徐斌

摘要：?jiǎn)栴}包括“給定、目標(biāo)、障礙”三個(gè)要素，解決問(wèn)題就是從“給定”中獲得解決“目標(biāo)”的路徑，為突破“障礙”鋪路搭橋。文章以“正比例”的教學(xué)為例，在分析學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙的主要原因后，提出了豐富感知體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)量間規(guī)律；動(dòng)態(tài)展示數(shù)據(jù)，體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)變化；歷經(jīng)大膽猜想，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合；利用字母符號(hào)，突破表達(dá)障礙的策略，以幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙，提高學(xué)習(xí)效率。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；學(xué)習(xí)障礙；正比例

新課標(biāo)明確要求教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注學(xué)生思考問(wèn)題的廣度與深度，為思維能力的培養(yǎng)奠定基礎(chǔ)。小學(xué)生具有好奇心重、想象力豐富、求知欲旺、好勝心強(qiáng)、思維發(fā)展無(wú)定勢(shì)等特點(diǎn)，利用一定的教學(xué)手段，結(jié)合學(xué)生的這些特點(diǎn)進(jìn)行教學(xué)，往往能起到事半功倍的效果[1]。但有些教師在教學(xué)過(guò)程中，只將眼光停留在知識(shí)的傳授上，忽視了學(xué)生的真正需求，導(dǎo)致教與學(xué)出現(xiàn)脫節(jié)現(xiàn)象。為此，筆者從教學(xué)實(shí)踐出發(fā)，以“正比例”的教學(xué)為例，從根源上分析學(xué)生產(chǎn)生學(xué)習(xí)障礙的原因，并提出相應(yīng)的應(yīng)對(duì)措施，以幫助學(xué)生突破學(xué)習(xí)障礙、提高學(xué)習(xí)效率。

一、現(xiàn)狀分析

“正比例”的教學(xué)是小學(xué)階段數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的重要內(nèi)容之一，由于概念本身比較抽象，內(nèi)在關(guān)系比較隱晦，學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)，總是難以順利內(nèi)化。因此，本章節(jié)也就成了教學(xué)中的重、難點(diǎn)章節(jié)之一。

教師在授課時(shí)幾乎都選擇圍繞以下三個(gè)問(wèn)題而展開：有哪兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量？哪個(gè)量發(fā)生改變，哪個(gè)量也隨之改變？它們的比值是什么？然而，學(xué)生的思維并不能圍繞這三個(gè)問(wèn)題而有效開發(fā)，從學(xué)生的作業(yè)反饋情況來(lái)看，仍有不少學(xué)生對(duì)正比例的理解處于淺表層面，主要體現(xiàn)在以下幾方面。

（一）對(duì)文字理解不透徹

判斷兩個(gè)量是否為正、反比例時(shí)，若問(wèn)題以表格的方式呈現(xiàn)，學(xué)生基本能正確完成；若問(wèn)題以語(yǔ)言敘述的方式呈現(xiàn)，那么錯(cuò)誤率就非常高。如：已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是固定的，求長(zhǎng)、寬的問(wèn)題；已知三角形的高，求底和面積的問(wèn)題等。還有一些問(wèn)題以解析式的方式呈現(xiàn)，如x-y=0或y=kx，求x、y的關(guān)系等，這些問(wèn)題常常令一些學(xué)生手足無(wú)措。

再如：已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是一定的，判斷寬與面積的比例關(guān)系。學(xué)生的作業(yè)反饋出以下幾種錯(cuò)誤：①長(zhǎng)=面積÷寬，少了“一定”（只關(guān)注到成正比例的兩個(gè)量的關(guān)系，忽略了對(duì)“一定”這個(gè)詞的判斷）；②面積÷長(zhǎng)=寬（一定），或面積（一定）=長(zhǎng)×寬，學(xué)生因弄不清楚常量和變量的實(shí)際意義，無(wú)法理解變量中的“變”。

