摘 要：中考總復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，其目的是讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中，對(duì)整個(gè)初中所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系.文章以二輪復(fù)習(xí)專題課“圓中銳角三角函數(shù)問(wèn)題”為例，闡述如何在教學(xué)實(shí)踐中全面提高學(xué)生的核心素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光，提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維，強(qiáng)化用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的能力.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；總復(fù)習(xí)；知識(shí)體系；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G632?? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A?? 文章編號(hào)：1008-0333（2023）20-0041-03

收稿日期：2023-04-15

作者簡(jiǎn)介：夏鳴（1981.10-），男，江蘇省常熟人，本科，中學(xué)一級(jí)教師，從事

初中數(shù)學(xué)教學(xué)研究.[FQ）]

中考總復(fù)習(xí)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要環(huán)節(jié)，與新授課的學(xué)習(xí)有很大的區(qū)別.在中考復(fù)習(xí)階段，學(xué)生已基本掌握了基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，初步具備了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)體系和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，總復(fù)習(xí)是學(xué)生對(duì)初中數(shù)學(xué)知識(shí)的再一次深入學(xué)習(xí).復(fù)習(xí)的目的是讓學(xué)生在復(fù)習(xí)過(guò)程中，對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行整合，優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系，并且在復(fù)習(xí)過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界的能力，力求提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).本文以二輪復(fù)習(xí)專題課“圓中銳角三角函數(shù)問(wèn)題”為例，談?wù)勗诮虒W(xué)過(guò)程中如何優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)中，一輪復(fù)習(xí)通常按教材順序?qū)Τ踔须A段的主要知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行縱向梳理，重點(diǎn)在于整合教材，幫助學(xué)生構(gòu)建完整的初中數(shù)學(xué)知識(shí)體系.二輪復(fù)習(xí)通常以專題復(fù)習(xí)為主，立足課本知識(shí)，結(jié)合中考試題，注重知識(shí)結(jié)合，所以二輪復(fù)習(xí)的重點(diǎn)應(yīng)發(fā)展學(xué)生思維能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，從而達(dá)到優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.“圓中銳角三角函數(shù)問(wèn)題”是兩種知識(shí)相結(jié)合的一節(jié)專題課，以圓為載體，研究銳角三角形函數(shù)問(wèn)題，本節(jié)課從三個(gè)基礎(chǔ)題引入.

1 知識(shí)激活，梳理數(shù)學(xué)知識(shí)體系問(wèn)題1 如圖1，⊙O的直徑AB為10，AC為弦，且AC=8，則sin∠BAC=_______；

圖1 問(wèn)題1圖圖2 問(wèn)題2圖?? 圖3 問(wèn)題3圖

問(wèn)題2 圖2是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C、D，則tan∠ADC=_______；

問(wèn)題3 如圖3，AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切，切點(diǎn)為B，BC=6，若cosA=45，則直徑AB=_______，連接BD，則BD=_______.

以三道圓中的銳角三角函數(shù)問(wèn)題為例，引出本節(jié)課所研究的復(fù)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)給出了三個(gè)基本圖形，第1題構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角是直角，即構(gòu)造了直角三角形；第2題不僅需要構(gòu)造直角三角形，同時(shí)還需將所求角轉(zhuǎn)換成直角三角形中與之相等的圓周角;第3題本身就是在一個(gè)直角三角形中，只是已知銳角三角函數(shù)值，求線段長(zhǎng)度，除了已知元素和求解元素不同，其基本思想相同，同時(shí)可稍作延伸，求線段BD長(zhǎng)度的方法不唯一.

由此可以發(fā)現(xiàn)，在本節(jié)課中學(xué)習(xí)，學(xué)生需激活并梳理圓與銳角三角函數(shù)兩個(gè)知識(shí)體系，但其實(shí)質(zhì)是在圓中找到直角三角形這一基本圖形.圓作為一種比較特殊的圖形，在圓中比較易于構(gòu)造直角三角形和轉(zhuǎn)換相等的角.在初中階段，要運(yùn)用銳角三角函數(shù)解決問(wèn)題，必須將銳角置于直角三角形中.基于此，本節(jié)課的基本思想是構(gòu)造和轉(zhuǎn)換，基本圖形是直角三角形.

