【摘?要】?基于“新課標(biāo)”對(duì)近三年江蘇省中考尺規(guī)作圖題的命題趨勢(shì)進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)各市對(duì)尺規(guī)作圖的重視程度越來(lái)越高，且命題形式也呈現(xiàn)出了多樣化特征.本文以具體案例闡述了主題探究、材料閱讀、搭建支架三類(lèi)尺規(guī)作圖問(wèn)題，并在此基礎(chǔ)上總結(jié)出了兩點(diǎn)教學(xué)展望.

【關(guān)鍵詞】?尺規(guī)作圖；新課標(biāo)；推理能力；數(shù)學(xué)文化；命題

0?引言

尺規(guī)作圖是指在次數(shù)有限的情況下，用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)解決平面內(nèi)的幾何作圖問(wèn)題，最早起源于古希臘數(shù)學(xué)課題研究.尺規(guī)作圖作為基礎(chǔ)教育領(lǐng)域的數(shù)學(xué)必學(xué)內(nèi)容，是融合觀察、分析、預(yù)測(cè)、判斷的復(fù)雜思維活動(dòng)，旨在幫助學(xué)生表達(dá)幾何思維、提升推理能力、發(fā)展核心素養(yǎng).最新頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）對(duì)尺規(guī)作圖的教學(xué)與評(píng)價(jià)提出了新的要求，并已在2022年江蘇省各地中考試題中有所體現(xiàn).本文將以總體分析與案例剖析相結(jié)合的方式分析“新課標(biāo)”下尺規(guī)作圖的命題趨勢(shì)，并提出相應(yīng)的教學(xué)展望，以更好應(yīng)對(duì)2024年全省中考統(tǒng)一命題與“新課標(biāo)”落實(shí)帶來(lái)的挑戰(zhàn).

1?“新課標(biāo)”中尺規(guī)作圖的內(nèi)容變化分析

相較于《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》，“新課標(biāo)”在初中階段的“尺規(guī)作圖”部分新增了以下表述：“通過(guò)尺規(guī)作圖等直觀操作方法，理解平面圖形的性質(zhì)與關(guān)系；經(jīng)歷尺規(guī)作圖的過(guò)程，增強(qiáng)動(dòng)手能力，能想象出通過(guò)尺規(guī)作圖的操作所形成的圖形，理解尺規(guī)作圖的基本原理與方法，發(fā)展空間觀念和空間想象力.”[1]這彰顯了尺規(guī)作圖作為一種探究方法與認(rèn)知策略的學(xué)習(xí)價(jià)值，以及對(duì)于發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要性.另外，“新課標(biāo)”在小學(xué)階段首次新增了三個(gè)“尺規(guī)作圖”內(nèi)容，要求學(xué)生在步入初中前就掌握作一條線段等于已知線段、將三角形三邊畫(huà)到一條直線上以及畫(huà)三角形的作圖問(wèn)題.由此看來(lái)，在“新課標(biāo)”背景下，初中階段更應(yīng)將尺規(guī)作圖視為促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的重要載體，讓學(xué)生在分析基本圖形與解決作圖問(wèn)題的過(guò)程中，逐步體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)、形成學(xué)科基本觀念.

2?近三年江蘇省中考尺規(guī)作圖命題趨勢(shì)分析

筆者梳理了江蘇省十二個(gè)地級(jí)市近三年中考的尺規(guī)作圖題，并在表1的基礎(chǔ)上制作了圖1的條形統(tǒng)計(jì)圖.通過(guò)分析表1不難發(fā)現(xiàn)，近三年只有無(wú)錫等5個(gè)城市從未“缺席”尺規(guī)作圖，到了2022年除徐州外的其他城市均有所考察，這足以說(shuō)明“新課標(biāo)”的頒布引發(fā)了各市命題組對(duì)尺規(guī)作圖的重視.另外，在2020年與2021年大部分尺規(guī)作圖題的題號(hào)靠前，而到了2022年開(kāi)始有越來(lái)越多的城市將尺規(guī)作圖的試題類(lèi)型從基礎(chǔ)題或中檔題向探究題轉(zhuǎn)型（如圖1）.由此看來(lái)，在“新課標(biāo)”頒布后，尺規(guī)作圖命題熱度不斷高漲的同時(shí)，其評(píng)價(jià)要求與命題趨勢(shì)也悄然發(fā)生了變化，單一考察作圖技法的命題形式已逐漸被淘汰，取而代之的是將活動(dòng)探究、材料分析、計(jì)算說(shuō)理等高階思維活動(dòng)嵌入其中，很多城市甚至史無(wú)前例地將其作為中考試卷最后一題的最后一問(wèn)，使一把無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)也“玩”出了花樣、新意與深度.圖1?探究性試題題量占總題量的百分比

