于勇

編者按

2022年4月，義務(wù)教育課程方案和課程標(biāo)準(zhǔn)發(fā)布，其中的熱詞、關(guān)鍵詞之一便是大概念教學(xué)。大概念教學(xué)是一種教學(xué)方式的變革，體現(xiàn)了課程觀的變化，意味著以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的課程與教學(xué)改革正在發(fā)生。那么，大概念教學(xué)是什么、為什么、怎么做？2022年第22期，就“大概念教學(xué)”我們組織策劃了專題稿件。本期繼續(xù)聚焦“大概念教學(xué)”話題，遴選單元大概念的提取、學(xué)科課堂的問診與矯治實踐樣例。

［摘要］ 以大概念為組織邏輯的單元整體教學(xué)是有效培植、發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的重要抓手與基本路徑。大概念視角下的數(shù)學(xué)單元整體教學(xué)重塑需要立足大概念提取、進階式單元目標(biāo)規(guī)劃、抽象與具體融通互動的認知過程建構(gòu)、評價系統(tǒng)設(shè)計等眾多層面；理解大概念的內(nèi)涵及大概念的提取是關(guān)鍵，也是難點所在；深度研讀課程標(biāo)準(zhǔn)、尋跡核心任務(wù)、追溯認知本原、把握素養(yǎng)旨歸、透析知能目標(biāo)等是提取數(shù)學(xué)單元大概念的一般性策略。

［關(guān)鍵詞］ 小學(xué)數(shù)學(xué)；大概念；內(nèi)涵解析；提取策略；單元整體教學(xué)

核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課堂轉(zhuǎn)型強調(diào)“真實性”學(xué)習(xí)，指向培養(yǎng)學(xué)生解決真實問題的素養(yǎng)與能力，教會學(xué)生“像專家一樣思考”。大概念是素養(yǎng)的內(nèi)核和錨點，只有學(xué)生理解、建構(gòu)起大概念，才能真正形成學(xué)科核心素養(yǎng)，擁有專家思維。當(dāng)下，大概念已被運用于數(shù)學(xué)學(xué)科領(lǐng)域，用來優(yōu)化學(xué)科知識結(jié)構(gòu)達到課程的“少而精”，用來打破學(xué)科壁壘達到跨學(xué)科融合及學(xué)科與生活的聯(lián)通。那么，數(shù)學(xué)大概念具有怎樣的特征？如何提取數(shù)學(xué)單元大概念？解決這些問題對于大概念教學(xué)、建構(gòu)數(shù)學(xué)大概念，進而形成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等意義重大。

一、數(shù)學(xué)大概念的內(nèi)涵解析

教育哲學(xué)及心理學(xué)有關(guān)概念結(jié)構(gòu)與關(guān)系、類型與層次的研究是大概念在教育領(lǐng)域研究的濫觴。對大概念內(nèi)涵的理解可以溯源至布魯納提出的“一般觀念”、懷特海提出的“非惰性觀念”、奧蘇貝爾提出的用來統(tǒng)攝事實性知識的“上位概念”、布魯姆提及的“基本概念”、菲尼克斯提及的“代表性概念”等。但這些觀點多是點狀或碎片化研究的成果，難免缺乏系統(tǒng)性、理論性、實踐性論證，真正對大概念展開系統(tǒng)研究則起源于以格蘭特·威金斯、杰伊·麥克泰格與溫·哈倫等為代表的課程專家和科學(xué)研究領(lǐng)域里的專家。

（一）大概念的內(nèi)涵

“大概念”具有豐富的生活價值與內(nèi)在的可遷移價值，其本質(zhì)是一種意義體結(jié)構(gòu)、概念性工具，是能夠用來統(tǒng)領(lǐng)整合單元零碎、散落的教學(xué)內(nèi)容及由存在邏輯關(guān)系的學(xué)科知識聯(lián)結(jié)而成的結(jié)構(gòu)體系的“內(nèi)核”觀念。

