林森

［摘? 要］ 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)開展直擊課程本質(zhì)的“深度教學(xué)”，以此讓學(xué)生學(xué)會思考、學(xué)會探索、學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會學(xué)習(xí). 文章以問題為主線，引導(dǎo)學(xué)生通過類比確定研究新知的基本方法和基本路徑，另外借助不同問題引發(fā)學(xué)生進(jìn)行深度思考，以此深化知識理解，有效提高學(xué)生的推理能力，促進(jìn)“教”與“學(xué)”的全面提升.

［關(guān)鍵詞］ 深度教學(xué)；深度思考；推理能力

推理是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)常用的思維方式，是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提和保障. 在數(shù)學(xué)課堂上要重視學(xué)生推理能力的發(fā)展和提升，使其成為提升學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的“助推器”和落實學(xué)生核心素養(yǎng)的“穩(wěn)壓器”. 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，大多教師也很關(guān)注學(xué)生推理能力的發(fā)展，只不過發(fā)展學(xué)生推理能力的主要途徑是“刷題”，從短期效果來看，學(xué)生可以通過模仿、復(fù)制的方法解決一些相似的問題，但從長遠(yuǎn)發(fā)展來看，學(xué)生的思維方式和學(xué)習(xí)能力并沒有得到“質(zhì)”的提升. 為了改變這一現(xiàn)狀，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)實施“深度教學(xué)”，教學(xué)中不要局限于單一知識的講解、單一問題的解決，應(yīng)從整體和全局的角度去思考問題，建構(gòu)認(rèn)知體系，引導(dǎo)學(xué)生從特殊中抽象出一般數(shù)學(xué)思維和策略，這樣學(xué)生不再是數(shù)學(xué)教學(xué)的盲從者，而是高質(zhì)課堂的建設(shè)者，以此提高學(xué)習(xí)積極性，提升思維品質(zhì)［1］.

教學(xué)“直角三角形斜邊中線的性質(zhì)”時，筆者以學(xué)生已有認(rèn)知為出發(fā)點，借助層層遞進(jìn)的問題來誘發(fā)學(xué)生深度思考，提升教學(xué)品質(zhì).

教學(xué)分析

本章節(jié)教學(xué)目標(biāo)是在研究圖形性質(zhì)和運動過程中，發(fā)展學(xué)生的空間觀念. 學(xué)習(xí)本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)掌握了等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)和判斷定理，以及研究幾何圖形的基本方法，這為本節(jié)課開展自主探究活動提供了知識儲備和方法保障. 教學(xué)中教師要改變“以教為主”的教學(xué)方式，通過創(chuàng)設(shè)不同問題來調(diào)動學(xué)生應(yīng)用已有知識和已有經(jīng)驗，用“聯(lián)系類比”和“問題引領(lǐng)”的方式讓學(xué)生學(xué)會探索、學(xué)會發(fā)現(xiàn)、學(xué)會抽象，發(fā)展學(xué)生推理能力［2］.

教學(xué)設(shè)計

1. 回顧思考

師：等腰三角形是什么圖形呢？

生齊聲答：軸對稱圖形.

師：很好，現(xiàn)在我們結(jié)合下面兩個問題回顧一下研究等腰三角形的基本方法，得到了哪些結(jié)論. （教師用PPT給出問題）

問題1：說一說等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理分別是什么.

問題2：回顧一下研究性質(zhì)定理的主要步驟是什么，研究方法是什么.

對于問題1，其涉及的內(nèi)容在課堂教學(xué)中重點研究過，在練習(xí)中靈活應(yīng)用過，教師也讓學(xué)生熟練記憶過，因此學(xué)生很快就給出了準(zhǔn)確的答案. 對于問題2，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合教材內(nèi)容進(jìn)行溝通交流，一致認(rèn)為研究定理主要經(jīng)歷了四個步驟，分別是操作、探究、歸納、證明. 研究方法：通過動手操作（折疊），引導(dǎo)學(xué)生觀察頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高線的關(guān)系，從而引發(fā)數(shù)學(xué)猜想；接下來通過合情推理和演繹推理相結(jié)合的方式進(jìn)行推理驗證，得到了等腰三角形的性質(zhì)定理；同時又構(gòu)造逆命題，運用演繹推理進(jìn)行驗證，得到了等腰三角形的判定定理.

