不同，凸顯新課程內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化特征

（1）2022版課標突出“圖形與幾何”領(lǐng)域知識之間的內(nèi)在聯(lián)系

馬克思主義哲學(xué)認為世界是普遍聯(lián)系的?！皥D形與幾何”領(lǐng)域知識的內(nèi)在聯(lián)系是緊密的。2022版課標比2011版課標更加突出圖形與幾何知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，具體表現(xiàn)在以下三個方面。

第一個方面，每個內(nèi)容主題的兩個內(nèi)容之間的聯(lián)系是緊密的。圖形的認識是測量的基礎(chǔ)，圖形的測量有助于學(xué)生加深對圖形的認識；圖形的運動會產(chǎn)生新位置，同樣，圖形要到新位置需要進行運動。

第二個方面，圖形之間的聯(lián)系是緊密的。點動成線、線動成面、面動成體，因此點、線、面、體之間不僅有聯(lián)系，而且聯(lián)系還非常緊密?；诖?，2022版課標在第二學(xué)段教學(xué)提示中明確指出：通過觀察長方體外表認識面，通過面的邊緣認識線段，在尺規(guī)作圖中感知線段長度與兩點間距離的關(guān)系；在立體圖形中通過認識立體圖形展開圖，建立立體圖形與展開后平面圖形之間的聯(lián)系。又因為簡單圖形如點、線、角等是復(fù)雜圖形的組成要素，所以加強圖形之間聯(lián)系有助于學(xué)生全面、深入地認識圖形，把握圖形特征。

第三個方面，第三學(xué)段中的“圖形的位置”內(nèi)容要求學(xué)生能用有序數(shù)對表示點的位置，理解有序數(shù)對與方格紙上點的對應(yīng)關(guān)系。教師要引導(dǎo)學(xué)生從生活中的位置表示方法走向數(shù)學(xué)中的位置表示方法，理解坐標意義，并通過觀察和表達圖形運動，體會坐標表達的重要性，為未來學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合奠定基礎(chǔ)。這些都體現(xiàn)了課程內(nèi)容整體性、聯(lián)系性、結(jié)構(gòu)化特征。

（2）2022版課標突出分類是充分認識圖形的重要策略

2011版課標在“圖形的認識”中對于圖形分類并沒有提出具體教學(xué)策略，只是在內(nèi)容要求中指出如“認識等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形”等。而2022版課標提出了比較具體的利于學(xué)生認識圖形的策略——分類。如在第二學(xué)段“三角形和四邊形的認識”中，內(nèi)容要求是能根據(jù)圖形特征對三角形和四邊形進行分類；學(xué)業(yè)要求是能根據(jù)角的特征對三角形進行分類，認識直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形；在教學(xué)提示中指出，啟發(fā)學(xué)生將三角形按照角和邊的特征進行分類，并引導(dǎo)學(xué)生感悟如長方形等四邊形的共性與區(qū)別。學(xué)生通過圖形分類知道分類的作用，并知道制訂分類標準是分類的關(guān)鍵，在分類過程中做到不重復(fù)、不遺漏，并能根據(jù)圖形具體特征給圖形命名，達到深刻認識、理解圖形學(xué)習(xí)的目標。這種給圖形分類的學(xué)習(xí)先后呈現(xiàn)在四邊形和三角形認識中，體現(xiàn)課程內(nèi)容的整體性，便于學(xué)生形成結(jié)構(gòu)性認知。

四、兩個版本《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準》中“圖形與幾何”領(lǐng)域比較研究的啟示

1.加強尺規(guī)作圖教學(xué)研究，做好中小銜接

尺規(guī)作圖是小學(xué)數(shù)學(xué)新增的課程內(nèi)容，應(yīng)該是值得當(dāng)下每個小學(xué)數(shù)學(xué)教師研究的教學(xué)新課題：研究尺規(guī)作圖蘊含的數(shù)學(xué)知識、能力、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；研究尺規(guī)作圖的操作指導(dǎo)技能；研究如何做好尺規(guī)作圖教學(xué)的中小銜接。小學(xué)階段只涉及三次基本尺規(guī)作圖，且內(nèi)容類型不完全相同，有新知學(xué)習(xí)型和應(yīng)用型。因此，對于不同類型的尺規(guī)作圖，教師應(yīng)開展有針對性的教學(xué)研究，以充分提高教學(xué)實效性。

2.加強系統(tǒng)性教學(xué)研究，促進理解遷移

圖形認識和測量相關(guān)內(nèi)容按循序漸進原則編排呈現(xiàn)。這些學(xué)科內(nèi)容本質(zhì)一致，學(xué)習(xí)經(jīng)驗和方法有相同、可遷移之處。如何更好地幫助學(xué)生理解學(xué)科內(nèi)容一致性，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗、形成數(shù)學(xué)思想、實現(xiàn)方法遷移等是擺在一線數(shù)學(xué)教師面前的課題。教師要確立并研究“圖形與幾何”領(lǐng)域中每個主題的種子課，在系統(tǒng)教學(xué)中指導(dǎo)學(xué)生理解內(nèi)容本質(zhì)，幫助學(xué)生形成結(jié)構(gòu)性認知，從而促進學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提高。

3.加強學(xué)科內(nèi)容教學(xué)研究，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)

“圖形與幾何”領(lǐng)域承載的核心素養(yǎng)有空間觀念、量感、推理意識、抽象、應(yīng)用意識等。以“圖形的認識”為例，第一學(xué)段主要研究如何幫助學(xué)生形成初步空間觀念；第二學(xué)段主要研究如何幫助學(xué)生感悟圖形抽象，形成空間觀念和初步幾何直觀；第三學(xué)段主要研究如何幫助學(xué)生形成空間觀念、量感和幾何直觀等核心素養(yǎng)。因此，教師要加強對該領(lǐng)域?qū)W科內(nèi)容的育人價值及其實施策略的研究，以逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

[2] 中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[3] 吳正憲，王彥偉.圖形與幾何若干內(nèi)容分析：《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》解析之八[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2012（Z2）：27-33，45.