1.“大”為何意。很多教師出于“大”字所具有的體積大、程度深、性質(zhì)重要等表面字義，會把大概念理解為學(xué)科的基礎(chǔ)概念或重要概念，即把大概念狹義理解為學(xué)科中的某一具體概念。威金斯和麥克泰格指出，大概念并非一個包含很多內(nèi)容、龐大的概念，也不是一個基礎(chǔ)概念。相反，大概念是指學(xué)科的核心。這里所說的“核心”是指大概念在知識體系或邏輯關(guān)系中居于上位，可以統(tǒng)攝其下位的概念性知識、事實性知識等，具有很強的遷移價值。在學(xué)科教學(xué)范疇內(nèi)而言，大概念可以聚合、聯(lián)通學(xué)科一定范圍內(nèi)的各種概念，在有效達成學(xué)科內(nèi)知識互聯(lián)互通及學(xué)生深度理解的基礎(chǔ)上，構(gòu)建起包含具體與抽象互動的認知結(jié)構(gòu)，進而促成學(xué)生的高通路遷移。比如，線段的長度、角的角度（弧度）、平面圖形的周長和面積、立體圖形的體積等內(nèi)容，表面上看沒有任何關(guān)聯(lián)，實則它們都是在做“度量”這件事，以度量單位為基礎(chǔ)對量展開研究，長度、角度、面積等實際上都是若干度量單位的累加?！耙詥挝粸榻?gòu)基礎(chǔ)，去進行量的度量”便是這些相對散亂、零碎內(nèi)容的大概念，以此為基礎(chǔ)設(shè)計學(xué)習(xí)活動，會對學(xué)生數(shù)學(xué)建模、形式推理、復(fù)雜交往等持續(xù)發(fā)生作用。

2.為何謂之“大”。因大概念以未來眼光廣泛關(guān)注學(xué)生要面對的真實世界，具有厚重的生活價值，而謂之“大”。核心素養(yǎng)與當(dāng)前極力倡導(dǎo)的深度學(xué)習(xí)兩者的核心與精髓皆指向真實性，也就是能夠?qū)W(xué)校所學(xué)調(diào)用、遷移至現(xiàn)實世界中去解決真實問題的能力。反映專家網(wǎng)狀思維的大概念，既打通學(xué)科內(nèi)和學(xué)科間相互融通的學(xué)習(xí)，還構(gòu)筑了一座由學(xué)校教育通往現(xiàn)實世界的堅固橋梁。另外，因大概念具有超強的邏輯內(nèi)聚力、生長力，而謂之“大”。大概念作為復(fù)雜認知結(jié)構(gòu)體系的核心，發(fā)揮著“概念魔術(shù)貼”的作用，能夠不斷地整合、吸納、組織信息片段，并將之有機匯集至結(jié)構(gòu)體系中。比如，整數(shù)和小數(shù)都是基于十進位值制計數(shù)法，對相同計數(shù)單位進行累加，對不同計數(shù)單位進行組合；分數(shù)則是通過“分”的過程構(gòu)造出更小的單位，然后以之為標(biāo)準(zhǔn)去度量，看有幾個這樣的單位。從這一角度審視數(shù)的概念，整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)便有了一致性，都可看作若干計數(shù)單位的累加，“認數(shù)”是以計數(shù)單位為基礎(chǔ)對量展開研究，也可以歸屬至“度量”這一大概念統(tǒng)領(lǐng)的認知結(jié)構(gòu)體系中。由此可見，“以單位為建構(gòu)基礎(chǔ)，去進行量的度量”這一大概念幾乎可以涵蓋小學(xué)“幾何與圖形”“數(shù)與代數(shù)”兩大領(lǐng)域中大部分的知識與基本技能。此外，大概念也是學(xué)生認知維與技能維的生長點，他們結(jié)合大概念通過自主探究、合作交流等方式習(xí)得的內(nèi)容會遠遠超出教師的預(yù)料，特別是用有著共同屬性的具體實例呈現(xiàn)、表征大概念時，各種類型學(xué)生都能積極、主動地參與其中，他們的情感維得以長足發(fā)展。

