許梅容

［摘? 要］ 文章結合新課標，以圖形的旋轉變換專題復習課為例，闡述如何用“五字法”分析專題復習教學的基本流程，并獲得教學啟示，以期為專題復習的教研工作提供有價值的參考與建議.

［關鍵詞］ 圖形與旋轉；專題復習；五字法

近期，筆者所在的城市開展了學習展播課活動，筆者認真學習了陳麗珊教師的《以旋轉為載體的幾何探究題》. 這是一節(jié)以圖形旋轉變換為載體的專題復習課. 旋轉變換在初中數學“圖形與幾何”內容中占有非常重要的地位，它貫穿在相交線、三角形、四邊形、圓等重要的幾何內容之中，是福建省中考的高頻考點. 課堂中，陳老師自信從容的教學風格讓筆者在聽課過程中如沐春風，筆者充分感受到了她對教學內容的理解與把握，對教學目標的合理制定與有效達成. 下面，筆者從教學基本流程、啟示與借鑒、思考與建議三個方面進行探討、交流.

教學基本流程

這節(jié)課，首先由師生共同梳理旋轉變換的定義和性質：

教師用幾何畫板演示旋轉變換的動態(tài)過程，學生直觀感受旋轉變換過程中變與不變的量，接著教師呈現例1.

例1? 如圖1所示，△AEF是△ABC繞點A逆時針旋轉后得到的，點B的對應點E恰好落在邊BC上，EF交AC于點G. 若∠B=50°，∠C=45°，求∠FGC的度數.

學生先自主思考，教師邊巡視邊指點學生如何思考. 學生完成自主思考后，生1上臺演示自己的思路：利用旋轉得到等腰三角形，再結合三角形外角與內角的關系求∠FGC的度數.

師：生1在表達自己的分析思路過程中，應加上度數符號. 我巡視時發(fā)現你們基本上是通過旋轉得到等腰三角形后進行計算的，那還有別的做法嗎？

生2上臺演示自己的思路：利用旋轉角相等與三角形的內角和求∠FGC的度數.

師：很好. 但我還有一步到位的做法——抓住旋轉角相等，直接得到結果.（全班恍然大悟）

接著，教師呈現例2.

例2? 如圖2所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，將Rt△ABC繞點A逆時針旋轉，使點C落在邊AB上的點C′處，求C′C的長.

學生先自主思考，教師邊巡視邊指點學生如何思考. 學生完成自主思考后，生3上臺表達自己的思路：首先標明圖形中各條線段的長.

師：為什么要標出這些線段的長？這是為解決這道題做什么鋪墊？

生3：求線段的長主要有兩種方法，一種是利用相似，另一種是利用勾股定理. 可通過作△ABC中AB邊上的高CH，然后利用相似與勾股定理求出C′C的長.

師：講得太好了！生3把整個解題思路都展示出來了. 沒錯，求線段的長，方法一是用相似，方法二是用勾股定理. 那有沒有直接用相似求解的做法呢？

生4：連接BB′，得到△ACC′與△ABB′相似，于是可求出C′C的長.

師：很好，生4運用了我們今天所學的變當中的不變. 變，是圖形旋轉產生的變化；不變，是角與邊的量不變. 大家對比一下，解這道題時，是運用勾股定理簡單呢，還是運用旋轉簡單？

生（齊）：運用旋轉簡單.

緊接著，教師呈現例3.

例3? 如圖3所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=k·AC，△ADE是由△ABC繞點A逆時針旋轉某個角度后得到的，BC與DE交于點F，直線BD與直線EC交于點G，求∠CGD的度數.

學生先自主思考，教師邊巡視邊指點學生如何思考. 學生完成自主思考后，生5表達了自己的求解方法：利用旋轉和四點共圓可求.

師：剛才我巡視了一圈，發(fā)現很多人都用的這種方法. 有同學運用其他方法嗎？請上臺講解一下.

生6：所求的角在△EDG中，要求∠CGD的度數，只需要求出另外兩個角的度數即可. 可以通過設角，利用旋轉和三角形的內角和列等式求解.

師：很好. 旋轉帶來了等式，下面聽聽我的做法——利用旋轉角相等和四邊形的內角和等于360°來求解.

師：對比上面幾種方法，哪一種更簡單？考試時我們要盡量采用更簡單的方法，以節(jié)省時間.

講解完例3之后，教師又給出了例4.