設(shè)計意圖 在問題的引領(lǐng)下，引導(dǎo)學(xué)生回顧具體知識的研究方法，從而推廣為研究幾何圖形的基本方法，強(qiáng)化了學(xué)生對方法策略的認(rèn)識，為研究新的幾何圖形做好了鋪墊. 同時在教學(xué)中與舊知相關(guān)聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生用“聯(lián)系類比”的方法思考問題、分析問題，使學(xué)生的思維更具邏輯性，有助于學(xué)生認(rèn)知體系的建構(gòu). 另外，借助“聯(lián)系類比”更易于引發(fā)學(xué)生的情感共鳴，是“深度教學(xué)”的重要環(huán)節(jié)，更易于學(xué)生理解和接受.

2. 探索新知

環(huán)節(jié)1：合情推理，發(fā)現(xiàn)結(jié)論.

合情推理是基于已有認(rèn)知水平的一種推理，其本質(zhì)是利用已經(jīng)驗證過的知識或方法去推理和驗證那些未驗證過的知識和方法，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維策略，展現(xiàn)了深度教學(xué)的一般過程.

師：通過剛剛的回顧，我們已經(jīng)總結(jié)和歸納了研究幾何圖形的基本思想方法，今天我們就來應(yīng)用它來研究直角三角形的斜邊上的中線.

師：現(xiàn)在就利用我們課前準(zhǔn)備的直角三角形，開啟我們的探究之旅.

師：結(jié)合研究等腰三角形的基本方法，你認(rèn)為我們的第一步應(yīng)該做什么呢？

生1：動手操作. 先通過“折一折”得到中線，然后再“量一量”，看看它與哪條邊存在什么樣的數(shù)量關(guān)系.

師：很好，現(xiàn)在請大家動手做一做、看一看，猜想一下這條斜邊中線會與哪條邊存在一定的數(shù)量關(guān)系呢.

生2：折疊后感覺斜邊的中線與斜邊應(yīng)該存在著數(shù)量關(guān)系.

師：很好，現(xiàn)在我們就動手“量一量”，看看有什么發(fā)現(xiàn).

生3：經(jīng)過測量我發(fā)現(xiàn)斜邊的中線正好是斜邊的一半.

師：現(xiàn)在我們不用折疊法了，通過畫一畫、量一量，看看能否得到相同的結(jié)論.

設(shè)計意圖 合情推理是基于已有現(xiàn)實的一種推理，其本質(zhì)是利用已經(jīng)驗證過的知識或方法去推理和驗證那些未驗證過的知識和方法，體現(xiàn)了由特殊到一般的思維策略，展現(xiàn)了深度教學(xué)的一般過程. 教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生通過“畫”“折”“量”等操作活動，提出了猜想，并應(yīng)用不同方法進(jìn)行驗證，培養(yǎng)了學(xué)生合情推理能力，同時又為后面的演繹推理做好了鋪墊. 在折紙、測量等實踐活動中，教師為學(xué)生提供了自由的、廣闊的探索空間，引導(dǎo)學(xué)生通過折疊發(fā)現(xiàn)了蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，讓學(xué)生在“做”的過程中逐漸發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于發(fā)展學(xué)生的直覺思維，有助于培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力［3］.

環(huán)節(jié)2：演繹推理，驗證結(jié)論.

師：剛剛通過測量和折疊我們發(fā)現(xiàn)了直角三角形斜邊上的中線與斜邊的數(shù)量關(guān)系，接下來我們需要做什么呢？

生齊聲答：驗證.

師：很好，判斷一個命題是否為真命題需要進(jìn)一步驗證，那么如何用已學(xué)過的知識進(jìn)行證明呢？

師：根據(jù)以上結(jié)論，你認(rèn)為其本質(zhì)是證明什么？

生齊聲答：線段相等.

師：那么有哪些方法可以證明線段相等呢？（教師預(yù)留時間讓學(xué)生回顧、交流）

生4：等腰三角形中等角對等邊.

生5：還可以利用全等三角形.

師：很好. 如圖1所示，我們先嘗試用生4的方法證明，看看這個方法是否行得通. （證明略）

師：如圖2所示，你是否能通過生5的思路，利用“全等三角形”的思路證明以上結(jié)論成立？（證明略）

以上證明對于大多數(shù)學(xué)生來講可謂輕車熟路，不過也有個別學(xué)生一時沒有找到解題的突破口，教師鼓勵學(xué)生進(jìn)行互動交流，很快大家完成了證明. 證明結(jié)束后教師引導(dǎo)學(xué)生分別用文字語言和符號語言總結(jié)歸納出直角三角形斜邊中線的性質(zhì)定理，教師詳細(xì)板書.