3.“概念”指什么?！按蟾拍睢敝小案拍睢币辉~的英文是“idea”，而不是“concept”。故此，崔允漷等學(xué)者將其譯為大觀念。狹義的“概念”的確是大概念常見呈現(xiàn)形式，但絕不是唯一的表現(xiàn)形式。威金斯和麥克泰格認為，大概念可以各種形式體現(xiàn)，如一個詞匯、一個短語、一個句子或一個問題等。比如，“年、月、日”單元的教學(xué)，一方面讓學(xué)生通過對白天與黑夜的往復(fù)交替、月亮圓缺更替、四季變換輪回的周期性理解與刻畫，從中體會日、月（陰歷）、年等時間單位是自然規(guī)律的真實反映；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生了解朱理亞歷、奧古斯都歷等數(shù)學(xué)史料，向?qū)W生直接揭示公歷“月”的時間乃人為規(guī)定，如此才有了大月與小月、平月與閏月之分?；谝陨戏治?，可以把“‘年、月、日是自然性與人為性的統(tǒng)一”作為本單元的大概念，這是一個句子，其下位大概念“周期性輪回”則是一個短語。

（二）數(shù)學(xué)大概念的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)大概念是基于數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)及對核心內(nèi)容的意義構(gòu)建，經(jīng)過長程理解與概括而形成的統(tǒng)領(lǐng)性表達與結(jié)構(gòu)化設(shè)計，是大概念理念在數(shù)學(xué)學(xué)科教育中的綜合運用與實踐落地，是學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)具體與抽象的協(xié)同思維，以及對所學(xué)知識不斷現(xiàn)實化的概念性工具和結(jié)構(gòu)性聚合器。一般來說，數(shù)學(xué)大概念具有以下基本特征：

1.數(shù)學(xué)大概念是理解的錨點，有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。理解就是要像專家那樣思考，編制一幅地圖或一個網(wǎng)絡(luò)，在這幅地圖或這個網(wǎng)絡(luò)中，既有具體案例，也有抽象原理，由此形成包含具體與抽象融通、互動的復(fù)雜認知結(jié)構(gòu)。大概念正是對專家思維的反映，能夠促進學(xué)生基于理解建構(gòu)起層次豐富、聯(lián)結(jié)多樣的認知結(jié)構(gòu)，由此實現(xiàn)高通路遷移，達成學(xué)習(xí)創(chuàng)新。

2.數(shù)學(xué)大概念能夠賦予學(xué)生參與探究的能力。大概念是各領(lǐng)域?qū)＜宜伎己透兄獑栴}的方式，它的意義與價值對于學(xué)習(xí)者來說是晦澀、內(nèi)隱的，甚至有可能會產(chǎn)生誤解。特別是隨著大概念的增“大”與不斷“上位”，其生活性與情境性卻隨之變?nèi)?，變得更不易被理解。這已充分表明，大概念是需要不斷揭示的，只有通過學(xué)習(xí)者的持續(xù)深入探究，才能充分把握這個核心。

3.數(shù)學(xué)大概念具有極大的遷移價值，支持數(shù)學(xué)與其他學(xué)科、學(xué)生生活發(fā)生關(guān)聯(lián)。數(shù)學(xué)大概念將眾多的數(shù)學(xué)事實、生活現(xiàn)象或?qū)嵗?，以及不同層級的概念聚合為知識量少而普適性極強的認識結(jié)構(gòu)整體，學(xué)生理解了大概念，就意味著他們擁有了相應(yīng)的解釋力和遷移力。隨著對大概念的理解揭示及層級構(gòu)建，其將應(yīng)用于跨學(xué)科課程、同一學(xué)科的后續(xù)課程或?qū)W校以外的其他情境中，從而實現(xiàn)廣泛遷移。