例4? 如圖4所示，△AOB和△MON都是等腰直角三角形，且∠AOB=∠MON=90°. 將Rt△MON繞點O旋轉，MN交AO于點P，當點N恰好落在AB邊上時，求證：PM 2+PN 2=2OP 2.

師生共同分析，將所求結論與勾股定理聯系起來，考慮通過旋轉構造直角三角形來證明.

生7：把△OPN繞點O逆時針旋轉后得到△OP′M，可得到等腰直角三角形OPP′和直角三角形PP′M，于是可證得結論.

師：這種方法跟我們剛才所用的方法一致，不過是反方向旋轉. 你們還有其他方法嗎？

生8：過點P分別作OM，ON的垂線段得到矩形后求證.

師：這種方法是由結論結合勾股定理分析出來的，采用的是旋轉前后的互逆思維. 同學們回去后，好好整理一下這節(jié)課所用到的思路.

教學的最后，教師請全班學生談談本節(jié)課的收獲，并布置分層作業(yè).

啟示與借鑒

《義務教育數學課程標準（2022年版）》提到，要讓學生經歷探索物體與圖形的旋轉變換過程，并掌握圖形旋轉變換的基本性質，強調從運動變化的觀點來研究圖形，理解圖形在旋轉時的變化規(guī)律和變化中的不變量. 學生基于前面幾節(jié)課對平移與對稱變換知識的積累，能夠初步解決圖形變換的基礎問題，但仍然缺乏用運動的觀點研究幾何圖形的能力. 下面筆者通過“引、思、比、導、評”五字法提出本節(jié)課對自己的啟示與借鑒.

1. 有引入 ——引之有“根”

教師利用導學案以填空的形式與學生共同復習旋轉變換的定義和性質，強調旋轉變換的三要素：旋轉中心、旋轉方向、旋轉角，得到對應點到旋轉中心的距離相等、旋轉前后的圖形全等、對應點與旋轉中心所連的線的夾角等于旋轉角等性質. 接著利用幾何畫板對圖形旋轉的過程進行現場演示，要求學生仔細觀察圖形旋轉過程中變與不變的量，讓學生直觀感受到旋轉過程中雖然圖形位置發(fā)生了變化，但圖形的形狀與大小不變，幫助學生更透徹地理解旋轉變換的性質，為接下來旋轉變換的應用做了充分的引入工作，夯實了旋轉變換的基礎.

2. 有思考——學之有“道”

美國數學家G·波利亞曾說過，老師講什么不重要， 學生想什么比這重要一千倍. 教師要想提高數學解題教學的有效性，就應當讓學生積極主動地參與學習過程，且教師必須了解學生的真實思考過程，也就是教師必須“讓”出時間暴露學生的思維過程. 本節(jié)課，教師呈現了四道例題，均由學生自主思考后現場板演評析，這就讓學生的思維過程充分暴露了出來，此時，教師不僅知道了學生的思維已經“到哪里了”，還可以確定學生的解題“能到哪里”. 據此，教師便準確地掌握了學生的困難點，接下來便對癥下藥地進行整理與歸納. 這種通過自主思考、演示說明的方法，讓學生感悟解決旋轉問題的門道，既有助于學生加深對旋轉的理解，又有助于提高學生的思維能力與解題能力，體現了學生學習數學的主體地位.

3. 有對比——教之有“方”

教學本節(jié)課時，教師在讓學生直觀感受圖形旋轉變換中變與不變的量的基礎上，開展學以致用的解題活動. 本節(jié)課所呈現的四道例題均由師生分別展示自己的解題思路后進行對比分析，這能讓學生感受到旋轉變換的不同應用. 如例1是共頂點逆時針旋轉后求∠FGC的度數的問題，教學時教師先讓兩名學生板演自己的思維過程，教師再展示自己利用旋轉角相等直接得到結論的解法，隨后讓學生對比幾種不同解法的優(yōu)劣，感受不同思維的解題過程，這種教學模式活化了學生的思維，拓寬了學生的解題思路，能讓學生掌握高效的解題方法，能增強他們的解題自信.