2 知識(shí)運(yùn)用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)眼光

例1 已知，如圖4，⊙O是△ABC的外接圓，BC=6，tan∠BAC=34，求⊙O的直徑.

圖4 例1題圖

例1作為知識(shí)運(yùn)用，是知識(shí)激活的延伸，是對(duì)基本思想和基本圖形的鞏固，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)基本思想是構(gòu)造和轉(zhuǎn)換，即既要構(gòu)造直角三角形，又要將已知銳角∠BAC轉(zhuǎn)換到所構(gòu)造的直角三角形中，基本圖形即為構(gòu)造的直角三角形.

例1的目的是培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，即培養(yǎng)學(xué)生抽象能力、幾何直觀、空間觀念和創(chuàng)新意識(shí)，從而使學(xué)生能在復(fù)雜圖形中構(gòu)造出基本圖形，進(jìn)而運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題.初步構(gòu)建解決問(wèn)題的基本數(shù)學(xué)知識(shí)體系，整合已有知識(shí)體系，如圖5所示.

圖5 圖中銳角三角函數(shù)知識(shí)體系

3 思維拓展，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維

例2 如圖6，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線，切點(diǎn)為E，DE∥BC，連接BE，CE，AE.

（1）求證：△ACE∽△EBD；

（2）若AC=9，BD=4，求BE的長(zhǎng)度；

（3）在（2）的條件下，若sin∠BAE=35，求⊙O的半徑.

圖6 例2題圖

例2是例1的提升，與例1相比，其綜合性更強(qiáng)，需要用到更多的知識(shí)，同時(shí)也不能從題設(shè)條件直接找到解決問(wèn)題的方法，只能從已知題設(shè)入手，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，即培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力、推理意識(shí)和推理能力，通過(guò)題設(shè)條件進(jìn)行有效推理，從單個(gè)條件這一“條件點(diǎn)”，推理得出結(jié)論形成“結(jié)論線”.

圓DE是⊙O的切線連接OE則OE⊥DE

四邊形ABEC內(nèi)接于⊙O∠DBE=∠ACE

兩直線平行同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等

直角三角形等積法勾股定理銳角三角函數(shù)

圖7 結(jié)論線圖

如圖7所示，例2共有4個(gè)條件：①DE是⊙O的切線；②DE∥BC；由于圓的特殊性，還有2個(gè)隱藏條件：③四邊形ABEC內(nèi)接于⊙O；④同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等.由條件可知，解決本題主要用到三個(gè)知識(shí)：圓、平行線、直角三角形.第（1）問(wèn)證三角形相似，涉及相似三角形知識(shí)，需找角相等或邊成比例，上述結(jié)論中角相等較多而沒(méi)有對(duì)應(yīng)邊成比例，因此必然找兩角對(duì)應(yīng)相等，得到兩三角形相似；第（2）問(wèn)是第一問(wèn)的延伸，由相似三角形得到比例關(guān)系即可，因此關(guān)鍵即找到BE與CE關(guān)系，從上面結(jié)論來(lái)看，必然由切線這一條件入手；第（3）問(wèn)是例1的延伸，易于解答.

由于單個(gè)條件是孤立的，通過(guò)推理得到“結(jié)論線”，再將多個(gè)結(jié)論有效串聯(lián)起來(lái)，這種串聯(lián)不是簡(jiǎn)單地堆砌，需要圍繞同一目標(biāo)，形成解決問(wèn)題的基本知識(shí)體系.學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中，形成“點(diǎn)→線→面”的數(shù)學(xué)思維模式，構(gòu)建“知識(shí)面”，初步形成解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，并在解決問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)一步整合數(shù)學(xué)知識(shí)體系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，提高解題能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4 綜合應(yīng)用，強(qiáng)化數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)能力例3 如圖

8，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點(diǎn)，BC與AD、OD分別交于點(diǎn)E，F(xiàn).