3?例說(shuō)“新課標(biāo)”下尺規(guī)作圖命題形式的變化

“新課標(biāo)”不僅在“學(xué)業(yè)要求”中明確提出：“經(jīng)歷數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)運(yùn)用、實(shí)踐探索活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)積累，逐步產(chǎn)生對(duì)數(shù)學(xué)的好奇心、求知欲，以及對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和自信心，初步養(yǎng)成獨(dú)立思考、探究質(zhì)疑等學(xué)習(xí)習(xí)慣”，而且在“命題原則”也指出：“適當(dāng)提高應(yīng)用性、探究性和綜合性試題的比例.”為了響應(yīng)“新課標(biāo)”的政策要求，2022年江蘇省各地中考以尺規(guī)作圖為載體嘗試命制了主題活動(dòng)、材料閱讀、搭建支架等形式多樣的探究性試題，本文便以2022年鎮(zhèn)江、鹽城、揚(yáng)州市中考的尺規(guī)作圖題為例，簡(jiǎn)要闡述命題形式的變革與創(chuàng)新.

3.1?以主題活動(dòng)形式豐富作圖探究過(guò)程

主題活動(dòng)型試題立足于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，圍繞特定主題經(jīng)歷提出問(wèn)題、制定計(jì)劃、嘗試解決、評(píng)鑒反思等過(guò)程，最終發(fā)現(xiàn)某種規(guī)律或得出某個(gè)結(jié)論以解決更復(fù)雜的問(wèn)題.尺規(guī)作圖與主題活動(dòng)一樣有明確的目標(biāo)要求，再加上直尺與圓規(guī)的工具“極簡(jiǎn)性”，在達(dá)成目標(biāo)前往往需要較多思維活動(dòng)的參與，甚至在作圖過(guò)程中時(shí)常會(huì)對(duì)不同作圖方案進(jìn)行反復(fù)試錯(cuò)與修正.由此可見(jiàn)，主題活動(dòng)型試題與尺規(guī)作圖的目標(biāo)明確、聚焦過(guò)程、方法多元化、關(guān)注可行性等特點(diǎn)高度一致，能將其本身蘊(yùn)含的探究本質(zhì)更加鮮活地呈現(xiàn).反之，尺規(guī)作圖也為開(kāi)發(fā)主題活動(dòng)型試題提供了豐富的素材資源，二者可謂相輔相成.

評(píng)析?本題是一道以圓規(guī)等分弧為主題的探究性試題.根據(jù)圓的半徑處處相等，僅用圓規(guī)在圓上易構(gòu)造60°的弧.操作與交流環(huán)節(jié)便以此為探究起點(diǎn)，在n的取值由簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從特殊到一般的遞進(jìn)設(shè)計(jì)下，引導(dǎo)學(xué)生逐步感受可利用60°與已知度數(shù)的弧構(gòu)造和差關(guān)系進(jìn)而作出目標(biāo)圖形，最終解決作十四等分弧的復(fù)雜作圖問(wèn)題.整個(gè)過(guò)程經(jīng)歷了制定方案、合理性評(píng)估、方法遷移等過(guò)程，讓學(xué)生在操作、實(shí)驗(yàn)中由直觀感知過(guò)渡到理性分析，由合情猜想上升至演繹推理，以一系列行之有效的探究活動(dòng)考察了學(xué)生核心素養(yǎng)不同維度的發(fā)展水平.

