［摘? 要］ 以學(xué)生發(fā)展為本，以建構(gòu)線段法求最值活動為載體，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)方法等數(shù)學(xué)工具歸納出純關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，體會數(shù)學(xué)建模思想，深諳數(shù)學(xué)建模活動內(nèi)涵，養(yǎng)成建模習(xí)慣，形成創(chuàng)造性思維，釋放學(xué)習(xí)潛力，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)建模；線段法；最值問題

基金項(xiàng)目：福建省教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度教改專項(xiàng)課題“基于教、學(xué)、評一致性的中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)踐研究”（Fjjgzx21-221）.

作者簡介：王金水（1970—），中學(xué)高級教師，廈門市專家型教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)研究工作.

在減負(fù)增效、提倡個(gè)性、著重實(shí)用的今天，數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值、數(shù)學(xué)建模能力越來越受到重視. 數(shù)學(xué)建模將某一復(fù)雜的實(shí)際問題，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法描述、抽象、簡化，建立數(shù)量關(guān)系或空間關(guān)系，形成結(jié)構(gòu)模型，在模型求解中不斷反復(fù)驗(yàn)證完善，從而解決該類問題.

數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)就是以問題意識為引領(lǐng)，滲透模型思想，將數(shù)學(xué)生活化，學(xué)生在建模中逐漸學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題，提出解決方案，形成創(chuàng)造性思維，養(yǎng)成數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，提高綜合能力. 數(shù)學(xué)建模是現(xiàn)實(shí)生活與數(shù)學(xué)之間的橋梁，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)互通，促進(jìn)理論與實(shí)踐相結(jié)合，是充滿個(gè)體“思維構(gòu)造”的創(chuàng)造性活動. 因此，數(shù)學(xué)建模不僅是一種數(shù)學(xué)技術(shù)、一種思想方法、一種數(shù)學(xué)工具，也是一種實(shí)踐過程、一種創(chuàng)造思維. 其教學(xué)流程大致如圖1所示.

建模需要對所需要解決的實(shí)際問題進(jìn)行刻畫，而實(shí)際問題往往因素眾多、錯(cuò)綜復(fù)雜. 因此教學(xué)時(shí)，教師先要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼睛觀察并認(rèn)識實(shí)際問題情境，抓住現(xiàn)實(shí)問題的基本實(shí)質(zhì)，根據(jù)其特有的內(nèi)在規(guī)律，抽象概括成簡潔的數(shù)學(xué)問題，發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造力；然后用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具和相關(guān)知識，用數(shù)學(xué)語言和方法，分析與描述各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系［1］，進(jìn)而建立數(shù)學(xué)模型尋求解法，再進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證，發(fā)展學(xué)生的內(nèi)在動機(jī). 建模過程不可能一蹴而就，要經(jīng)過多次思考、檢驗(yàn)，完善數(shù)學(xué)模型，以強(qiáng)化應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，增強(qiáng)學(xué)習(xí)效果、科學(xué)精神.

因此，大力開展數(shù)學(xué)建模教學(xué)，已成為課堂變革的突破口和生長點(diǎn). 怎樣把數(shù)學(xué)建模思想融入課堂教學(xué)，怎樣依據(jù)某種規(guī)律建立數(shù)學(xué)模型，怎樣利用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，實(shí)現(xiàn)從一道題到一類題的飛躍，從而提升學(xué)生的思維能力與實(shí)踐能力［2］，是目前數(shù)學(xué)建模的研究主題. 筆者結(jié)合最值問題的探索，嘗試?yán)镁€段法建構(gòu)一種純關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，以期實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)建模在課堂教學(xué)中落地生根，最終釋放學(xué)生的學(xué)習(xí)活力.

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型釋放學(xué)習(xí)潛能

模型一：動點(diǎn)在直線上的最值問題

問題1? （“將軍飲馬”問題）：白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河. 將軍在如圖2所示的點(diǎn)A處，現(xiàn)在他要牽馬去河邊飲水，之后返回軍營的點(diǎn)B處，將軍怎么走能使路程最短？

實(shí)際問題是建模的開端. 從“現(xiàn)實(shí)情境”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)模型”，讓學(xué)生用數(shù)學(xué)語言描述模型，初步運(yùn)用建模思想去審視、分析，進(jìn)而解決實(shí)際問題.

生1：如圖3所示，上述問題可抽象為：點(diǎn)A與點(diǎn)B是河岸NM同側(cè)的兩定點(diǎn)，在河岸NM上找一動點(diǎn)P，使PB+PA的值最小.

生2：利用軸對稱性質(zhì)，根據(jù)線段法，作A點(diǎn)關(guān)于NM的對稱點(diǎn)A，連接AB交NM于點(diǎn)P，線段AB的長即為PB+PA的最小值.

