【摘?要】?“大容量、快節(jié)奏、高密度、滿堂灌、滿堂問(wèn)”的數(shù)學(xué)課堂催生了大批跟不上、聽(tīng)不懂、學(xué)不會(huì)的學(xué)生，數(shù)學(xué)課堂留白由此應(yīng)運(yùn)而生，近年來(lái)更是越來(lái)越受到廣大研究者們的青睞.梳理數(shù)學(xué)課堂留白的相關(guān)研究有助于我們正確認(rèn)識(shí)和把握其研究方向，以期日后研究更加趨于完善.以數(shù)學(xué)課堂留白為研究對(duì)象，通過(guò)對(duì)“中國(guó)知網(wǎng)”關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白文獻(xiàn)的分析，研究總結(jié)了中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的內(nèi)涵、研究?jī)r(jià)值、教學(xué)策略以及教學(xué)原則，并對(duì)未來(lái)發(fā)展進(jìn)行展望，以期把握中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的發(fā)展脈絡(luò)，更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)課堂留白的進(jìn)一步研究.

【關(guān)鍵詞】?數(shù)學(xué)課堂留白;回顧;展望

1?研究緣起

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》基本理念的第3條指出，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)[1].那么，如何才能啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)？數(shù)學(xué)課堂留白正是落實(shí)這個(gè)基本理念的重要且有效手段.“三教”教育理念也呼吁數(shù)學(xué)課堂要“教思考、教表達(dá)、教體驗(yàn)”，而對(duì)于怎么才能教會(huì)學(xué)生思考、表達(dá)和體驗(yàn)，以及在何處教等問(wèn)題，課堂留白無(wú)疑是回答這些問(wèn)題的最佳答案之一.隨著教育現(xiàn)代化的發(fā)展，教育教學(xué)也逐漸追求藝術(shù)化.近些年關(guān)于數(shù)學(xué)課堂留白的研究也是越來(lái)越豐富，但目前幾乎沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白的研究進(jìn)行系統(tǒng)地梳理的，因此，對(duì)課堂留白進(jìn)行文獻(xiàn)綜述是必要的.一方面，梳理近二十年的數(shù)學(xué)課堂留白相關(guān)研究，本身就具有重要意義，另一方面，可為后續(xù)研究提供一定理論參考.

2?研究設(shè)計(jì)

2.1?研究對(duì)象

為總結(jié)我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的研究狀況和主要觀點(diǎn)，在知網(wǎng)上，以檢索條件為：（（（（題名=‘留白）OR（題名=‘空白））OR（題名=‘布白））AND（題名=‘?dāng)?shù)學(xué)））進(jìn)行檢索，共搜索到313篇文獻(xiàn).對(duì)發(fā)文年限限定為2000年1月1日至2022年9月27日，再剔除無(wú)關(guān)文獻(xiàn)后共得到307條記錄.本研究以這307篇文獻(xiàn)作為研究對(duì)象.

2.2?研究方法

研究運(yùn)用文獻(xiàn)研究法對(duì)我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白進(jìn)行研究，通過(guò)內(nèi)容分析法對(duì)其進(jìn)行質(zhì)性分析.內(nèi)容分析法主要是對(duì)研究文獻(xiàn)的內(nèi)容進(jìn)行分析，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的一種方法，其目的是為了揭示數(shù)學(xué)課堂留白研究的隱性?xún)?nèi)容，最終歸納出研究聚焦點(diǎn)并對(duì)未來(lái)研究趨勢(shì)給出一定展望.

3?我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白研究的回顧

對(duì)前述307篇文獻(xiàn)進(jìn)行梳理分析，不難得出21世紀(jì)以來(lái)我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白研究主要聚焦于其概念界定、研究?jī)r(jià)值、教學(xué)策略、留白原則等方面.

3.1?關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的概念界定

對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白進(jìn)行概念界定，是多數(shù)學(xué)者在進(jìn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白研究都不可避免的話題，因?yàn)閷?duì)概念界定的結(jié)果影響了其后續(xù)的研究.只有明晰了其本身概念，才有可能做好整個(gè)研究，由于數(shù)學(xué)課堂留白沒(méi)有一個(gè)屬于自己的權(quán)威界定，所以，對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白是什么進(jìn)行探討日漸成為首要的問(wèn)題.