3.2?以材料閱讀形式開(kāi)闊作圖想象空間

材料閱讀型試題需要通過(guò)提煉材料中的關(guān)鍵信息，將相應(yīng)的知識(shí)、思想與方法遷移到具體問(wèn)題中去.皮亞杰指出：學(xué)生對(duì)新穎且與自身經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)、富有挑戰(zhàn)又易于上手的閱讀內(nèi)容是最感興趣的[2].因此，引導(dǎo)性材料的設(shè)計(jì)不僅要基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，而且要合理控制閱讀理解的難度.直線與圓作為尺規(guī)作圖的基本元素是學(xué)生從小學(xué)就開(kāi)始接觸的，在初中階段又作了更加系統(tǒng)、深入的研究，有扎實(shí)的知識(shí)與理解基礎(chǔ).另外，尺規(guī)作圖屬于幾何領(lǐng)域，教材中“閱讀板塊”有多處是介紹幾何文化的，學(xué)生有相關(guān)閱讀經(jīng)驗(yàn).由此看來(lái)，以材料閱讀形式命制尺規(guī)作圖題符合學(xué)生的一般認(rèn)知規(guī)律，能賦予作圖問(wèn)題更加開(kāi)闊的想象空間.

案例2?（2022年鹽城）經(jīng)典回顧：梅文鼎是我國(guó)清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法．圖4是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在△ABC中，∠ACB＝90°，四邊形ADEB，ACHI，BFGC分別是以Rt△ABC的三邊為一邊的正方形．延長(zhǎng)IH和FG，交于點(diǎn)L，連接LC并延長(zhǎng)交DE于點(diǎn)J，交AB于點(diǎn)K，延長(zhǎng)DA交IL于點(diǎn)M．

（1）證明：AD＝LC；

（2）證明：正方形ACHI的面積等于四邊形ACLM的面積；

（3）請(qǐng)利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．

遷移拓展：（4）如圖5，四邊形ACHI和BFGC分別是以△ABC的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在AB下方是否存在平行四邊形ADEB，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形ACHI，BFGC的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形ADEB（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

評(píng)析?本題需要學(xué)生從材料中提煉“出入相補(bǔ)”原理以及平移變換策略，并將其遷移至平行四邊形中解決作圖問(wèn)題.勾股定理作為舉世聞名的重要數(shù)學(xué)定理，在現(xiàn)有的約500種證明方法中大多數(shù)以構(gòu)造幾何圖形完成證明，是數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典范例.因此，將勾股定理的相關(guān)拓展作為閱讀素材，不僅尊重學(xué)生的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，符合學(xué)生的閱讀理解水平，而且從圖5到圖6的等積變換過(guò)程正體現(xiàn)了勾股定理的轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等本源性思想方法，是幫助學(xué)生突破作圖方式固化的關(guān)鍵，在豐富學(xué)生知識(shí)視野的同時(shí)也考察了學(xué)生的想象力與創(chuàng)造力.

3.3?以搭建支架形式提升作圖思維厚度

搭建支架型試題通過(guò)逐層設(shè)問(wèn)的方式為學(xué)生提供適宜、小步調(diào)的線索，在完成簡(jiǎn)單任務(wù)的基礎(chǔ)上不斷深化對(duì)最終任務(wù)的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而借助支架一步步地向上攀升.根據(jù)維果斯基的“最近發(fā)展區(qū)”理論，命題者一般已預(yù)設(shè)好學(xué)生當(dāng)下的知識(shí)水平不足以解決問(wèn)題，于是通過(guò)設(shè)計(jì)支架幫助學(xué)生逐步達(dá)成理解.從元素構(gòu)成角度來(lái)看，尺規(guī)作圖主要通過(guò)不斷疊加直線與圓作出目標(biāo)圖形，疊加次數(shù)越多往往推理層級(jí)越高，問(wèn)題也就越具挑戰(zhàn)性.事實(shí)上，尺規(guī)作圖的基本特征之一正是“有限次”操作，這意味著只要理論上通過(guò)作圖使得目標(biāo)圖形存在[3]，再提供適當(dāng)支架便能讓學(xué)生在面對(duì)頗有難度的挑戰(zhàn)性任務(wù)時(shí)，基于作圖經(jīng)驗(yàn)、順應(yīng)支架引導(dǎo)向更高階的思維邁進(jìn).