圖8 例3題圖

（1）求證：DO∥AC；

（2）求證：DE·DA=DC2；

（3）若tan∠CAD=12，求sin∠CDA的值.

本題是2019年蘇州中考第26題，主要涉及圓、平行線、相似三角形、銳角三角函數(shù)、勾股定理、二次根式等知識(shí)，涵蓋了初中三年所學(xué)

數(shù)學(xué)知識(shí)，其綜合性較強(qiáng)，限于篇幅，求解過(guò)程從略.

本題是一道以圓為基本圖形的綜合題，題目給出的題設(shè)條件也很少，只有2個(gè)，即①AB為⊙O的直徑，②AB為⊙O的直徑.學(xué)生只能從這兩個(gè)條件即兩個(gè)“點(diǎn)”出發(fā)，進(jìn)行推理分析形成“線”，得到更多信息，前兩問(wèn)難度較低，基本上由“點(diǎn)”到“線”即可解決問(wèn)題.第（3）問(wèn)已知圓中銳角三角函數(shù)值，求圓中另一個(gè)角的三角函數(shù)值，方法也較多，但實(shí)質(zhì)還是要將銳角放到直角三角形中才能解決.因此，只要緊抓本節(jié)課的主題：解決圓中銳角三角函數(shù)問(wèn)題的基本思想是①構(gòu)造直角三角形，②將所求角轉(zhuǎn)換成與之相等的其他角，甚至是這兩種思想相結(jié)合.同時(shí)，在解決問(wèn)題的過(guò)程中可以發(fā)現(xiàn)，直角三角形中線段長(zhǎng)度都是未知的，不方便求解，所以需要設(shè)線段長(zhǎng)度才能解決問(wèn)題.由此可以發(fā)現(xiàn)，將“線”串聯(lián)成“面”的過(guò)程中，也需要一些基本圖形、基本思想方法甚至基本運(yùn)算方法等“粘合劑”，從而更好地優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系，提升解題能力.

在教學(xué)過(guò)程中，教師不僅可引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納基本數(shù)學(xué)圖形、基本數(shù)學(xué)方法等，也可以將思維圖形化，利用數(shù)字和圖形的直觀性，

將數(shù)學(xué)知識(shí)直觀地展現(xiàn)在學(xué)生眼前，這樣更有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)、理解和記憶.數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)學(xué)科，是由許多單獨(dú)的知識(shí)點(diǎn)系統(tǒng)化整合得到的數(shù)學(xué)知識(shí)體系.在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

數(shù)學(xué)知識(shí)體系不僅包括數(shù)學(xué)知識(shí)，還應(yīng)將基本數(shù)學(xué)思想體系、常用數(shù)學(xué)方法體系、數(shù)學(xué)基本圖形體系等納入整個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)體系，從而優(yōu)化數(shù)學(xué)知識(shí)體系.

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成和發(fā)展的，不同學(xué)段發(fā)展水平不同.教師應(yīng)在每一節(jié)數(shù)學(xué)課的教學(xué)中，逐步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)眼光，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，讓學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，從而達(dá)到提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目標(biāo).數(shù)學(xué)知識(shí)體系的構(gòu)建和學(xué)生核心素養(yǎng)的形成都需要經(jīng)過(guò)漫長(zhǎng)的過(guò)程，學(xué)生具備了一定的數(shù)學(xué)知識(shí)體系和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)以后，還需進(jìn)一步進(jìn)行學(xué)科內(nèi)部的融合，甚至是跨學(xué)科的融合，因此學(xué)生還需不斷地學(xué)習(xí)，進(jìn)一步優(yōu)化知識(shí)體系，提升核心素養(yǎng).

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［責(zé)任編輯：李 璟］