設(shè)計意圖 在教學(xué)中，教師將證明過程拆分成了若干小問題，在問題的引領(lǐng)下從不同角度探索論證了結(jié)論. 這樣將合情推理的探索活動與演繹推理的驗證活動有機(jī)地結(jié)合在一起，體驗了研究幾何圖形的基本方法，讓學(xué)生知道證明是探索活動的自然延續(xù)，是必不可少的一環(huán). 教學(xué)中教師并沒有讓學(xué)生急于證明，而是借助問題讓學(xué)生理解問題的本質(zhì)，即證明線段相等，這樣巧妙地將證明性質(zhì)轉(zhuǎn)化為學(xué)生熟悉的證明線段相等的問題，這樣從已有的知識、經(jīng)驗出發(fā)，為演繹推理提供了知識保障，符合演繹推理的特點. 通過前面問題的鋪墊，學(xué)生給出了不同的證明線段相等的方法，接下來教師讓學(xué)生運用不同的方法進(jìn)行證明，這樣既順應(yīng)了學(xué)生的思維發(fā)展，又豐富了學(xué)生的解題思路，為學(xué)生的全面發(fā)展創(chuàng)造了良好的契機(jī). 同時，教學(xué)中教師改變了傳統(tǒng)的灌輸式教學(xué)，通過師生和生生互動交流的方式，引導(dǎo)學(xué)生自主構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線，學(xué)生通過互動交流順利地找到了問題的突破口，有效地提升了學(xué)生的演繹推理能力. 可見，“刷題”并不是提升學(xué)生演繹推理能力的唯一途徑，還可以滲透于公式、定理的證明活動中. 這樣以問題為導(dǎo)向，鼓勵學(xué)生獨立思考、合作交流，體現(xiàn)了深度教學(xué)的教學(xué)理念，提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力. 同時，教學(xué)中教師鼓勵學(xué)生應(yīng)用不同的策略進(jìn)行證明，通過對已有知識、經(jīng)驗的遷移和重組，不僅鞏固了學(xué)生原認(rèn)知，而且探索學(xué)習(xí)了新知，提升了學(xué)生的解題技能.

環(huán)節(jié)3：逆向推理，完善認(rèn)知.

師：在學(xué)習(xí)等腰三角形時，學(xué)習(xí)了性質(zhì)定理后，接下來研究的是什么問題呢？

生齊聲答：判定定理.

師：很好，那么以上命題的逆命題應(yīng)該是什么呢？

教師預(yù)留時間讓學(xué)生思考，學(xué)生順利地給出了逆命題.

師：這個逆命題是否成立呢？你能將逆命題轉(zhuǎn)化為符號語言并證明嗎？

生6：如圖1所示，在△ABC中，AD=BD，BD=CD，求證：∠ACB=90°.

這樣通過文字語言和符號語言的互化，深化了學(xué)生對逆命題的理解. 轉(zhuǎn)化為符號語言后，問題更加直觀，更易于學(xué)生理解，學(xué)生順利地應(yīng)用已有知識證明了給出的逆命題.

設(shè)計意圖 在研究線段、角、等腰三角形等平面幾何圖形時，學(xué)習(xí)了性質(zhì)定理后會對知識繼續(xù)拓展，引導(dǎo)學(xué)生繼續(xù)研究它的判定定理，以此深化理解，提升學(xué)生的演繹推理能力. 另外，經(jīng)歷命題的正逆互化有效地發(fā)展了學(xué)生逆向思維. 眾所周知，數(shù)學(xué)知識是靈活多變的，有時候一個問題稍加改動就變成了另一個全新的問題，那么在面對這些靈活多變的問題時，學(xué)生難免會出現(xiàn)思維障礙，苦思冥想也不能獲解，此時若從反面出發(fā)可能會有一些意外的收獲. 從實踐反饋來看，大多學(xué)生在思考和解決問題時主要依賴的是正向思維，學(xué)生的逆向思維意識淡薄，這就要求在平時教學(xué)中多關(guān)注逆向思維的發(fā)展. 如在證明了命題后，引導(dǎo)學(xué)生思考逆命題，這樣不僅可以訓(xùn)練學(xué)生的逆向思維，而且可以有效提升學(xué)生的推理能力，有利于“深度教學(xué)”目標(biāo)的達(dá)成.