案例3?（2022年揚(yáng)州）問(wèn)題提出：如何用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條直線或圓弧平分已知扇形的面積？

初步嘗試：如圖7，已知扇形OAB，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺過(guò)圓心O作一條直線，使扇形的面積被這條直線平分；

問(wèn)題聯(lián)想：如圖8，已知線段MN，請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一個(gè)以MN為斜邊的等腰直角三角形MNP；

問(wèn)題再解：請(qǐng)你用圓規(guī)和無(wú)刻度的直尺作一條以點(diǎn)O為圓心的圓弧，使扇形OAB的面積被這條圓弧平分．（友情提醒：以上作圖均不寫(xiě)作法，但需保留作圖痕跡）

評(píng)析?本題通過(guò)支架式設(shè)問(wèn)先讓學(xué)生在第一問(wèn)中體會(huì)角平分線的等分價(jià)值，然后在第二問(wèn)中通過(guò)尺規(guī)作等腰直角三角形初步感悟2∶1的邊長(zhǎng)關(guān)系，最后在公式推導(dǎo)、計(jì)算說(shuō)理后發(fā)現(xiàn)小扇形與大扇形的半徑比也是2∶1，進(jìn)而融合前兩個(gè)支架一起解決用圓弧平分扇形面積的作圖問(wèn)題.由于本題作圖分三次完成，學(xué)生每次在紙面上留下的作圖痕跡，都是嘗試、分析、思考、論證的重要依據(jù)，均能為問(wèn)題探究提供思路與經(jīng)驗(yàn)，為學(xué)生營(yíng)造一個(gè)認(rèn)知遞進(jìn)的思維空間，在考察動(dòng)手操作能力的同時(shí)亦關(guān)注核心素養(yǎng)的發(fā)展與進(jìn)階.

4?尺規(guī)作圖的教學(xué)展望

4.1?以文化作為尺規(guī)作圖教學(xué)的基底色

從數(shù)學(xué)史的發(fā)展來(lái)看，自從推理論證與形式邏輯的規(guī)范體系建立后，量尺和圓規(guī)作為生產(chǎn)、生活的工具便被視為數(shù)學(xué)思想的重要事物，是2500年前人類(lèi)精神世界抽象產(chǎn)出的代表，其承載了豐厚的數(shù)學(xué)文化.事實(shí)上，文化的形成過(guò)程本身就是一個(gè)探索、研究的過(guò)程，因此上述提到的三類(lèi)尺規(guī)作圖問(wèn)題雖以不同的探究形式呈現(xiàn)，但無(wú)一例外地蘊(yùn)含了諸多文化要素，并貫穿于整個(gè)問(wèn)題設(shè)計(jì)中.如，案例1中主題探究的原型正是古希臘三大幾何作圖問(wèn)題之一的三等分角問(wèn)題[4]，有著不可估量的文化研究?jī)r(jià)值；案例2以材料閱讀的形式介紹了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家證明勾股定理的方法，將數(shù)學(xué)文化與愛(ài)國(guó)主義教育進(jìn)行了較好的融合；案例3則以搭建支架的形式體現(xiàn)了《幾何原本》中所構(gòu)建的公理化思想.