二、數(shù)學(xué)單元大概念的一般性提取策略

大概念教學(xué)必須在單元中予以實施和落地。這里的“單元”不是指以專家結(jié)論為內(nèi)在邏輯的內(nèi)容單元，而是指以素養(yǎng)目標(biāo)為邏輯組織起來的意義單元，是對大概念統(tǒng)領(lǐng)下的認知內(nèi)容、有潛在意義的學(xué)習(xí)材料及學(xué)科資源的融合。為此，一些學(xué)者和教師形象地稱其為“大單元”。當(dāng)下，單元整體教學(xué)的難點和焦點是對學(xué)科核心素養(yǎng)的落實與素養(yǎng)目標(biāo)的統(tǒng)整問題，正是大概念的出現(xiàn)才使得這一問題迎刃而解?？梢姡崛〔⒋_定數(shù)學(xué)單元大概念是單元整體教學(xué)設(shè)計與實施推進的關(guān)鍵所在。

（一）基于課標(biāo)解讀，探尋單元大概念

課程標(biāo)準(zhǔn)是國家課程的綱領(lǐng)性文件，是教師課程建構(gòu)、組織教學(xué)、落實學(xué)科育人的行動指南，是對課程內(nèi)容的高度凝練和概括，它面向全體學(xué)生提出了學(xué)習(xí)基本要求。結(jié)合《義務(wù)教育課程方案（2022年版）》，深度研讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》中的“課程性質(zhì)”“課程理念”發(fā)現(xiàn)，核心素養(yǎng)是學(xué)科育人的基本導(dǎo)向，可以從中解析出“設(shè)計體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容”等跨學(xué)科大概念?！罢n程目標(biāo)”是依據(jù)核心素養(yǎng)而細化的素養(yǎng)目標(biāo)，可以從中提煉出學(xué)科大概念，如“模型觀念”“數(shù)據(jù)意識”等。而結(jié)合數(shù)學(xué)教材與教師指導(dǎo)用書等資源，研讀“課程內(nèi)容”“學(xué)業(yè)質(zhì)量”等板塊內(nèi)容，也可以從中提取出領(lǐng)域或單元的大概念，如“運算的一致性”“體會圖形運動前后的變與不變”等。

（二）尋跡核心任務(wù)，概括單元大概念

基于大概念，從宏觀和微觀兩個維度重構(gòu)單元整體教學(xué)目標(biāo)是單元整體教學(xué)設(shè)計與實施的重要環(huán)節(jié)， 其中宏觀維度指向基于“生活價值”對單元整體教學(xué)目標(biāo)做頂層設(shè)計，微觀維度指向單元目標(biāo)在單元組塊、內(nèi)容序列、核心任務(wù)等層面實施落實與達成的預(yù)設(shè)。大概念的理解與建構(gòu)是建立在具體情境、核心問題或核心任務(wù)的基礎(chǔ)上，經(jīng)由抽象與具體聯(lián)通、互動的路徑將認知不斷向上聚攏、融合的過程。換言之，指向問題解決、目標(biāo)達成的核心任務(wù)也有可能就是單元大概念。

比如，蘇教版“方程”單元共包括“用字母表示數(shù)”“簡易方程”兩部分內(nèi)容，前者是后續(xù)認知的基礎(chǔ)，需要將之融入“方程”單元做內(nèi)聯(lián)性思考，其教學(xué)主旨應(yīng)是“引導(dǎo)學(xué)生用字母或代數(shù)式表示特定未知數(shù)”，為列方程解決問題“設(shè)未知數(shù)、表示未知量”夯實基礎(chǔ)。“簡易方程”中的“方程的意義、等式的性質(zhì)、解方程”三塊內(nèi)容共同指向“尋求未知數(shù)”，“尋求未知數(shù)與已知數(shù)間的等量關(guān)系”則是列方程解決問題的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。由此發(fā)現(xiàn)，“方程”單元的教學(xué)主要是圍繞“表示未知數(shù)、尋求未知數(shù)、尋求未知數(shù)與已知數(shù)的相等關(guān)系”這三個核心任務(wù)而展開的。張奠宙先生為凸顯“方程”思想的核心價值與認知本質(zhì)，也對方程做了重新定義：“方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)與已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系?！币虼耍盎谖粗獢?shù)與已知數(shù)的相等關(guān)系，可以尋求未知數(shù)”的大概念，就像是清晰明確的航標(biāo)，引領(lǐng)著教師和學(xué)生不偏不倚地圍繞核心內(nèi)容、關(guān)鍵問題開展相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動。

