［摘? 要］ 文章以“數(shù)系擴充”的教學(xué)設(shè)計為例，聚焦問題驅(qū)動教學(xué)，具體從學(xué)情、教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)目標三個方面進行教學(xué)分析，并從“問題驅(qū)動，探究概念”“實際應(yīng)用，揭露本質(zhì)”“課堂小結(jié)，提煉方法”等環(huán)節(jié)展開教學(xué)，以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)擴充；問題驅(qū)動；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

問題驅(qū)動教學(xué)法又稱PBL教學(xué)法，是指以問題為主線規(guī)劃整個教學(xué)流程，將學(xué)生視為教學(xué)的主體，引發(fā)學(xué)生圍繞問題自主探究的教學(xué)方法. 問題驅(qū)動教學(xué)法能讓學(xué)生更清晰、準確地掌握知識與技能，能夠挖掘?qū)W生的潛能，拓展學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 本文以“數(shù)系擴充”的教學(xué)設(shè)計為例，探討如何開展問題驅(qū)動教學(xué)法.

教學(xué)分析

1. 學(xué)情分析

從教學(xué)內(nèi)容來看，學(xué)生在接觸“數(shù)系擴充”這一章節(jié)內(nèi)容之前，對數(shù)系的發(fā)展（從正整數(shù)集擴充到實數(shù)集的歷程）有初步了解；同時，學(xué)生在數(shù)學(xué)能力方面，具有一定的抽象邏輯思維能力、直觀想象能力和數(shù)學(xué)運算能力. 從思想方法來看，學(xué)生接觸過多種數(shù)學(xué)思想方法，如數(shù)形結(jié)合思想方法、類比思想方法、化歸與轉(zhuǎn)化思想方法等.

2. 教學(xué)內(nèi)容分析

“數(shù)系擴充”蘊含的數(shù)學(xué)思想方法很多，教材編排這部分內(nèi)容一方面是幫助學(xué)生回顧舊知，感知數(shù)的概念發(fā)展與數(shù)系擴充過程，另一方面讓學(xué)生明確數(shù)的形成源于數(shù)學(xué)內(nèi)部矛盾與生活實際需要，感知數(shù)和生活有著密不可分的聯(lián)系. 本節(jié)課對促進學(xué)生各種數(shù)學(xué)能力的發(fā)展具有重要意義，也為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定了基礎(chǔ).

實施教學(xué)

1. 問題驅(qū)動，探究概念

解決數(shù)學(xué)問題最基本的手段是數(shù)學(xué)運算，良好的數(shù)學(xué)運算能力是有效促進數(shù)學(xué)思維發(fā)展的基礎(chǔ)，也是促使學(xué)生規(guī)范思考問題的保障［1］. 本節(jié)課的難點是虛數(shù)單位的引入，因為虛數(shù)單位很難用生活實例來說明. 本節(jié)課通過復(fù)數(shù)發(fā)展史上兩個著名的方程問題，激發(fā)學(xué)生對的好奇心，并結(jié)合學(xué)生原有的運算知識體系，讓學(xué)生感知運算能夠產(chǎn)生新的數(shù)學(xué)對象，進一步了解數(shù)系擴充.

探究活動1 了解數(shù)系發(fā)展的歷史.

觀看視頻，了解數(shù)系發(fā)展的歷史.

探究活動2 了解復(fù)數(shù)產(chǎn)生的歷史.

問題1：社會發(fā)展初期，為了滿足計數(shù)的需要，出現(xiàn)了自然數(shù)；而后為了滿足測量與分配的需要，出現(xiàn)了分數(shù)；為了刻畫相反意義，又出現(xiàn)了負數(shù)；后來為了解決正方形對角線的長等問題，出現(xiàn)了無理數(shù)……由此可見，社會發(fā)展推動著數(shù)的發(fā)展. 同學(xué)們對此有沒有補充？

預(yù)設(shè)：數(shù)的發(fā)展源于數(shù)不夠用，比如無理數(shù)的形成，就源于邊長為1的正方形對角線的長無法用已有的數(shù)來表達，從而引發(fā)了“第一次數(shù)學(xué)危機”.

問題2：16世紀，很多數(shù)學(xué)家對負數(shù)和無理數(shù)還沒有完全接受，又有一個新的數(shù)出現(xiàn)了. 1545年意大利數(shù)學(xué)家卡爾丹的著作《重要的藝術(shù)》中提出了這樣一個問題：如何將10分為兩部分，讓它們的乘積等于40？這個問題其實就是解方程x（10-x）=40. 眾所周知，這個方程在實數(shù)范圍內(nèi)無解，但卡爾丹依然用求根公式寫出了兩個根. 同學(xué)們也嘗試用求根公式寫出這兩個根，并把這兩個根分別代入原方程，按照實數(shù)的運算法則進行運算，看看這兩個奇怪的根是否滿足原方程.

