康葉紅

摘要：《分式方程的應(yīng)用》一課教學(xué)的重點是引導(dǎo)學(xué)生分析實際問題中的等量關(guān)系 ，列出分式方程。對此 ，可基于蘇科版教材給出的三道例題中數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) （相應(yīng)的式子結(jié)構(gòu) ），結(jié)構(gòu)化地設(shè)計例題來組織教學(xué) ：讓學(xué)生利用一元一次方程解決實際問題 ，從而在新舊對比中把握數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) ;讓學(xué)生根據(jù)分式方程編制實際問題，從而在正逆轉(zhuǎn)換中鞏固數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) ;讓學(xué)生解決條件更多、條件關(guān)系更不清晰的實際問題 ，從而在復(fù)雜關(guān)系中體會直觀工具的價值。

關(guān)鍵詞 ：初中數(shù)學(xué) ;分式方程 ;實際問題 ;數(shù)量關(guān)系 ;結(jié)構(gòu)化

一、教前思考

“分式方程的應(yīng)用 ”是蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級下冊 “10.5分式方程 ”第三課時的教學(xué)內(nèi)容。在這一節(jié)的前兩個課時中 ，學(xué)生已經(jīng)理解了分式方程的概念 ，掌握了 （可化為一元一次方程的 ）分式方程的解法 ，認識到解分式方程時必須對解得的根進行檢驗 ，同時 ，初步感受到分式方程的學(xué)習(xí)可以類比遷移整式 （一元一次 ）方程學(xué)習(xí)的經(jīng)驗。本課主要是引導(dǎo)學(xué)生利用分式方程這個數(shù)學(xué)模型解決實際問題。與之前學(xué)習(xí)的利用一元一次方程、二元一次方程組解決實際問題一樣 ，學(xué)生也要經(jīng)歷如下頁圖 1所示的數(shù)學(xué)抽象、建模 （數(shù)學(xué)化）過程 ，從而可以再次體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的有效模型 ，積累利用方程解決實際問題的經(jīng)驗 ，進一步鞏固、發(fā)展模型觀念和應(yīng)用意識。

利用分式方程解決實際問題的一般過程包括 ：從實際問題中分析出數(shù)量之間的相等關(guān)系 ，依據(jù)等量關(guān)系列出分式方程 ，解分式方程，根據(jù)實際意義檢驗解的合理性 ，進而解決實際問題。根據(jù)學(xué)生解分式方程、對其根進行檢驗的知識基礎(chǔ)和利用一元一次方程、二元一次方程組解決實際問題的經(jīng)驗基礎(chǔ) ，以及利用分式方程解決實際問題與這些基礎(chǔ)的關(guān)鍵區(qū)別 “由更為復(fù)雜的等量關(guān)系列出方程”，結(jié)合由學(xué)情前測發(fā)現(xiàn)的學(xué)習(xí)難點 “列出分式方程 ”（常表現(xiàn)為 ：不理解實際問題中數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) ，不知道為什么所列的方程會是分式方程 ;不能理順條件關(guān)系、抓住關(guān)鍵條件，獲得等量關(guān)系 ;不能合理借助表格、線段圖等直觀工具分析題意 ，獲得等量關(guān)系 ），可以確定本課教學(xué)的重點是引導(dǎo)學(xué)生分析實際問題中的等量關(guān)系 ，列出分式方程。

實際上 ，從兩個 “每份數(shù) ×份數(shù) =總數(shù) ”類型的數(shù)量關(guān)系出發(fā) ，如果已知的是兩個 “每份數(shù) ”（“份數(shù) ”）的大小、兩個 “份數(shù) ”（“每份數(shù)”）的和差或倍比關(guān)系 （包括相等關(guān)系 ）以及兩個 “總數(shù) ”的和差或倍比關(guān)系 ，要求的是兩個“總數(shù) ”或兩個 “份數(shù) ”（“每份數(shù) ”）的大小 ，則可設(shè)一個 “總數(shù) ”或 “份數(shù) ”（“每份數(shù) ”），表示出另一個 “總數(shù) ”或 “份數(shù) ”（“每份數(shù) ”），再抓住兩個 “份數(shù) ”（“每份數(shù) ”）或兩個 “總數(shù) ”的和差或倍比關(guān)系 ，列出形如 ax±bf（x）=c或 x =c·bf（x）[其中 a、b、c為已知數(shù) ，f（x）為ax的一次式 ]的整式 （一元一次 ）方程。由此，便可以回歸學(xué)生利用方程解決實際問題的起點 ，對比 （鋪墊 ）設(shè)計需要利用一元一次方程解決的實際問題 ，更好地幫助學(xué)生學(xué)會分析實際問題中的等量關(guān)系 ，把握等量關(guān)系的本質(zhì) ，列出相應(yīng)的方程。

除此之外 ，也可以增設(shè)讓學(xué)生根據(jù)分式方程編制實際問題的逆向、開放問題 ，更好地幫助學(xué)生把握實際問題中等量關(guān)系的本質(zhì) ，同時培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力以及 “數(shù)學(xué)的眼光 ”;還可以增設(shè)數(shù)量關(guān)系更為隱蔽、復(fù)雜 （條件更多、條件關(guān)系更不清晰 ）的實際問題 ，引導(dǎo)學(xué)生借助直觀工具分析題意 ，并且靈活尋找多種數(shù)量關(guān)系 ，從而進一步學(xué)會分析實際問題中的等量關(guān)系。

通過上述分析 ，本課教學(xué) ，筆者基于教材給出的三道例題的本質(zhì) ———上述數(shù)量關(guān)系 （式子結(jié)構(gòu) ），由舊到新、由正到逆、由淺入深地設(shè)計出三道題目 ，以期通過結(jié)構(gòu)化設(shè)計 ，充分助力學(xué)生分析實際問題中的等量關(guān)系 ，同時，幫助學(xué)生形成良好的認知結(jié)構(gòu) （聯(lián)系 ），感悟有效的思維方法 （過程）。

