孫強(qiáng) 章建榮

摘要：文章以“古典概型”的教學(xué)為例，展示課堂活動(dòng)為主線的探究式教學(xué)，促使學(xué)生將生活經(jīng)驗(yàn)與數(shù)學(xué)問題相結(jié)合，深化概念的形成過程。同時(shí)，情境引入自然，可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的課堂參與率，幫助學(xué)生積累解決數(shù)學(xué)問題的經(jīng)驗(yàn)。

關(guān)鍵詞：課堂活動(dòng)；古典概型；探究式教學(xué)

古典概型的概率計(jì)算公式是高中數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要基礎(chǔ)，不僅能夠幫助學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，還能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力、數(shù)據(jù)處理能力。然而，由于缺乏對(duì)公式推導(dǎo)探究的重視，許多公開數(shù)學(xué)課程無法充分展示出公式的生成過程，從而影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。不僅如此，在“古典概型”教學(xué)中，有些教師只關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)公式的使用情況，這種做法不僅影響了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維發(fā)展，還無法體現(xiàn)和落實(shí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。

針對(duì)上述問題，筆者將通過展示課堂設(shè)計(jì)片段，以及具體的問題設(shè)計(jì)，闡述學(xué)生怎樣在課堂中把握知識(shí)實(shí)質(zhì)。同時(shí)，筆者以課堂教學(xué)活動(dòng)為主線，引領(lǐng)學(xué)生探究古典概型的定義，幫助學(xué)生體會(huì)由特殊到一般的思維過程，并采用課堂活動(dòng)為主線的教學(xué)模式，促使學(xué)生積極參與其中，以提高學(xué)生的認(rèn)知水平，從而打造高效的數(shù)學(xué)課堂。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

“隨機(jī)事件及其概率”是北師大版高中數(shù)學(xué)必修一第七章“概率”的第二節(jié)內(nèi)容，它既是之前隨機(jī)事件的延續(xù)，又是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一個(gè)概率模型，對(duì)學(xué)生今后的概率學(xué)習(xí)具有指導(dǎo)意義?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》要求，學(xué)生結(jié)合具體實(shí)例，理解古典概型，能計(jì)算古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率；通過實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則。因此，本節(jié)課的主要教學(xué)任務(wù)是了解古典概型中簡單隨機(jī)事件的概率計(jì)算，以及通過古典概型對(duì)概率的實(shí)質(zhì)有一個(gè)深入的了解，進(jìn)一步感受統(tǒng)計(jì)學(xué)的思維方式，為后續(xù)的學(xué)習(xí)作鋪墊。

二、學(xué)情分析

學(xué)生在之前已經(jīng)學(xué)過隨機(jī)現(xiàn)象與樣本空間，對(duì)隨機(jī)事件以及頻率與概率的關(guān)系也有一定的了解。學(xué)生能利用生活經(jīng)驗(yàn)計(jì)算事件的概率，但是這種對(duì)概率的計(jì)算認(rèn)知僅僅停留在生活的經(jīng)驗(yàn)總結(jié)上。而通過生活經(jīng)驗(yàn)得出的概率是否正確，具體應(yīng)該如何計(jì)算概率，學(xué)生還不清楚。因此，本節(jié)課應(yīng)該從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，總結(jié)生活中的經(jīng)驗(yàn)，得出古典概型的概念，進(jìn)而總結(jié)出古典概型的概率計(jì)算公式。值得注意的是，這個(gè)方法對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象能力的要求較高，所以教師需要多加引導(dǎo)學(xué)生。

三、教學(xué)目標(biāo)

本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)設(shè)置如下：①結(jié)合實(shí)例，進(jìn)一步了解隨機(jī)事件、樣本空間和樣本點(diǎn)的概念。②通過一系列活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)古典概型的概念以及古典概型的概率計(jì)算公式。③理解古典概型的兩大特征，明確什么樣的試驗(yàn)是古典概型，什么時(shí)候可以使用古典概型的概率計(jì)算公式來計(jì)算概率，同時(shí)獲得提高數(shù)學(xué)抽象能力的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)

（一）創(chuàng)設(shè)情景，溫故知新

活動(dòng)1：班上有36名學(xué)生，筆者將所有學(xué)生分為6組，每組6名學(xué)生，然后拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，選出一個(gè)學(xué)習(xí)小組。

在活動(dòng)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：①該試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)多少種可能結(jié)果？②某小組被選中的可能性有多大？

設(shè)計(jì)意圖：通過活動(dòng)1回顧上節(jié)課學(xué)習(xí)的樣本空間和樣本點(diǎn)等知識(shí)，讓學(xué)生獨(dú)立寫出樣本空間，并在參與活動(dòng)后，可以直觀地感受樣本點(diǎn)發(fā)生可能性相等的樣本空間。筆者從生活實(shí)際經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生感受樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性，能為后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。