這樣在探索中，將命題與逆命題聯(lián)系起來，學(xué)生的思維更加嚴(yán)謹(jǐn)，對性質(zhì)定理的記憶更加深刻，有助于學(xué)生完成認(rèn)知體系的建構(gòu). 在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)多為學(xué)生營造一些機(jī)會進(jìn)行探索和驗證，以此豐富深度教學(xué)的內(nèi)容，助力學(xué)生推理能力的提升.

3. 應(yīng)用新知

習(xí)題訓(xùn)練在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中是必不可少的一環(huán)，能起到深化知識的理解、鞏固和內(nèi)化的作用. 那么為了發(fā)揮習(xí)題訓(xùn)練的價值，教學(xué)中要少一些“就題論題”，應(yīng)將知識和問題有機(jī)地結(jié)合在一起，注重培養(yǎng)思維的邏輯性和縝密性.

例1 如圖3所示，在△ABC中，AD是高，E，F(xiàn)分別是AB，AC的中點，若AC=8，AB=10，求四邊形AEDF的周長.

在解題前，教師沒有讓學(xué)生直接證明，而是給出了如下問題.

問題1：圖3中你是否發(fā)現(xiàn)了本節(jié)課的新知呢？

問題2：根據(jù)本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，在Rt△ABD中，你能得到哪些線段間的數(shù)量關(guān)系？在Rt△ADC中，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

例2 如圖4所示，∠ABC=∠ADC=90°，M，N分別是AC，BC的中點. 求證：MN⊥BD.

同樣，在解答例2前，教師先讓學(xué)生思考如下問題.

問題1：如圖4所示，你能找到直角三角形的斜邊中線嗎？如果找不到是否能夠通過構(gòu)造的方法得到呢？

問題2：運用本節(jié)課所學(xué)的定理，在Rt△ABC中，你能得到什么結(jié)論？在Rt△ADC中呢？

問題3：在圖4中，除了Rt△ABC和Rt△ADC，還有其他的特殊三角形嗎？

問題4：回顧特殊三角形的性質(zhì)，可以得到哪些結(jié)論？

設(shè)計意圖 例1較為簡單，直接應(yīng)用本節(jié)課所學(xué)的性質(zhì)定理就能輕松地證明結(jié)論. 例2具有一定的綜合性，既考查了本節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，又考查了等腰三角形的性質(zhì). 在例2的證明過程中，教師沒有直接給出輔助線，而且借助問題引導(dǎo)學(xué)生自己添加輔助線，繼而得到“直角三角形斜邊中線”的基本圖形. 接下來又引導(dǎo)學(xué)生尋找其他特殊三角形，學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)了等腰三角形，最后應(yīng)用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)解決了問題. 在應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師既通過問題為學(xué)生指引了方向，又提供了適宜的空間讓學(xué)生獨立思考，這樣借助層疊的問題將相關(guān)知識有效地串聯(lián)在了一起，讓學(xué)生的思維更有邏輯性.

教學(xué)反思

無論是學(xué)習(xí)還是生活，推理都有著重要的應(yīng)用，那么數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科，要充分發(fā)揮其學(xué)科價值，關(guān)注學(xué)生推理能力的培養(yǎng)和提升. 教師要認(rèn)識到，學(xué)生推理能力的提升是一個長期的過程，需要滲透于課堂教學(xué)中，并貫穿始終，進(jìn)而通過潛移默化的引導(dǎo)促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展，提高學(xué)生綜合素養(yǎng).

教學(xué)中教師借助不同的問題，誘發(fā)學(xué)生深度思考，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、探索、分析、交流，找到解決問題的突破口，以此樹立學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心. 此外，教學(xué)中教師應(yīng)放手讓學(xué)生去探索和驗證，讓學(xué)生真正地參與到課堂教學(xué)中來，充分展示學(xué)生的思維過程，巧妙地借助問題情境引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有價值的規(guī)律，體驗數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)之美.

總之，實際教學(xué)中教師應(yīng)將培養(yǎng)學(xué)生推理能力的思想融于課堂教學(xué)，通過“由淺入深”的問題，引導(dǎo)學(xué)生深度思考，從而將知識和技能內(nèi)化為能力，助力學(xué)生綜合素質(zhì)提升.

參考文獻(xiàn)：

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［2］ 李其踴. 初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之推理能力培養(yǎng)［J］. 新課程（中學(xué)），2017（08）：181.

［3］ 汪祥艷. 基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)優(yōu)化策略［J］. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2019（05）：93.