4. 有指導——導之有“術”

美國心理學家布魯納曾說，學習最大的刺激是對所學知識產生興趣. 學生學習主動性、積極性的調動關鍵在于教師的“導”. 本節(jié)課，教師呈現的四道例題從旋轉角相等、旋轉邊相等、旋轉帶來四點共圓、旋轉前后的互逆思維出發(fā)，讓學生通過觀察圖形，分析旋轉前后的邊角關系，自主思考條件與結論之間的聯系. 學生自主思考時，教師不斷巡視，幫助有需要的學生；學生展示思維時，教師在關鍵點處進行指點、引導，比如講解例2時，學生標出各條線段的長之后，教師馬上問“為什么要標出這些線段的長？這是為解決這道題做什么鋪墊”；當學生的分析思路不夠規(guī)范、嚴謹時，教師及時進行指導并得出最后的結論，此時學生異口同聲的“哦”，以及他們恍然大悟的表情都說明教師的指導恰到好處. 教師藝術性地指導，能把學生的思維導到問題關鍵處，能充分調動學生的學習興趣.

5. 有評價——評之有“據”

現代教學論認為，有兩條對應主線存在于教學之中，一條是知識，一條是情感，二者互相作用，互相制約. 本節(jié)課，學生完美呈現自己的思維過程后，教師自然流露出的贊許笑容是對學生積極的情感動員；教師情不自禁的評語“講得太好了，他把整個解題思路都展現出來了”“好，很好，你們講得都很好，比老師講得還到位”，給予了學生極好的思維評價，且能讓學生感受到當小老師的成就感. 整個教學過程，教師捕捉到了學生智慧的火花，并適時給予有實據的表揚和鼓勵，能激發(fā)學生的學習興趣，讓他們真正地積極參與課堂，做學習的主人.

思考與建議

下面，筆者結合自己對圖形與幾何專題復習的理解和聽課感悟，對本節(jié)課提兩點建議.

1. 要加強標準解題示范

我國著名數學教育家傅種孫先生曾指出：“教學的技藝，一方面要指示正規(guī)，另一方面要矯正錯誤，必須兼施并用，才會有較好的效果. ”陳老師在本節(jié)專題復習課中只用析題的形式展示師生的解題思維過程，沒有發(fā)揮標準解答的板書示范作用，筆者建議板書一道例題的標準解答過程. 教學時可以先由學生板書自己的思維過程，再由教師用其他顏色的筆指出學生解答過程中的關鍵步驟和錯誤點，或者由其他學生根據該生的板書情況進行訂正和優(yōu)化，還可以由師生共同完成一道例題標準解答過程的規(guī)范板書，讓學生在解答類似問題時可以呈現規(guī)范的書寫格式、解題步驟和圖形作法等，提高學生用規(guī)范的數學語言進行表達的能力.

2. 進一步優(yōu)化例題設計

本節(jié)課4道例題的解決都以三角形為基本圖形，借助旋轉的性質來完成，設問方式上則以求角、求邊、求邊與邊的關系進行呈現，雖然在解題難度上有所遞進，但每道例題之間沒有形成系列變式，每道題都需要學生花時間理解題意，若能在一道基礎題的基礎上適度變式、高效聚合，更能達到專題復習做一題、會一類、通一片的效果.

比如，引例可以為：如圖5所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，將Rt△ABC繞點A順時針旋轉后得到△AEF，使得點B的對應點E恰好落在邊BC上，EF交AC于點G，求∠FGC的度數.

可以將上述引例作為基礎題，設計如下系列變式問題.

變式1? 把引例中的已知條件“∠B=60°”改為“∠B=θ”，其他條件和結論都不變.

（變式1能讓學生感悟從特殊到一般的思想，解題時抓住旋轉角不變這一本質即可）

變式2? 把引例中的“∠B=60°”改為“AB=1，AC=”，其他條件不變，結論變?yōu)椤扒驠C的長”.

變式3? 將變式2中的條件“AB=1，AC=”變?yōu)椤癆B=kAC”，其他條件不變，結論變?yōu)椤澳芊袂蟪鯢C的長”.

等學生完成求解后，教師可繼續(xù)追問“若旋轉中心不是直角頂點，還有以上結果嗎”“若△ABC不是直角三角形，上述結論還成立嗎”.

這樣的設計，能讓學生在解決系列變式中用最少的時間建立起已有經驗同新求問題之間有意義的關聯. 通過旋轉變換構造全等三角形或相似三角形或直角三角形，展現知識的發(fā)生、發(fā)展過程，有助于學生認清問題的本質，掌握一般化的求解方法，從而提升學生的數學學科核心素養(yǎng).

提高教學質量的關鍵在課堂，提高課堂教學質量的前提是教師進行精心的備課. 針對復習課，教師需要不斷地思考如何夯實知識、精選典型例題、做好變式設計，從而深化學生的思維，讓學生做到舉一反三、融會貫通，從而提升學生的數學核心素養(yǎng)，達到高效課堂的目標.