（二）活動(dòng)對(duì)照，比較異同

活動(dòng)2：抽獎(jiǎng)箱中有兩張獎(jiǎng)券，一張中獎(jiǎng)，一張不中獎(jiǎng)，從中抽取一張獎(jiǎng)券。接著添加一張抽獎(jiǎng)券，抽獎(jiǎng)箱中現(xiàn)有三張獎(jiǎng)券，兩張中獎(jiǎng)，一張不中獎(jiǎng)，從中抽取一張獎(jiǎng)券。

在活動(dòng)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：①兩個(gè)試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)多少種可能的結(jié)果？②兩個(gè)試驗(yàn)的樣本空間是什么？③兩次抽獎(jiǎng)的結(jié)果為中獎(jiǎng)的可能性有多大？

部分學(xué)生會(huì)認(rèn)為，第一次和第二次的試驗(yàn)結(jié)果均為中獎(jiǎng)與不中獎(jiǎng)兩個(gè)可能的結(jié)果，但是由于中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)券數(shù)量變化，第二次中獎(jiǎng)與不中獎(jiǎng)兩種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等，所以筆者引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建試驗(yàn)樣本空間中樣本點(diǎn)發(fā)生可能性相等的樣本空間。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生結(jié)合生活中的經(jīng)驗(yàn)來思考，通過兩次活動(dòng)的差異進(jìn)行辨析，從而自然過渡到如何構(gòu)建樣本點(diǎn)發(fā)生可能性相等的樣本空間，并引出古典概型的概念。

（三）總結(jié)歸納，探究新知

活動(dòng)3：觀察活動(dòng)中的試驗(yàn)，大家能發(fā)現(xiàn)它們有哪些共同點(diǎn)？

在活動(dòng)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生小組進(jìn)行討論，總結(jié)出上述試驗(yàn)中的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，進(jìn)而總結(jié)出古典概型的兩大特征為有限性與等可能性。之后，筆者讓學(xué)生辨析：①向一條線段內(nèi)隨機(jī)投射一個(gè)點(diǎn)，觀察點(diǎn)落在線段上的不同位置，你認(rèn)為這個(gè)是古典概型嗎？為什么？②如果隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)，命中9環(huán)……命中1環(huán)和脫靶。你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？

設(shè)計(jì)意圖：筆者通過前面活動(dòng)的鋪墊，讓學(xué)生對(duì)比活動(dòng)中試驗(yàn)的相同點(diǎn)，歸納總結(jié)出古典概型的兩大特點(diǎn)，進(jìn)而總結(jié)出古典概型的定義，并在歸納總結(jié)的過程中體會(huì)從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想。在學(xué)習(xí)完古典概型的定義之后，筆者通過兩個(gè)辨析，深化學(xué)生對(duì)古典概型定義的理解。

活動(dòng)4：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“骰子點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”為事件A，事件A發(fā)生的可能性是多少？

在活動(dòng)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：①該試驗(yàn)的樣本空間包含多少個(gè)樣本點(diǎn)？②事件A包含多少個(gè)樣本點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生容易通過生活中的經(jīng)驗(yàn)得到問題的正確答案，但是無法闡述計(jì)算原理。因此，筆者通過兩個(gè)追問，讓學(xué)生感知事件發(fā)生的可能性大小與樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，為歸納古典概型的計(jì)算公式提供實(shí)例背景。同時(shí)，筆者通過問題引出概率的概念，并在實(shí)例中導(dǎo)出概念，讓學(xué)生對(duì)概念的理解更加深刻。

活動(dòng)5：同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（編號(hào)為1和2），設(shè)事件A為“選出的成員號(hào)和組號(hào)相同”，事件A發(fā)生的概率是多少？

在活動(dòng)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：①該試驗(yàn)的樣本空間包含多少個(gè)樣本點(diǎn)？②事件A與事件B分別包含多少個(gè)樣本點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：筆者讓學(xué)生從特殊問題入手，引導(dǎo)學(xué)生觀察并找出這些試驗(yàn)樣本空間所具有的共性，為歸納古典概型的計(jì)算公式提供豐富的實(shí)例背景。通過計(jì)算試驗(yàn)中隨機(jī)事件的概率，學(xué)生會(huì)思考如何計(jì)算古典概型中隨機(jī)事件的概率，再結(jié)合事件發(fā)生的概率與樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，以及事件包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，自然得出古典概型的概率計(jì)算公式。

（四）概念辨析，深化理解

活動(dòng)6：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子（編號(hào)為1和2），記事件A為“選出的成員號(hào)和組號(hào)之和是5”，如果以兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和作為樣本空間，則“點(diǎn)數(shù)之和為5”一共有11個(gè)樣本點(diǎn)。這種解法對(duì)不對(duì)？