3.1.1?從教學(xué)藝術(shù)角度進(jìn)行界定

“留白”雅稱(chēng)“余玉”，是藝術(shù)作品中一種高妙的表現(xiàn)手法.“留白”一詞多與藝術(shù)結(jié)合在一起使用，被稱(chēng)為“留白藝術(shù)”，是指創(chuàng)作者在作品中有意預(yù)留空白之處，為觀者、讀者或聆聽(tīng)者留下自主想象的空間[2].國(guó)內(nèi)學(xué)者對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白的界定多數(shù)是從“留白”出發(fā)，再結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用或意義進(jìn)行的.他們認(rèn)為教學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，數(shù)學(xué)教學(xué)也應(yīng)該同其他藝術(shù)一樣具有一定藝術(shù)性，因此，像留白這樣的藝術(shù)手法也適用于數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，所以數(shù)學(xué)課堂留白由此而來(lái).國(guó)內(nèi)最早的一篇關(guān)于數(shù)學(xué)課堂留白研究的是四川省巴中師范附小教師茍宗榮1988年發(fā)表在《小學(xué)教學(xué)研究》上的數(shù)學(xué)教學(xué)中的“空白藝術(shù)”，該篇文章旨在呼吁數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該效法運(yùn)用文學(xué)、藝術(shù)領(lǐng)域內(nèi)的“空白藝術(shù)”[3].蔡甜甜等認(rèn)為，數(shù)學(xué)課堂留白，是指數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)的某些環(huán)節(jié)中，有意留出一定的時(shí)間和空間讓學(xué)生自主思考、感悟，為學(xué)生構(gòu)建屬于自己的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從事數(shù)學(xué)探究活動(dòng)，表達(dá)對(duì)數(shù)學(xué)的理解提供機(jī)會(huì)[2]29.馬茂年等認(rèn)為，課堂留白是指教師在一定的時(shí)空中，針對(duì)某一目標(biāo)，有意留出相當(dāng)?shù)臅r(shí)間和空間讓學(xué)生思考，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生自己構(gòu)建對(duì)數(shù)學(xué)的理解[4].

3.1.2?從教學(xué)策略角度進(jìn)行界定

除了把數(shù)學(xué)課堂留白當(dāng)作一種豐富的教學(xué)藝術(shù)外，還有不少研究者把其看作是一種教學(xué)策略，如林建峰傾向把數(shù)學(xué)課堂教學(xué)留白定義為教師在教學(xué)中根據(jù)教學(xué)需要，通過(guò)提出問(wèn)題、質(zhì)疑釋疑、布置作業(yè)等方式給學(xué)生留下“空白”，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)思考與探究，引起學(xué)生的聯(lián)想與創(chuàng)新，引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)填補(bǔ)空白，從而更好地發(fā)揮學(xué)生主體作用的一種教學(xué)策略，他認(rèn)為留白不是把學(xué)習(xí)內(nèi)容直接講述給學(xué)生[5].也有學(xué)者把數(shù)學(xué)課堂留白理解為教師從教材內(nèi)容和實(shí)際需要出發(fā)，通過(guò)言語(yǔ)激發(fā)、提出問(wèn)題等方式留下空白，讓學(xué)生通過(guò)自主的實(shí)踐與操作、聯(lián)想與交流、思考與探究來(lái)掌握學(xué)習(xí)內(nèi)容或解題思路，更好地發(fā)揮學(xué)生主觀能動(dòng)性的一種教學(xué)策略[6].