（二）不會(huì)讀取圖象信息

有些學(xué)生在遇到看圖回答問(wèn)題時(shí)，會(huì)因?yàn)殡y以從圖象上直接獲取有用的信息，而選擇應(yīng)用計(jì)算去獲得相應(yīng)的數(shù)據(jù)。其實(shí)，很多時(shí)候圖象能直接呈現(xiàn)出許多有用的信息，直接從圖象上提取信息，比計(jì)算來(lái)得更加便捷。這就涉及到數(shù)學(xué)學(xué)科中重要的數(shù)形結(jié)合思想，利用其進(jìn)行分析，往往能帶來(lái)事半功倍的解題效果，能夠有效提升學(xué)生的解題能力。

（三）無(wú)法理解量的比例關(guān)系

部分學(xué)生在面對(duì)可以用比例的方法來(lái)解決的問(wèn)題時(shí)，難以判斷兩種量之間存在怎樣的比例關(guān)系，不會(huì)用正、反比例來(lái)分析其中存在的數(shù)量關(guān)系，而選擇方程思想來(lái)列式求解。

如：某村準(zhǔn)備修筑一條長(zhǎng)1.2千米的水渠，開始4天修了400米，若按照這樣的速度繼續(xù)修筑，完成這項(xiàng)工程還需要幾天？請(qǐng)用比例解題。

不少學(xué)生看到本題，首先會(huì)想到設(shè)修完這條水渠共需x天，列出400÷4×x=1200。從學(xué)生的解答來(lái)看，他們將比例與方程混為一談了，對(duì)于比例所涉及到的兩種量的變化規(guī)律并不理解，導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用時(shí)出現(xiàn)這樣的問(wèn)題。

二、原因分析

（一）對(duì)兩種量缺乏感性認(rèn)識(shí)

教材以簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言，高度概括出正比例的概念。雖然簡(jiǎn)潔的文字清楚表達(dá)了概念的本質(zhì)屬性，但對(duì)于小學(xué)生而言，如此抽象的定義并不能讓學(xué)生對(duì)兩種量形成良好的感性認(rèn)識(shí)，也無(wú)法幫助他們科學(xué)地建立知識(shí)結(jié)構(gòu)，更難從本質(zhì)上掌握概念的內(nèi)涵與外延。

教學(xué)實(shí)踐中，有些教師也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)問(wèn)題，便采取了一些應(yīng)對(duì)措施，如定義中提到的“一種量發(fā)生變化，另一種量也隨之發(fā)生改變”，他們便將這句話改編成學(xué)生更容易理解的“一種量變大，另一種量也跟著變大；一種量變小，另一種量也跟著變小”。也有一些教師認(rèn)為定義中的“這兩種量相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值一定”，雖然對(duì)判斷兩種量是否成比例關(guān)系比較便捷，但學(xué)生在建構(gòu)概念表象上，這句話遠(yuǎn)不如“一種量變大或縮小幾倍，另一種量也跟著變大或縮小幾倍”的描述來(lái)得形象具體。

教師在進(jìn)行正比例概念的教學(xué)時(shí)，若照本宣科，不對(duì)高度概括的概念進(jìn)行解釋，從多元化的角度帶領(lǐng)學(xué)生去感知兩種量成比例的特點(diǎn)，那么學(xué)生就難以對(duì)這兩種量的內(nèi)在規(guī)律產(chǎn)生深刻、形象的認(rèn)識(shí)，從而導(dǎo)致建模失敗。

（二）對(duì)兩種量缺乏動(dòng)態(tài)體驗(yàn)

正比例中蘊(yùn)含著函數(shù)思想，它是從事物運(yùn)動(dòng)變化的維度來(lái)探討兩個(gè)變量的關(guān)系，是靜態(tài)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)的過(guò)程，認(rèn)識(shí)上實(shí)現(xiàn)了從常量到變量的轉(zhuǎn)化，思維方式也隨之發(fā)生變化經(jīng)歷了從靜止到運(yùn)動(dòng)、離散到連續(xù)、運(yùn)算到關(guān)系的過(guò)程。

由于小學(xué)生的思維并不成熟，看待問(wèn)題往往是靜止、局部、割裂的狀態(tài)，對(duì)于運(yùn)動(dòng)變化類的問(wèn)題還不能完全理解。因此，列表呈現(xiàn)數(shù)據(jù)的方法是引發(fā)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)變化規(guī)律的好方法，學(xué)生通過(guò)表格數(shù)據(jù)的分析，能對(duì)一些變化情況形成初步判斷。若問(wèn)題以文字表述法呈現(xiàn)，學(xué)生很難建立直觀形象的認(rèn)識(shí)，從而導(dǎo)致解題的失敗。