在活動(dòng)過程中，筆者引導(dǎo)學(xué)生得出利用古典概型概率計(jì)算公式的前提是，試驗(yàn)的樣本空間必須滿足等可能性，所以不能使用古典概型概率計(jì)算公式進(jìn)行求解。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生通過前面的實(shí)例，列出滿足等可能性的樣本空間，求解出正確的答案。

設(shè)計(jì)意圖：古典概型的概率計(jì)算公式必須在樣本空間滿足有限性與等可能性時(shí)才能使用，而等可能性辨析是學(xué)生最容易出現(xiàn)問題的地方。因此，筆者通過具體實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生重視對(duì)樣本點(diǎn)等可能性的判斷，深化對(duì)古典概型概念的理解。同時(shí)，筆者提醒學(xué)生解題步驟：先設(shè)所求事件為事件A，再寫出符合古典概型特征的樣本空間，之后得出樣本空間中樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)以及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，最后得出事件A發(fā)生的概率。

（五）應(yīng)用新知，獲得經(jīng)驗(yàn)

活動(dòng)7：已知袋中有白球3個(gè)，黑球2個(gè)，這5個(gè)球除顏色外完全相同，從中不放回地摸取2個(gè)，每次摸1個(gè)，觀察摸出球的情況，求下列問題：①取到的兩個(gè)球都是白球的概率是多少？②取到的兩個(gè)球顏色相同的概率是多少？

設(shè)計(jì)意圖：筆者通過實(shí)例進(jìn)一步鞏固古典概型的概率計(jì)算公式的使用，以及等可能性辨析，從而在實(shí)際應(yīng)用中深化學(xué)生對(duì)公式和概念的理解。

（六）課堂小結(jié)，總結(jié)經(jīng)驗(yàn)

通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生是否明白了什么是古典概型？古典概型的兩大特征是什么呢？古典概型的概率計(jì)算公式是怎樣的？在使用古典概型概率計(jì)算公式時(shí)要注意什么？

五、實(shí)踐反思

在古典概型課堂設(shè)計(jì)與教學(xué)中，筆者以有序的活動(dòng)過程為中心，以問題串解決為牽引，以自主探究、自主思考為平臺(tái)，構(gòu)建生動(dòng)活潑的高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)。

課堂教學(xué)過程的自然展開，離不開精心準(zhǔn)備的教學(xué)設(shè)計(jì)。概率這一章節(jié)教學(xué)內(nèi)容與人們的日常生活息息相關(guān)，要想完全講述清楚，離不開生活經(jīng)驗(yàn)的指導(dǎo)，而課堂活動(dòng)就是將生活經(jīng)驗(yàn)搬到課堂上的有效方法。因此，教師要讓學(xué)生在活動(dòng)中感受到數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)根據(jù)與實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，將數(shù)學(xué)概念理解得更透徹，讓原本抽象的概念在活動(dòng)的牽引下變得形象立體。

本節(jié)課從校園生活中的分組出發(fā)，學(xué)生從熟悉的情景里復(fù)習(xí)上節(jié)課所學(xué)知識(shí)。接著，筆者保持情境不變，繼續(xù)深化活動(dòng)，自然引出古典概型的概念以及古典概型的兩大特征，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的密不可分。不僅如此，筆者以活動(dòng)為串聯(lián)，在一個(gè)情境中不斷深挖，讓學(xué)生沉浸式探索，同時(shí)將復(fù)雜的問題分解成幾個(gè)簡單的、易于處理的問題，使學(xué)生能夠有效解決問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]范世祥，胡浩.數(shù)學(xué)教學(xué)，因自然而美好：以“任意角”的設(shè)計(jì)與教學(xué)為例[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2020（6）.

[2]王春艷.新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)化的實(shí)踐與思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2022（21）.

[3]蔡蕾.聚焦核心素養(yǎng)的“主題—單元”教學(xué)設(shè)計(jì)探究：以“古典概型”為例[J].中小學(xué)數(shù)學(xué)（高中版），2021（12）.

[4]劉文麗.淺析高中數(shù)學(xué)概念課教學(xué)：以《古典概型》課為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2021（7）.

[5]徐咪咪.新課標(biāo)視角下概率的教學(xué)：以“古典概型”為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（12）.

[6]王志國.高中數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)支點(diǎn)的多元探尋[J].中學(xué)課程資源，2022（12）.

基金項(xiàng)目：江西省教育科學(xué) “十四五”規(guī)劃2022年度課題“高中數(shù)學(xué)‘一課四研教研范式的研究”的研究成果，課題編號(hào)：22PTZD035。

（作者單位：孫強(qiáng) 江西省南昌大學(xué)附屬中學(xué)；章建榮 江西省南昌市鐵路第一中學(xué)）