“新課標(biāo)”在“課程性質(zhì)”與“課程理念”中分別提到，“數(shù)學(xué)承載著思想和文化，是人類(lèi)文明的重要組成部分”“要關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化”，并明確建議在試題命制中“適當(dāng)引入數(shù)學(xué)文化”.由此可見(jiàn)，無(wú)論是教學(xué)還是評(píng)價(jià)，“新課標(biāo)”在文化滲透方面均提出了較高的要求.在“新課標(biāo)”背景下，秉持著以評(píng)促教的觀念，應(yīng)將文化視為尺規(guī)作圖教學(xué)的底色，讓學(xué)生在獲得浸潤(rùn)與熏陶的同時(shí)，以文化為載體增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于尺規(guī)作圖內(nèi)涵、思想的理解與頓悟.正如史寧中教授所說(shuō)，尺規(guī)作圖教學(xué)，要教想法，更要教想象力，而非作圖技巧.數(shù)學(xué)文化作為一個(gè)偌大的精神糧倉(cāng)，可以為學(xué)生源源不斷地輸送靈感，將其融入尺規(guī)作圖教學(xué)為發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提供了新的方式與契機(jī).當(dāng)然，這同時(shí)也對(duì)教師的學(xué)科職業(yè)素養(yǎng)提出了更高的要求，驅(qū)使著教師源源不斷地汲取知識(shí)、拓寬視野、提升自我.

4.2?將推理作為尺規(guī)作圖教學(xué)的著力點(diǎn)

在西方數(shù)學(xué)史上，無(wú)刻度的直尺與圓規(guī)曾被譽(yù)為歐幾里得工具，是操作工具之上的抽象思維工具，一度被視為訓(xùn)練思維、提升腦力的重要手段.探究類(lèi)試題一般是對(duì)某個(gè)綜合、復(fù)雜問(wèn)題的深入研究，需要通過(guò)推理突破條件設(shè)置的重重障礙，最終實(shí)現(xiàn)作圖目標(biāo).因此，在以上三類(lèi)探究性尺規(guī)作圖問(wèn)題中，均融入了推理要素并以不同形態(tài)呈現(xiàn).如，案例1以等分弧為主題運(yùn)用了對(duì)比、類(lèi)比、猜想、歸納等數(shù)學(xué)思想，突出了對(duì)推理方法的考察；在案例2中，學(xué)生需要對(duì)文本信息進(jìn)行篩選與判斷，通過(guò)提取閱讀材料的核心內(nèi)容將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語(yǔ)言再轉(zhuǎn)化為作圖語(yǔ)言，體現(xiàn)了信息收集、整合、轉(zhuǎn)化等方面的推理能力；在案例3中，題目以層層遞進(jìn)的設(shè)問(wèn)方式讓學(xué)生經(jīng)歷講邏輯、重聯(lián)系的思考過(guò)程，考察了從推理意識(shí)到推理能力的素養(yǎng)進(jìn)階水平.

在大力倡導(dǎo)核心素養(yǎng)發(fā)展的教改背景下，“推理能力”是初中生必備核心素養(yǎng)之一.“新課標(biāo)”指出“推理能力主要是指從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題或結(jié)論的能力，有助于逐步養(yǎng)成重論據(jù)、合乎邏輯的思維習(xí)慣，形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度與理性精神.”在“新課標(biāo)”對(duì)推理素養(yǎng)要求逐漸提高的情況下，尺規(guī)作圖以其凸顯幾何本質(zhì)、操作簡(jiǎn)易方便等優(yōu)勢(shì)，逐漸成為了訓(xùn)練或考察學(xué)生推理水平的有效著力點(diǎn).將尺規(guī)作圖與推理、探究相融合，并不亞于時(shí)下熱門(mén)的“問(wèn)題解決”，其以微研究的試題形態(tài)將尺規(guī)作圖中的推理要素放大化，基于尺規(guī)的本源性幾何特征更加明晰了推理教學(xué)的學(xué)科性與層次性.因此，如何在教學(xué)中創(chuàng)意十足、方式多樣地將尺規(guī)作圖與推理素養(yǎng)相結(jié)合，并以此促進(jìn)學(xué)生推理能力教學(xué)的優(yōu)化改革，具有有一定的前瞻教育意義，需要教師們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中持續(xù)不斷地探索.

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作者簡(jiǎn)介?周煉（1992—），男，江蘇泰州人，中學(xué)一級(jí)教師；曾獲江蘇省教科研先進(jìn)個(gè)人，江蘇省青年教師初中數(shù)學(xué)教學(xué)基本功大賽一等獎(jiǎng)，泰州市卓越教師培養(yǎng)對(duì)象.