（三）對(duì)圖象生成缺乏過(guò)程體驗(yàn)

進(jìn)行正比例圖象的教學(xué)時(shí)，學(xué)生對(duì)于橫軸、縱軸的“橫空出世”感到很突然，難以從真正意義上理解兩個(gè)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。如何將離散的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為連續(xù)的圖象，對(duì)學(xué)生的思維有較高要求，教師若在此處只做簡(jiǎn)單處理，很難幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)思維的突破。

三、應(yīng)對(duì)措施

（一）豐富感知體驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)量間規(guī)律

教材中以高度概括的形式呈現(xiàn)出正比例的概念，學(xué)生難以直接掌握其內(nèi)涵。教師若只以個(gè)別事例來(lái)引發(fā)學(xué)生的感知體驗(yàn)，學(xué)生會(huì)因?yàn)閷?duì)這部分知識(shí)感知不充分、缺乏豐富的表象而難以自主抽象出概念，此時(shí)學(xué)生的思維也如同無(wú)本之木，難以實(shí)現(xiàn)自我突破，更無(wú)法發(fā)現(xiàn)兩種量之間所存在的規(guī)律[2]。

鑒于此，一方面，教師可以創(chuàng)設(shè)豐富的正比例情境：①創(chuàng)設(shè)購(gòu)物情境，以豐富學(xué)生的感性認(rèn)知體驗(yàn)，如單價(jià)一定，數(shù)量與總價(jià)成正比例；②創(chuàng)設(shè)工作問(wèn)題情境，如：工效一定，工作時(shí)間與總量成正比例；③算式問(wèn)題情境等。另一方面，教師可以創(chuàng)設(shè)一些非正比例的情境，引發(fā)學(xué)生的對(duì)比，從反面加深學(xué)生對(duì)正比例概念的印象，如人的身高與體重的關(guān)系等。

豐富的情境能有效地深化學(xué)生對(duì)正比例概念表象的認(rèn)識(shí)，為建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)夯實(shí)基礎(chǔ)，實(shí)現(xiàn)概念的清晰化、豐富化，讓學(xué)生從真正意義上感知正比例中兩種量之間所存在的多元化的特性：①兩種有關(guān)聯(lián)的量，一者變化，另一者隨之變化；②一種量變大或變小，另一種量也隨之變大或變小；③一種量放大或縮小幾倍，另一種量也放大或縮小相應(yīng)的倍數(shù)；④兩種量為相除的關(guān)系；⑤兩種量所對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值是固定的。

學(xué)生通過(guò)多角度對(duì)成正比例關(guān)系的兩個(gè)量的變化規(guī)律有了直觀的體驗(yàn)，在大腦中建構(gòu)了豐富的表象，此時(shí)正比例的概念也自然而然地形成。

（二）動(dòng)態(tài)展示數(shù)據(jù)，體驗(yàn)運(yùn)動(dòng)變化

學(xué)生面對(duì)直接呈現(xiàn)的數(shù)據(jù)，很難感知到其中數(shù)量的變化情況，若將問(wèn)題中的數(shù)據(jù)分布進(jìn)行動(dòng)態(tài)化的呈現(xiàn)，讓兩種隱性的動(dòng)態(tài)關(guān)系顯性呈現(xiàn)，往往能取得不錯(cuò)的效果。

以“水的體積隨著水面高度變化而變化”的教學(xué)為例：

1.研究目的：感知在一個(gè)圓柱形的容器中，水的體積與高度這兩個(gè)量之間具有怎樣的聯(lián)系？

2.將50cm3的水倒進(jìn)圓柱形的容器中，記錄下此時(shí)的水高為2cm；將100cm3的水倒進(jìn)該容器內(nèi)，此時(shí)的水面高度是多少？