生3：也可以作B點(diǎn)關(guān)于NM的對稱點(diǎn)B，連接AB交NM于點(diǎn)P，線段AB的長即為PB+PA的最小值.

兩種解法都是線段法，通過簡化或結(jié)構(gòu)化現(xiàn)實(shí)情境，不僅使數(shù)學(xué)知識回歸到現(xiàn)實(shí)世界，解釋現(xiàn)實(shí)問題，也實(shí)現(xiàn)了認(rèn)知結(jié)構(gòu)化.

問題2? 如圖4所示，若A點(diǎn)在NM上，其他條件不變，此時(shí)PB+PA的最小值又如何？

生4：將軍在河岸NM上，牽馬飲水后直接回軍營，線段AB的長即為所求的最小值.

生5：借鑒問題1，其實(shí)點(diǎn)A關(guān)于直線NM的對稱點(diǎn)就是它本身，此時(shí)P點(diǎn)即為A點(diǎn).

讓學(xué)生多點(diǎn)“奇思怪想”，在分享彼此的想法和思路時(shí)，提升感悟關(guān)鍵信息的能力，創(chuàng)造一種積極思考、勇于探索的寬松氣氛.

問題3? 如圖5所示，若將軍在A處牽馬飲水后，沿河岸NM走了一段路程AP，再沿著PB回到軍營B，則P在NM何處能使PB+PA的值最??？

此問題承上啟下，引導(dǎo)學(xué)生樹立繼續(xù)建模的信心.

生6：把PA轉(zhuǎn)換成另一條新的線段是解決此問題的關(guān)鍵.

利用線段法建構(gòu)一種純關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是解決這一問題的關(guān)鍵.

生7：借助三角函數(shù)，我聯(lián)想到了sin30°=.

生8：如圖5所示，根據(jù)sin30°=，作∠MAK=30°，再作PD⊥AK于D，則PD恒為PA.

生（眾）：由圖5可知，當(dāng)BC⊥AK于C時(shí)，PB+PD≥BC，故當(dāng)動點(diǎn)P在Q點(diǎn)的位置時(shí)，PB+PA的最小值即為BC的長.

生9：可以發(fā)現(xiàn)，只要題目改成PB+PA（n>1）的模型，解決策略都與生8的類似，即構(gòu)造sin∠MAK=.

生10：此問題可歸納成在一線上找一動點(diǎn)P到線外一定點(diǎn)B的距離與線上另一定點(diǎn)A的距離的之和最小的問題.

生11：這種模型的解決策略就是把折線問題轉(zhuǎn)化成直線問題，再運(yùn)用線段法求最值.

學(xué)生經(jīng)過充分思考、討論、嘗試，最終用一個(gè)符號系統(tǒng)去表征原型，發(fā)展了處理信息及歸納思維的能力. 在模型求解中，形成了一套關(guān)于數(shù)學(xué)的描述，促使學(xué)生高水平的智力參與，提高了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)［3］.

提升建模素養(yǎng)不僅需要反思和交流，也需要問題和情境. 當(dāng)然，還需要檢驗(yàn)、修正與完善.

問題4? （應(yīng)用）如圖6所示，已知一次函數(shù)y=kx-2的圖象與x軸相交于點(diǎn)A（-2，0），與y軸相交于點(diǎn)B，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）. 求PA+PB的最小值.

明確建模方向，應(yīng)用模型思想，構(gòu)造相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).

生12：本題符合PB+PA（n>1）的模型，根據(jù)其解決策略，把·PA+PB轉(zhuǎn)化成

PA+PB，只要求出PA+PB的最值即可.

生13：建構(gòu)線段法求最值的模型，我聯(lián)想到了sin45°=.

生14：如圖7所示，作∠OBC=45°，再作AH⊥BC于H，與y軸相交于點(diǎn)P. 線段AH的長即為PA+PB的最小值.

生15：△AOP與△BHP均是等腰直角三角形，由AO=2，OB=2，可得AP=2，PB=2-2，PH=，此時(shí)PA+PB=·

PA+PB=AH=·（AP+PH）=×［2+×（2-2）］=2+2.

生16：還可以由BH=，AB=4，AH⊥BC，以及勾股定理得AH=+. 所以PA+PB=AH=2+2.

反復(fù)建模檢驗(yàn)，促使學(xué)生有意識地從不同的角度思考優(yōu)化解決辦法，以提高解模的能力.

生17：能不能直接把PA轉(zhuǎn)化成其他線段？

這又是一個(gè)思路，轉(zhuǎn)化PA的問題再次喚醒了學(xué)生的思考動機(jī).

生18：由等腰直角三角形的斜邊是直角邊的倍，可把PA當(dāng)成等腰直角三角形的斜邊.