預(yù)設(shè)：學(xué)生寫出5+，5-兩個根，代入原方程后發(fā)現(xiàn)這兩個根滿足原方程.

問題3：三次方程和二次方程一樣也有求根公式. 利用三次方程的求根公式，我們可以算出x3-15x-4=0的一個根為2++2-，如果我們承認這個數(shù)的話，按照實數(shù)的運算法則，這個根就可以化簡為4，而4確實是這個三次方程的根.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生感受到加入運算，得到的答案竟然是正確的，一步步引導(dǎo)學(xué)生體會的合理性，并且激發(fā)學(xué)生的學(xué)習興趣.

教師繼續(xù)介紹：不僅剛才的兩個問題利用得到了正確答案，而且在整個18世紀，不管什么地方，在數(shù)學(xué)推理的步驟中用得到的結(jié)果都被證明是正確的. 萊布尼茨說道：“虛數(shù)是神靈循跡的精微而奇異的隱蔽所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物.”18世紀末19世紀初，韋塞爾、阿爾岡、高斯給出了復(fù)數(shù)的幾何表示. 正是這種直觀的幾何表示，揭開了復(fù)數(shù)的神秘面紗，確立了復(fù)數(shù)在數(shù)學(xué)中的地位.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生感受虛數(shù)并非憑空臆想而來的，它有發(fā)展過程，有曲折、有迷茫、有徘徊、有抗爭. 滲透復(fù)數(shù)發(fā)展史，讓學(xué)生從根本上掌握復(fù)數(shù)的內(nèi)涵與外延，體會數(shù)學(xué)家們在知識探索與創(chuàng)造中具有的數(shù)學(xué)精神.

探究活動3 數(shù)系的擴充.

教師介紹用i表示，將i稱作虛數(shù)單位.

問題1：把新引進的數(shù)i添加到實數(shù)集中，i和實數(shù)進行運算又可以產(chǎn)生一些新的數(shù). 在實數(shù)的運算律保持不變的前提下，大家試一試、看一看i和實數(shù)運算會產(chǎn)生哪些新的數(shù).

預(yù)設(shè)：學(xué)生通過運算得到了新的數(shù)，比如a+i，a-i，ai，（a∈R）.

追問：這些新的數(shù)還可以繼續(xù)運算產(chǎn)生其他新的數(shù)嗎？這些新的數(shù)有統(tǒng)一的形式嗎？

預(yù)設(shè)：新的數(shù)運算后還可以產(chǎn)生其他新的數(shù)，新的數(shù)都可以寫成a+bi（a，b∈R）的形式.

設(shè)計意圖 讓學(xué)生經(jīng)歷由虛數(shù)單位i引起的數(shù)系擴張過程，提出復(fù)數(shù)概念水到渠成.

教師板書復(fù)數(shù)的定義，介紹與復(fù)數(shù)有關(guān)的概念（實部、虛部、復(fù)數(shù)相等……）

問題2：引入虛數(shù)單位i后，實數(shù)集擴充成了復(fù)數(shù)集. 復(fù)數(shù)集是由哪些數(shù)組成的？

預(yù)設(shè)：復(fù)數(shù)集由實數(shù)集和虛部不為0的復(fù)數(shù)組成.

教師介紹虛數(shù)和純虛數(shù)的概念.

追問：可以用韋恩圖表示復(fù)數(shù)的分類嗎？

設(shè)計意圖 讓學(xué)生通過思考，自己分類復(fù)數(shù)，嘗試用圖形語言直觀表示出各種數(shù)集之間的關(guān)系.

2. 實際應(yīng)用，揭露本質(zhì)

例1 判斷正誤.

（1）復(fù)數(shù)一定是虛數(shù)；（2）復(fù)數(shù)的虛部是虛數(shù)；（3）純虛數(shù)一定是虛數(shù)；（4）z=a+bi（a，b∈R）是虛數(shù)；（5）在z=a+bi（a，b∈R）中，若a=0，則z為純虛數(shù)；（6）i是純虛數(shù)，也是虛數(shù)，還是復(fù)數(shù)；（7）若a∈C，則a2≥0；（8）3i>2i.

設(shè)計意圖 通過這組判斷題，加深學(xué)生對復(fù)數(shù)概念的理解.