3.若將150cm3的水倒進(jìn)一個(gè)底面積與原來(lái)容器不一樣的容器內(nèi)，該如何測(cè)量水的高度？（引導(dǎo)學(xué)生感知：需要底面積一樣的圓柱容器，測(cè)量出水位高度才有意義）；

4.#猜想：若將200cm3、250cm3、300cm3的水倒進(jìn)該容器內(nèi)，水位高度分別是多少？

學(xué)生對(duì)以上問(wèn)題逐一分析后，可以列出相應(yīng)的表格（見表1）。

以上數(shù)據(jù)以動(dòng)態(tài)的方式呈現(xiàn)在學(xué)生面前，讓學(xué)生深切體會(huì)到：底面積相等的情況下，當(dāng)水的體積發(fā)生變化，水的高度也會(huì)隨之發(fā)生變化。具有沖突性的情境，促使學(xué)生自主思考出原因，即制約著體積與高兩個(gè)量變化的主要因素是一個(gè)不變的量———底面積。

（三）歷經(jīng)大膽猜想，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合

想要讓研究對(duì)象實(shí)現(xiàn)從有限到無(wú)限、離散到連續(xù)、靜止到動(dòng)態(tài)的演變，猜想是實(shí)現(xiàn)這一切的最佳途徑[3]。當(dāng)學(xué)生展開想象的雙翅，就可借助直觀表象所具備的力量，實(shí)現(xiàn)思維上的重大突破。

同樣以上述“倒水”為例，教師可帶領(lǐng)學(xué)生做如下分析與猜想：

1.若在同一個(gè)容器內(nèi)倒入80cm3的水，水的高度應(yīng)該在什么范圍？

2.若分別將1cm3、25cm3、356cm3的水倒入該容器內(nèi)，水位高度是多少呢？

3.若將不同體積的水倒入無(wú)數(shù)個(gè)相同容器內(nèi)，水位高度會(huì)怎樣？

4.若將這些裝有不同水的容器，按照水量大小進(jìn)行排列，那么容器內(nèi)水位高度會(huì)有什么特征？

5.充分發(fā)揮你的想象，這些容器有很多，且排列很密集，那么水的高度具有怎樣特征？

以上操作過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生充分發(fā)揮自己的想象，對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中的每一步進(jìn)行探討與分析，不僅自主建構(gòu)出橫軸與縱軸，還親歷了圖象的形成過(guò)程，很好地滲透了數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生學(xué)會(huì)從整體出發(fā)，對(duì)數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系有一個(gè)形象性的認(rèn)識(shí)，當(dāng)再次遇到圖象問(wèn)題時(shí)，則能舉一反三地進(jìn)行分析與運(yùn)算。

（四）利用字母符號(hào)，突破表達(dá)障礙

學(xué)生面對(duì)列表中的數(shù)據(jù)（變量），通過(guò)科學(xué)分析，基本能準(zhǔn)確無(wú)誤地判斷出它們之間是否為正比例關(guān)系，但面臨純文字描述或解析式時(shí)，卻錯(cuò)誤百出，甚至有些學(xué)生竟然無(wú)從下手。究其主要原因就在于學(xué)生的思維缺少圖象與數(shù)據(jù)的支撐，與列表發(fā)生脫節(jié)。同時(shí)，有些教師只注重結(jié)論的機(jī)械性記憶，而忽略了兩種量變化的規(guī)律性變化體驗(yàn)，讓學(xué)生無(wú)法清晰地理解正比例的實(shí)質(zhì)。

怎樣將學(xué)生的思維與列表無(wú)縫銜接，讓學(xué)生看到文字描述就能快速在腦海中形成正確認(rèn)識(shí)呢？以“平行四邊形的高不變，面積與底是否為正比例關(guān)系”為例：第一步，提出問(wèn)題，用語(yǔ)言進(jìn)行引導(dǎo)，讓學(xué)生將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為表格；第二步，鼓勵(lì)學(xué)生填表、交流、辨析，讓學(xué)生對(duì)常量與變量形成一定的體驗(yàn)，從而判斷是否為正比例；第三步，引導(dǎo)學(xué)生借助字母來(lái)幫忙，如A1-A6分別代表不同的數(shù)，它們之間的關(guān)系為A1