生19：如圖8所示，作CA⊥AP，取CA=PA，連接PC，則△PAC為等腰直角三角形，有PC=PA. 此時(shí)，問題轉(zhuǎn)化成求PC+PB的最小值.

生20：作CQ⊥y軸，垂足為Q. 根據(jù)PC+PB≥BQ，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)Q重合時(shí)，線段BQ的長即為PA+PB的最小值，此時(shí)△PAQ為等腰直角三角形，OP=OQ=OA=2，所以PA+PB的最小值為BQ=OQ+OB=2+2.

此解決方法之巧，主要是建立了一個(gè)結(jié)構(gòu)模型，用了一個(gè)簡潔的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)替代原型，體現(xiàn)了創(chuàng)造性思維. 事實(shí)上，數(shù)學(xué)建模是揭示事物內(nèi)在的運(yùn)行方式，數(shù)學(xué)建模能力影響著問題解決的成效.

模型二：與曲線有關(guān)的最值問題

問題5? （動點(diǎn)在曲線上的模型）如圖9所示，已知☉O的半徑為6，OB=9，定點(diǎn)A在☉O外且不在OB上，在☉O上找一個(gè)動點(diǎn)P，使得PA+PB的值最小.

提供多層次的數(shù)學(xué)背景，創(chuàng)設(shè)動點(diǎn)在曲線上的問題情境，多層次尋求建模點(diǎn)和方向. 此問題充滿了挑戰(zhàn)和創(chuàng)造性，足以讓學(xué)生重新思考已建立的數(shù)學(xué)模型.

生21：發(fā)現(xiàn)本題的動點(diǎn)在曲線（圓）上而非某一直線上.

生22：圓周也可以看作“將軍飲馬”問題中的“河岸”，此時(shí)A，B兩點(diǎn)在“河岸”的同側(cè)，需要把這兩點(diǎn)的位置轉(zhuǎn)移到“河岸”的異側(cè). 由于B點(diǎn)的位置比A點(diǎn)更具體，因此把定點(diǎn)B的位置轉(zhuǎn)移到圓內(nèi)某一定點(diǎn)即可.

生23：OB所在直線過圓心O，定點(diǎn)B在圓內(nèi)的“對稱點(diǎn)”必在OB上.

生24：發(fā)現(xiàn)△POB中的OP與OB之比恒為定值，可借助三角形相似轉(zhuǎn)化PB，從而在OB上找到B的“對稱點(diǎn)”.

生（眾）：B關(guān)于圓的“對稱點(diǎn)”在哪里？

學(xué)生不經(jīng)意的一句話，道出了解決本題的核心與關(guān)鍵.

生25：利用子母型相似模型，在△POB內(nèi)部，以∠POB為公共角，構(gòu)造一個(gè)△COP，使之與△POB相似. 如圖9所示，在OB上取OC=4，則=. 連接PC，則△BOP∽△POC，得==，所以PC=PB. 因?yàn)锳P+PC≥AC，即線段AC的長為PA+PB的最小值.

生26：此時(shí)動點(diǎn)P的位置，即為AC與☉O的交點(diǎn)Q的位置.

生27：本題的關(guān)鍵是什么？

生28：確定C點(diǎn)的位置.

生29：除了要求C點(diǎn)必須在線段OB上（圓內(nèi)）的位置外，還有什么數(shù)量要求？

生30：必須滿足=，即OP 2=OC·OB. 若☉O的半徑為r，則OC=.

……

通過與學(xué)生所熟悉的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、模型相結(jié)合，化曲為“直”，為學(xué)生開辟了一道建模素養(yǎng)發(fā)展的途徑. 在重新構(gòu)建模型的過程中培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考、團(tuán)結(jié)協(xié)作、實(shí)踐創(chuàng)新，形成一套關(guān)于解決問題的程序.

問題6? （動點(diǎn)在直線上的模型）如圖10所示，在△ACE中，CA=CE，∠CAE=30°，☉O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上，設(shè)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)CD+OD的最小值為6時(shí)，求☉O的直徑AB的長.

尋求建立恰當(dāng)模型的方法和過程就是建模思想落地生根的過程.

生31：由于動點(diǎn)D在線段AC上運(yùn)動，聯(lián)想到動點(diǎn)在直線上的模型，作CF∥AB，則∠ACF=30°. 如圖10所示，作DG⊥FC，把CD轉(zhuǎn)化為DG；作OH⊥FC，則CD+OD的最小值即為OH的長. 根據(jù)題意有OH=6，又∠OCH=60°，則OC=2，則AB=4.

一針見血地指出問題要點(diǎn)，這就是實(shí)踐價(jià)值，學(xué)生紛紛指出，動點(diǎn)在曲線上的最值問題，得先構(gòu)造三角形相似，然后轉(zhuǎn)化為相關(guān)線段，再通過線段法去解決.