例2 當實數(shù)m取何值時，復(fù)數(shù)z=m（m-1）+（m-1）i分別為實數(shù)、虛數(shù)與純虛數(shù)？

例3 若（x+y）+（x-2y）i=（3x+y）i+（2x-5），則實數(shù)x，y的值分別是多少？

例4 若關(guān)于x的方程3x2-x-1=（10-x-2x2）i有實數(shù)根，求實數(shù)a的值.

設(shè)計意圖 例4是例3的深入延伸題，通過這道例題，讓學(xué)生體會利用復(fù)數(shù)相等的充要條件可以把復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實數(shù)問題，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想.

3. 課堂小結(jié)，提煉方法

要求學(xué)生說一說本節(jié)課學(xué)了哪些內(nèi)容，獲得了哪些知識，是通過什么方法獲得的；在知識形成與發(fā)展的過程中，獲得了什么啟示.

學(xué)生通過對課堂教學(xué)流程的回顧，自主用思維導(dǎo)圖梳理并總結(jié)了知識結(jié)構(gòu). （如圖1所示）

教師趁學(xué)生成就感滿滿，開展課堂總結(jié)：今后，在我們的學(xué)習與生活中，難免會遇到各種各樣的挫折與困惑，不論前路多么艱難，我們都要像數(shù)學(xué)家們一樣想方設(shè)法克服困難，闖出一片新天地，這是一種創(chuàng)新，也是自我價值的體現(xiàn).

設(shè)計意圖 課堂總結(jié)對于一節(jié)課來說，屬于收口環(huán)節(jié)，它具有承上啟下、畫龍點睛的作用. 因此，教師不僅要引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)知識、方法等，還要引導(dǎo)學(xué)生從“四基與四能”“三會”以及六大素養(yǎng)等方面提升元認知能力，發(fā)展高階思維［2］.

4.布置作業(yè)，拓展評價

略.

教學(xué)思考

1. 問題是探究的載體

問題是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，正因為有了問題的存在，才能順利激發(fā)學(xué)生的學(xué)習熱情，開啟學(xué)生的思維大門，為探究活動提供載體. 本節(jié)課教學(xué)的每一個環(huán)節(jié)都從問題中來，又回到問題中去，學(xué)生在一個個問題的引導(dǎo)下，逐步認清數(shù)學(xué)運算的本質(zhì)，總結(jié)出數(shù)系擴充的主要原因和所遵循的一般規(guī)律.

2. 尊重學(xué)生的主體地位

新課標一再強調(diào)學(xué)生在課堂中的主體地位，問題驅(qū)動教學(xué)法同樣將學(xué)生放在教學(xué)的首要位置，每一個問題都基于學(xué)生已有的認知基礎(chǔ)，根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)而創(chuàng)設(shè)［3］. 學(xué)生通過自主思考、合作交流等方式，不僅逐個突破了問題，還進一步發(fā)展了數(shù)學(xué)思維. 同時，隨著問題的解決，學(xué)生從中提煉出了類比思想、整體思想等，這些都是發(fā)展數(shù)學(xué)創(chuàng)新意識的關(guān)鍵.

3. 以史為鑒滲透數(shù)學(xué)文化

數(shù)學(xué)文化不僅體現(xiàn)了人類的發(fā)展與進步，還彰顯了人類在探尋真理道路上的務(wù)實與開拓精神. 在本節(jié)課中，教師在各個環(huán)節(jié)都有機地融入數(shù)學(xué)史，一方面滿足了教學(xué)需求，另一方面提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 在數(shù)學(xué)文化的熏陶下，學(xué)生開啟了自主探究模式，揭露了隱藏在知識背后的真理.

參考文獻：

［1］ 鄭毓信. 中國數(shù)學(xué)教育的“問題特色”［J］. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（01）：1-7.

［2］ 江琦. 利用問題驅(qū)動? 發(fā)展數(shù)學(xué)理解力——以蘇教版“解決問題的策略：轉(zhuǎn)化”教學(xué)為例［J］. 福建教育學(xué)院學(xué)報，2022，23（08）：93-94.

［3］ 唐劍嵐，周元. “授人以魚”的同時“授人以漁與欲”——以《等差數(shù)列的前n項和》公式推導(dǎo)片段為例［J］. 數(shù)學(xué)通報，2016，55（09）：41-46+49.

作者簡介：何永麗（1984—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，廣東省中小學(xué)骨干教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作，榮獲第二屆廣東省中小學(xué)青年教師教學(xué)能力大賽高中數(shù)學(xué)學(xué)科一等獎第二名，深圳市中小學(xué)青年教師教學(xué)能力大賽高中組數(shù)學(xué)學(xué)科一等獎第一名.