數(shù)學(xué)課堂留白無(wú)論是作為一種教學(xué)策略還是教學(xué)藝術(shù)，其目的都是為了提高課堂效益，本質(zhì)是使教師教得少、學(xué)生學(xué)得多.把數(shù)學(xué)課堂留白看成一種教學(xué)藝術(shù)的研究思想不難理解，一方面，是因?yàn)椤傲舭住睉?yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)之前本身就作為一種藝術(shù)手法而存在于其他領(lǐng)域，所以這是直接借鑒引用了其他學(xué)科領(lǐng)域的研究思路;另一方面，目前對(duì)于數(shù)學(xué)課堂留白進(jìn)行的很大一部分研究者都是中小學(xué)數(shù)學(xué)在職教師，所以在他們看來(lái)在數(shù)學(xué)課堂中“留白”是有經(jīng)驗(yàn)的老教師才會(huì)有的舉措，因?yàn)樾率纸處熗疾桓曳攀帧傲舭住?，所以“留白”是作為一種藝術(shù)存在而提高教學(xué)的藝術(shù)性.把其看作一種教學(xué)策略研究也有其合理性.究其原因，一是對(duì)“留白”運(yùn)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行了一定改編，而不是一味地生搬硬套;二是由于“留白”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用，不僅提高了教學(xué)的藝術(shù)性，還與數(shù)學(xué)教學(xué)中的其他策略有著類(lèi)似的作用.至于是作為教學(xué)藝術(shù)還是策略，是要根據(jù)實(shí)施者而言的.一般而言，對(duì)于新手教師，應(yīng)該更多的把它當(dāng)成一種策略；對(duì)于資深教師，更應(yīng)把其看作是提高課堂藝術(shù)性的一種手法.基于此，研究對(duì)數(shù)學(xué)課堂留白做出概念界定如下：數(shù)學(xué)課堂留白是指在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)過(guò)程中，為了引導(dǎo)學(xué)生更好地提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)，教師有意或無(wú)意地留出一定的“空白”，促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)理解進(jìn)行自我建構(gòu)的一種策略或教學(xué)藝術(shù).這里的“空白”包括時(shí)間、空間等的空白，目的是基于此學(xué)生可以形成一個(gè)認(rèn)知缺口，主動(dòng)補(bǔ)白，當(dāng)然，補(bǔ)白的過(guò)程是在教師引導(dǎo)下進(jìn)行.

3.2?關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的研究?jī)r(jià)值

數(shù)學(xué)課堂留白之所以能夠日漸被廣大研究者所青睞，不僅因?yàn)樗小安谈衲峥诵?yīng)”、建構(gòu)主義理論、格式塔完形理論、等待時(shí)間理論等作為其理論基礎(chǔ)，還因?yàn)樗哂胸S富的理論價(jià)值與實(shí)踐價(jià)值.

3.2.1?課堂留白促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)領(lǐng)悟、強(qiáng)化數(shù)學(xué)交流，利于學(xué)生主觀能動(dòng)性的發(fā)展

教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中運(yùn)用留白策略，可以達(dá)到“教思考、教表達(dá)、教體驗(yàn)”的目的，在此過(guò)程中學(xué)生可獲得更多的數(shù)學(xué)體驗(yàn)，從而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解，也能增進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，進(jìn)而有效的落實(shí)核心素養(yǎng).此外，學(xué)生在補(bǔ)白后，還能夠意識(shí)到數(shù)學(xué)問(wèn)題是可以通過(guò)自己的逐步嘗試解決的，充分認(rèn)識(shí)到“自我”價(jià)值，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)自信.這有助于激發(fā)學(xué)生的內(nèi)在動(dòng)力，從而將自己更好的投入課堂學(xué)習(xí)中，極大地激發(fā)和提升學(xué)生的主體意識(shí)[4]75.

3.2.2?課堂留白有助于“提質(zhì)減負(fù)”、提高課堂效益，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)

“提質(zhì)減負(fù)”是“雙減”的內(nèi)在要求，而課堂留白正是落實(shí)提質(zhì)減負(fù)的有效策略.課堂留白表面上看是在放慢教學(xué)進(jìn)度，實(shí)則慢中有快，與“慢教育”理念不謀而合.它可為學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題及分析和解決問(wèn)題創(chuàng)造條件、有效提高學(xué)生課堂參與度、有助于學(xué)生深度學(xué)習(xí)實(shí)現(xiàn)“少教多學(xué)”[2]30.還有助于激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)節(jié)課堂節(jié)奏和教學(xué)氣氛；減少教師無(wú)效勞動(dòng)，提高教學(xué)效率；培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思維，提升自我效能感[6]255.