（三）追溯認知本原，厘清單元大概念

如前所述，由于大概念是專家思維的具體表現(xiàn)，專家思維無疑也是提取單元大概念的重要來源。數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生、內(nèi)涵發(fā)展都有一定的時代背景或歷史根源，大多跟人們的生產(chǎn)實踐與認知需要密切相關(guān)，其間也包含了專家思維。因此，借助包含專家思維的數(shù)學(xué)史料、學(xué)術(shù)著作等資源去追溯數(shù)學(xué)知識的本原，同樣可以從中發(fā)現(xiàn)單元大概念。

比如，“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”單元就可以通過追溯本原的方法提取單元大概念。查閱數(shù)學(xué)史料發(fā)現(xiàn)，除法運算方法多種多樣，最早可以溯源至古埃及的“加倍與取半”算法（如圖1），在計算19÷8時，先是對除數(shù)8加倍或取半，同時對相應(yīng)結(jié)果加倍或取半，直到加倍或取半后的數(shù)字之和等于被除數(shù)19，商則是加倍或取半數(shù)16、2、1對應(yīng)結(jié)果之和，即19÷8=2+1/4+1/8。10世紀(jì)末期，熱貝爾提出的算法（如圖2）與現(xiàn)在

的除法豎式比較接近，計算時把8變成10-2的形式計算，但不是采用最大數(shù)試商，而是取便于計算的數(shù)作商。后經(jīng)過進一步改進，除法豎式計算還出現(xiàn)過如圖3所示的情形，這種算法過程更加直觀、自然，易于理解。

基于上述古代筆算除法方法間的異同比較，可以在更為一般的層面上提取出“兩、三位數(shù)除以一位數(shù)的筆算”的單元大概念，即“計算時，先把被除數(shù)分解成幾個合適的數(shù)，然后分別去除，最后把每次除得的商合并起來”。這與當(dāng)下所倡導(dǎo)的“運算的一致性”極其契合。

（四）把握素養(yǎng)旨歸，提取單元大概念

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是單元課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過學(xué)科學(xué)習(xí)而形成的具有數(shù)學(xué)基本特征的必備品格、關(guān)鍵能力及正確價值觀念，其精髓在于真實性，即學(xué)生在具體的現(xiàn)實生活情境中主動調(diào)動相關(guān)知識與技能，創(chuàng)造性地解決問題的能力。數(shù)學(xué)大概念作為核心素養(yǎng)的內(nèi)核和錨點，它指向教學(xué)核心內(nèi)容、關(guān)鍵問題與統(tǒng)領(lǐng)性任務(wù)，能夠反映學(xué)科本質(zhì)、關(guān)聯(lián)數(shù)學(xué)基本思想與方法。