問題7? （動點(diǎn)在曲線上的模型）如圖11所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB=2，以點(diǎn)B為圓心作☉B(tài)與AC相切，P為☉B(tài)上任意一點(diǎn)，求PA+PC的最小值.

再次為學(xué)生創(chuàng)造建模素養(yǎng)發(fā)展的機(jī)會，使學(xué)生充分了解數(shù)學(xué)建模的意圖，以提升其應(yīng)用能力和創(chuàng)新意識.

生32：動點(diǎn)P在☉O上運(yùn)動，聯(lián)想到前面的模型，在BC上取點(diǎn)D，構(gòu)造三角形相似，轉(zhuǎn)化PC. 如圖12所示，易求☉B(tài)的半徑為，在BC上取BD=1，連接AD，BP，PC，則△BPD∽△BCP，得PC=PD. 所以PA+PC的最小值為AD的長，即.

在線型與非線型問題的背景下建構(gòu)線段法求最值的活動，采用原型啟發(fā)和醞釀的方式，給學(xué)生提供建立數(shù)學(xué)模型的機(jī)會，在建模思想的滲透、啟迪、運(yùn)用下完成知識、思維、能力三者統(tǒng)一，實(shí)現(xiàn)充滿智慧能力和高格調(diào)的課堂轉(zhuǎn)型.

建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，實(shí)現(xiàn)課堂變革

建模是一種綜合性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，能改善學(xué)生的學(xué)習(xí)方式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機(jī)和興趣，建立良好正確的數(shù)學(xué)觀，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)思維方式與方法，進(jìn)而鍛煉學(xué)生的思維，開發(fā)學(xué)生的智力，發(fā)展學(xué)生的個(gè)性，培養(yǎng)學(xué)生的特長. 因此，數(shù)學(xué)建模具有重要的育人價(jià)值，是實(shí)現(xiàn)課堂變革的一個(gè)突破口. 在教學(xué)中，教師應(yīng)聚力課堂變革的關(guān)鍵問題與方向，潛心于課堂創(chuàng)造與學(xué)習(xí)變革，以建模的視角去思考課堂的本質(zhì)，點(diǎn)燃學(xué)生個(gè)體創(chuàng)造潛能的“火種”. 具體而言：

首先，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識. 建模是不斷迭代學(xué)習(xí)的過程，要精擬建模問題，營造良好的建模氛圍，鼓勵(lì)學(xué)生大膽建模，逐步滲透建模策略，使學(xué)生在“發(fā)現(xiàn)→歸納→總結(jié)→解決”問題中，逐步將情境結(jié)構(gòu)化，將問題數(shù)學(xué)化，并通過多次循環(huán)執(zhí)行，多角度、多渠道、多觀點(diǎn)、多層次尋求解決策略，以完善模型的理解與應(yīng)用，進(jìn)而找出模型結(jié)構(gòu)，形成成套鏈條.

其次，重視數(shù)學(xué)建模思想的滲透. 教師要加強(qiáng)建模課程的鉆研，把滲透數(shù)學(xué)建模思想作為首要任務(wù)，從數(shù)學(xué)的角度聚焦建模方法，講授解模思想，總結(jié)模型特征，提出有指導(dǎo)性的策略，帶動學(xué)生能用新的模型來模擬原來的模型［3］，進(jìn)而提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.

再次，著重模型的實(shí)踐與應(yīng)用. 數(shù)學(xué)建模是從現(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界［4］，關(guān)系著能否用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，能否解決現(xiàn)實(shí)生活中的問題，能否用數(shù)學(xué)思維思考世界，能否喚起學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識. 事實(shí)上，脫離情境，知識就只剩下符號.? 建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的重要途徑，學(xué)生通過建模能了解知識產(chǎn)生的根源，拓寬知識面，形成合理的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)知識遷移，提高個(gè)體綜合實(shí)踐能力.

教學(xué)改革難就難在課堂，要實(shí)現(xiàn)課堂變革，應(yīng)把數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)確定為課堂變革的方向與目標(biāo). 在教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生著力把一個(gè)模型“學(xué)得透，學(xué)得精，用得活”，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)建模，悟出數(shù)學(xué)模型的約束條件，學(xué)會對數(shù)學(xué)模型追本溯源、廣泛遷移，學(xué)會用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，進(jìn)而奠定建模素養(yǎng)發(fā)展的基礎(chǔ). 唯有如此，才能真正為學(xué)生發(fā)展建模素養(yǎng)提供保障，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生釋放學(xué)習(xí)潛能，發(fā)揮建?；顒拥膬r(jià)值，讓課堂充滿生機(jī)與活力.

參考文獻(xiàn)：

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