3.2.3?課堂留白為數(shù)學(xué)教學(xué)提供生長(zhǎng)點(diǎn)，更有利于教師的教和學(xué)生的學(xué)

課堂應(yīng)該是動(dòng)態(tài)生成的，不是一成不變的，所以教學(xué)不僅要注重預(yù)設(shè)，同時(shí)也不能忽視生成，而在課堂留白處，學(xué)生的思維是高度活躍的，為教學(xué)的生成提供了有利空間.此外，在留白環(huán)節(jié)中，改變了以往“一言堂”的現(xiàn)象，教師的作用更多的是引導(dǎo)，教學(xué)的主體是學(xué)生.學(xué)生不在是知識(shí)的被動(dòng)接受者，而是主動(dòng)獲取知識(shí)的學(xué)習(xí)者.

3.3?關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的教學(xué)策略

在明晰了課堂留白的概念和意義之后，多數(shù)學(xué)者會(huì)把目光聚焦在數(shù)學(xué)課堂留白的教學(xué)策略上.研究梳理有關(guān)文獻(xiàn)可知，國(guó)內(nèi)關(guān)于數(shù)學(xué)課堂留白策略的研究是比較豐富的，此處的策略是指在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行課堂留白的技巧.對(duì)策略的研究因其分析角度或課堂留白分類(lèi)方式的不同，所得結(jié)果也不同，大部分研究者從課堂留白的形式、時(shí)機(jī)、內(nèi)容、以及在教學(xué)過(guò)程出現(xiàn)的位置等角度進(jìn)行分析.

3.3.1?數(shù)學(xué)課堂留白要有的放矢、因地制宜

數(shù)學(xué)教師既要敢于留白，又要有技巧有方法的進(jìn)行留白.留白要掌握好度，處理好預(yù)設(shè)與生成、留白過(guò)多或過(guò)少、教師與學(xué)生，以及留白與補(bǔ)白的關(guān)系[7].不能僅僅為了留白而留白，還要體現(xiàn)學(xué)生主體地位和教師主導(dǎo)作用，考慮學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)，留白之后根據(jù)學(xué)生反饋情況，給予適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo).應(yīng)該是從教學(xué)內(nèi)容、時(shí)間、空間出發(fā)，系統(tǒng)、全面、多層次、多角度地設(shè)置空白，可以在導(dǎo)入時(shí)、銜接時(shí)、高潮時(shí)、結(jié)尾時(shí)和板書(shū)時(shí)留白，創(chuàng)設(shè)知識(shí)上的、心理上的、板書(shū)時(shí)的空白[7]40，41[8].

3.3.2?數(shù)學(xué)課堂留白要注意留白時(shí)機(jī)，適時(shí)留白

在什么時(shí)候留白、在何處留白是研究者們共同關(guān)注的問(wèn)題.從教學(xué)行為角度來(lái)看，教師可以在導(dǎo)入新課、設(shè)問(wèn)、運(yùn)算、板書(shū)設(shè)計(jì)、課堂評(píng)價(jià)、重難點(diǎn)、課堂小結(jié)、布置作業(yè)、探究拓展時(shí)留白[9][10].從數(shù)學(xué)課型的角度來(lái)看，概念課、原理課、習(xí)題課的留白應(yīng)是不同的.可以在概念和定理法則引入與鞏固運(yùn)用環(huán)節(jié)進(jìn)行留白，在習(xí)題課難點(diǎn)、易錯(cuò)點(diǎn)、一題多解處、一題多變處進(jìn)行留白.但無(wú)論是概念課、原理課、還是習(xí)題課，在教學(xué)中要結(jié)合所教內(nèi)容，適時(shí)留白[11].也有學(xué)者綜合了以上觀點(diǎn)，認(rèn)為留白策略有概念留白、重難點(diǎn)處留白、拓展留白[12].

3.3.3?數(shù)學(xué)課堂留白要側(cè)重在主問(wèn)題上留白，有效運(yùn)用應(yīng)答的反饋方式

無(wú)論是“問(wèn)題解決”、“情境—問(wèn)題”還是“問(wèn)題串”教學(xué)，都離不開(kāi)問(wèn)題，因此提出好的問(wèn)題往往成為了教學(xué)的關(guān)鍵.而一個(gè)好的問(wèn)題應(yīng)該是課堂上的主問(wèn)題，即有利于數(shù)學(xué)教學(xué)中重難點(diǎn)的突破、能夠引起學(xué)生的思考、符合最近發(fā)展區(qū)原則的問(wèn)題.因?yàn)橐粋€(gè)留有適度空白的問(wèn)題，更能激起學(xué)生靈動(dòng)而活躍的思考，所以要舍得在這些“主問(wèn)題”上多花時(shí)間，壓縮次要問(wèn)題的時(shí)間，必要時(shí)需先作鋪墊，尊重課堂的自然生成，少些刻意雕刻[13][14].避免把時(shí)間花在一些無(wú)關(guān)緊要的問(wèn)題上.在留白之后還要讓學(xué)生能有一個(gè)應(yīng)答反饋，學(xué)生可以通過(guò)生生交流和師生交流的方式表達(dá)自己的困惑以及解決問(wèn)題的思路、不能只留白，而對(duì)于留白后不了了之.