比如，“面積”單元共包括長方形和正方形的面積、多邊形的面積、圓的面積三部分內(nèi)容，教師可以在正確分析與把握這些教學(xué)內(nèi)容所蘊含的學(xué)科素養(yǎng)、思想與方法基礎(chǔ)上，從中梳理、提取出相應(yīng)的數(shù)學(xué)大概念。長方形與正方形面積的計算方法主要是通過單位面積度量法獲得的，是一種量感的體現(xiàn)；平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式是通過割補法和倍拼法推導(dǎo)出來的；圓的面積計算公式則是通過拼湊法推導(dǎo)出來的。無論是割補法、倍拼法，還是拼湊法，都充分體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”這一基本數(shù)學(xué)思想（如下表）。因此，“面積”單元的教學(xué)除了注重引導(dǎo)學(xué)生掌握平行四邊形等圖形并能正確計算其面積等知識、技能外，更應(yīng)該聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培育與發(fā)展，在面積計算公式推導(dǎo)的過程中滲透數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，由此發(fā)展學(xué)生直觀想象、空間觀念、圖形推理等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?；谶@一角度，就可以選擇“化歸思想”作為“面積”單元的大概念。當(dāng)學(xué)生理解、建構(gòu)起這一大概念后，他們也就基本擁有了自主建構(gòu)和解決真實問題的能力，能夠調(diào)動相應(yīng)的知識與技能，去解決現(xiàn)實生活中有關(guān)圖形特別是不規(guī)則圖形的面積計算問題，從而達到舉一反三的學(xué)習(xí)效果。

（五）透析知能目標(biāo)，提煉單元大概念

固態(tài)的知識與技能、液態(tài)的過程與方法，以及氣態(tài)的情感、態(tài)度與價值觀的“三維”目標(biāo)，為素養(yǎng)目標(biāo)提供了“座駕”。正是由于大概念對三維目標(biāo)實施的建構(gòu)與指向真實性的整合，才形成了素養(yǎng)目標(biāo)的完整結(jié)構(gòu)。若將素養(yǎng)目標(biāo)比作一架飛機，情感維引領(lǐng)著素養(yǎng)發(fā)展的方向，認知維與技能維是兩翼，而大概念是機體，將三個維度整合在一起，才能夠真正成為一種素養(yǎng)?？梢?，知識與技能是以大概念為內(nèi)核，并將素養(yǎng)目標(biāo)有機組成的，通過對數(shù)學(xué)單元各部分內(nèi)容知能目標(biāo)的分析、概括與抽象，也不失為提煉數(shù)學(xué)單元大概念的好辦法。

比如，“整數(shù)乘法”單元就可以基于對各年級不同整數(shù)乘法內(nèi)容知能目標(biāo)的分析與聚焦，提煉出單元大概念。表內(nèi)乘法主要是要求學(xué)生準(zhǔn)確編制、熟練記憶乘法口訣，熟悉口算表內(nèi)乘法，提高口算技能，了解口訣之間的聯(lián)系；兩、三位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘兩位數(shù)和三位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算主要是要求學(xué)生在探究、討論的基礎(chǔ)上，理解筆算算理及多位數(shù)乘法的基本結(jié)構(gòu)，掌握筆算方法，并能進行正確計算。由上述分析可知，“在理解筆算算理、掌握筆算方法的基礎(chǔ)上，能正確進行整數(shù)乘法計算”是貫穿“整數(shù)乘法”單元的知能目標(biāo)，可以將其上升為“整數(shù)乘法是利用拆分與合并，轉(zhuǎn)換成表內(nèi)乘法進行計算，并以十進位值制為依據(jù)用豎式記錄計算過程”的大概念。為使“三位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算教學(xué)能夠?qū)崿F(xiàn)對算理與算法的最大化遷移，“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”筆算應(yīng)側(cè)重于算理與算法的探究，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷格子乘法、面積模型等多種將其轉(zhuǎn)化為表內(nèi)乘法的學(xué)習(xí)活動，在數(shù)形結(jié)合、結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)中深化對“拆分與合并可助益算理和算法的理解”這一理念的表征。這正是對“整數(shù)乘法”單元大概念合理性、普適性的教學(xué)實踐論證。

總之，在厘清大概念基本內(nèi)涵的基礎(chǔ)上，提取數(shù)學(xué)單元大概念是組織落實單元整體教學(xué)的關(guān)鍵一環(huán)。但數(shù)學(xué)單元大概念的提取路徑并不僅限于此，我們將繼續(xù)探索與優(yōu)化提取策略，深化大概念教學(xué)研究。

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