3.3.4?數(shù)學(xué)課堂留白要?jiǎng)?chuàng)設(shè)良好環(huán)境，適切運(yùn)用不同留白方式

在進(jìn)行留白內(nèi)容的布設(shè)時(shí)，要?jiǎng)?chuàng)設(shè)符合內(nèi)容的有意義情境，培植出一個(gè)靜默的環(huán)境，達(dá)到無(wú)聲勝有聲的效果[15].根據(jù)留白在講課中出現(xiàn)的形式，數(shù)學(xué)課堂留白可分為點(diǎn)睛式留白、遷移式留白、停頓式留白、存疑式留白、評(píng)價(jià)式留白[16].也有學(xué)者把留白方式分為了填補(bǔ)式留白、組合式留白和開(kāi)放式留白[17].在進(jìn)行數(shù)學(xué)留白教學(xué)時(shí)，在創(chuàng)設(shè)好一個(gè)情境后，教師要給學(xué)生時(shí)間去感悟數(shù)學(xué)情境、構(gòu)建對(duì)數(shù)字知識(shí)的理解，真正發(fā)揮出數(shù)學(xué)情境的價(jià)值[18].在利用上述留白技巧時(shí)，還要吸收以往教學(xué)策略的優(yōu)點(diǎn)，彌補(bǔ)不足，真正讓學(xué)生學(xué)有所思和學(xué)有所獲.

3.4?關(guān)于中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白的教學(xué)原則

課堂留白的價(jià)值無(wú)疑是相當(dāng)豐富的，但數(shù)學(xué)課堂留白的實(shí)施不是隨意的，為保證留白的科學(xué)、合理、可行、有效，一些學(xué)者也關(guān)注到課堂留白應(yīng)當(dāng)遵循的如下一些必要的基本原則.

3.4.1?適度原則

教師設(shè)置教學(xué)空白要根據(jù)課型、知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生的接受能力靈活安排，適當(dāng)?shù)亓舫鲆恍┛瞻譡19].教師在進(jìn)行留白時(shí)，難度不宜太大，應(yīng)當(dāng)充分考慮學(xué)生的身心發(fā)展、學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實(shí)、知識(shí)點(diǎn)本身等因素，使所留之“白”落在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi).當(dāng)然留白難度不能過(guò)于簡(jiǎn)單，留白前要考慮這個(gè)問(wèn)題難度是否適宜，是否具有探索性、啟發(fā)性等.

3.4.2?適量原則

適量原則中的量，一方面是指留白的個(gè)數(shù)，另一方面是指對(duì)于每一處留白，時(shí)間的多少.對(duì)于留白個(gè)數(shù)來(lái)說(shuō)，每一節(jié)課的留白不能一味的追求量，而無(wú)厘頭地留大量“白”.留白藝術(shù)的運(yùn)用始終為了促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)，所以留白設(shè)置頻度要恰當(dāng)，不能為了留白而布白，而要有明確的目的適時(shí)、適地、適度地運(yùn)用布白藝術(shù)[20].而就時(shí)間上的量而言，應(yīng)該綜合考慮留白的難度等因素留出恰當(dāng)時(shí)間的量，不宜過(guò)多，但也不應(yīng)太少，最好使其符合“等待時(shí)間理論”.

3.4.3?適時(shí)原則

適時(shí)留白是為了解決教師在何處留白的問(wèn)題.教師在留白時(shí)要注意時(shí)機(jī)，考慮是否此時(shí)留白有助于重難點(diǎn)的突破，是否有助于整個(gè)知識(shí)體系的建構(gòu)，教師應(yīng)當(dāng)有意識(shí)地在數(shù)學(xué)課堂的恰當(dāng)位置運(yùn)用留白藝術(shù)，多給學(xué)生思考、探究、表達(dá)的機(jī)會(huì)[2]31.在學(xué)生思維逐漸集中階段，是適宜布白的，可以布白于心理空白時(shí)、語(yǔ)言空白時(shí)、知識(shí)空白時(shí)[21].

3.4.4?主體性與差異性原則

數(shù)學(xué)教師在進(jìn)行留白時(shí)要始終明白學(xué)生才是學(xué)習(xí)的主體，因此在整個(gè)過(guò)程中教師不應(yīng)該干涉過(guò)多.但同時(shí)也應(yīng)注意，強(qiáng)化學(xué)生的主體地位，并非忽視教師的主導(dǎo)作用[22].學(xué)生不是空著腦袋進(jìn)教室的，每一學(xué)生具有個(gè)體間差異性，因此，教師在進(jìn)行留白時(shí)還要充分考慮學(xué)生的差異性，以及各自數(shù)學(xué)水平的不同，留白盡量多的滿足大部分學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.

4?我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白研究的展望

研究通過(guò)回顧21世紀(jì)以來(lái)我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)課堂留白研究，不難發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)今對(duì)于課堂留白的含義、研究?jī)r(jià)值、留白類(lèi)型、留白原則等方面的研究是比較豐富全面的，但仍存在許多有進(jìn)一步待完善和研究的地方.筆者通過(guò)總結(jié)反思，以下研究方向是值得思考的.

4.1?數(shù)學(xué)課堂留白研究要多元化

數(shù)學(xué)課堂留白研究多元化，包括研究方法多元化，研究?jī)?nèi)容多樣化.已有的數(shù)學(xué)課堂留白多以文獻(xiàn)研究、訪談?wù){(diào)查、錄像研究等方法，今后的研究可借鑒其他數(shù)學(xué)教育研究問(wèn)題或者其他學(xué)科的研究方法進(jìn)行.已有的有關(guān)研究?jī)?nèi)容大多比較單一化，今后的研究可考慮與數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)或者問(wèn)題等進(jìn)行結(jié)合.

4.2?加強(qiáng)數(shù)學(xué)課堂留白中的“補(bǔ)白”研究

如果把數(shù)學(xué)課堂留白劃分為留白前、留白時(shí)和留白后三階段，無(wú)論是從其概念界定、研究?jī)r(jià)值，還是研究策略和原則來(lái)看，研究者更多關(guān)注的是課堂留白前和留白時(shí)，忽略了留白后.而留白后的“補(bǔ)白”是數(shù)學(xué)課堂留白的應(yīng)有之意.所以在教學(xué)和研究中不僅要關(guān)注留白，更要關(guān)注補(bǔ)白，補(bǔ)白更有利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成.

4.3?彌足數(shù)學(xué)課堂留白評(píng)價(jià)研究、加強(qiáng)實(shí)踐研究

研究者們對(duì)于數(shù)學(xué)課堂留白策略等的研究是豐富的，而對(duì)其評(píng)價(jià)的研究是相對(duì)欠缺的.但是對(duì)于教育教學(xué)過(guò)程而言，不能沒(méi)有評(píng)價(jià)，只有有了系統(tǒng)的、完善的評(píng)價(jià)，才可更好地以評(píng)促教、以評(píng)促學(xué)，使數(shù)學(xué)課堂留白發(fā)揮更大的作用.同時(shí)課堂留白評(píng)價(jià)應(yīng)要從不同角度進(jìn)行，如：數(shù)學(xué)教學(xué)中如何區(qū)分課堂留白的合理性，怎樣的課堂留白對(duì)學(xué)生是有益的[4]81.其評(píng)價(jià)形式可以把質(zhì)性評(píng)價(jià)與量化評(píng)價(jià)相結(jié)合，還應(yīng)注重過(guò)程性評(píng)價(jià).現(xiàn)有數(shù)學(xué)課堂留白的有關(guān)研究大多集中在理論部分，缺乏系統(tǒng)性的實(shí)踐研究，所以，這也正是今后應(yīng)重視的研究方向.

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作者簡(jiǎn)介?尹超（1999—），男，貴州遵義人，碩士研究生;主要從事數(shù)學(xué)教育研究.