二、教學(xué)過程

（一）第一題的教學(xué) ：在新舊對比中把握數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)

師 在一元一次方程和二元一次方程組的學(xué)習(xí)中 ，我們知道方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系 ，進而解決實際問題的有效模型。最近 ，我們學(xué)習(xí)了分式方程及其解法。今天 ，我們就嘗試利用分式方程解決實際問題 ，重點關(guān)注如何根據(jù)題意列出方程。先來看第一題。 （教師出示第一題 ：“①已知蘋果每千克 5元，橘子每千克 3元，小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，共花了 24元，則小麗買的蘋果和橘子各多少千克 ？ ②已知蘋果的單價是橘子的 1.5倍，小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，買蘋果花了 18元，買橘子花了 6元，則小麗買的蘋果和橘子各多少千克 ？”學(xué)生獨立完成 ，教師巡視。）

師 同學(xué)們都完成得差不多了。下面 ，請兩位同學(xué)分別解釋一下這兩問你列出了怎樣的方程 ，是如何列出的 ？

生 第一問 ，已知小麗共買了蘋果和橘子 6千克 ，因此 ，可設(shè)小麗買了蘋果 x千克、橘子 （6-x）千克 ，根據(jù)等量關(guān)系 “共花了 24元”，列出方程 ：4.5x+3（6-x）=24。

師 很好 ！找到等量關(guān)系以及設(shè)好未知量是列出方程的關(guān)鍵。（稍停 ）對比列出的兩個方程 ，你有什么發(fā)現(xiàn) ？

生 第一問列出的是一元一次方程 ，第二問列出的是分式方程。

師 為什么第一問列出的是整式方程 ，第二問列出的是分式方程 ？（稍停 ）這兩問中都存在怎樣的數(shù)量關(guān)系 ？

生 ? （若有所悟 ）這兩問中都存在單價、數(shù)量和總價之間的數(shù)量關(guān)系 ，即“單價 ×數(shù)量 =總價 ”。

師 都有幾個這樣的數(shù)量關(guān)系 ？分別是什么事物的 ？

生 兩個 ，分別是蘋果的和橘子的。

師 那么 ，已知和要求有什么不同 ，才導(dǎo)致列出的方程類型不同 ？

生 第一問已知兩個單價、兩個數(shù)量的和、兩個總價的和 ，要求兩個數(shù)量。

師 這樣一分析 ，就可以發(fā)現(xiàn) ，其實已知了兩個等量關(guān)系 ，要求的也是兩個量。那么 ，為什么列出的是一個一元一次方程 ？

生 我們利用兩個數(shù)量的和設(shè)一個數(shù)量 ，表示出另一個數(shù)量 ;再利用兩個總價的和列出一個方程。

師 那么 ，根據(jù)已知的兩個等量關(guān)系的 “對等性”，我們還可以設(shè)什么未知量 ，列出什么方程 ？

師 這是一個什么方程 ？

生 一元一次方程。

師 那么 ，是什么導(dǎo)致這一問列出的還是一元一次方程 ？

生 我知道了。因為知道的是單價 ，所以 ，求 （設(shè)）數(shù)量 ，利用總價的關(guān)系時 ，列出的是 “單價 ×數(shù)量 ”的式子 ;求（設(shè)）總價 ，利用數(shù)量的關(guān)系時 ，列出的是 “總價 ÷單價 ”的式子。它們都是一次整式 （未知數(shù)不在分母上）。

師 非常好 ！你看透了問題中數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。再來分析第二問。

生 ? （接話 ）因為知道的是總價 ，所以 ，求（設(shè)）數(shù)量時 ，利用單價的關(guān)系列出的是 “總價 ÷數(shù)量 ”的式子 ;而求 （設(shè)）單價時 ，利用數(shù)量的關(guān)系列出的是 “總價 ÷單價 ”的式子。它們都是分式 （未知數(shù)在分母上）。

第一題是購物問題 ，增設(shè)的第一問改編自蘇科版初中數(shù)學(xué)七年級上冊 “4.3用一元一次方程解決問題 ”的例 2。由此 ，可以引導(dǎo)學(xué)生通過兩問的內(nèi)在聯(lián)系由舊知過渡到新知，并在新舊對比中把握數(shù)量關(guān)系的本質(zhì) ，從而理解所列方程的類型 ，并學(xué)會分析條件和結(jié)論 ，理順其相互關(guān)系 ，進而抓住關(guān)鍵條件 ，獲得等量關(guān)系。

（二）第二題的教學(xué) ：在正逆轉(zhuǎn)換中鞏固數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)

師請大家一起來看第二題。

（教師出示第二題 ：“①從甲地到乙地 ，小明步行比乘公交車多用 2.1h。已知小明步行的速度為 5km/h，乘公交車的速度為 40km/h，那么兩地相距多遠 ？ ②請根據(jù)第一問中的數(shù)量關(guān)系 ，設(shè)計已知量和未知量 ，編制出利用分式方程解決的實際問題?！保?/p>

師 先看第一問 ，與第一題有相同的地方嗎 ？也有類似于 “單價 ×數(shù)量 =總價 ”的數(shù)量關(guān)系嗎 ？

生 有，是“速度 ×?xí)r間 =路程 ”。

師 那么 ，有幾個這樣的數(shù)量關(guān)系 ？

生 兩個 ，分別是步行的和乘公交車的。

師 那么 ，已知和要求分別是什么 ？

生 已知兩個速度、兩個時間的差、兩個路程———是同一個路程。

師 這一點看上去和第一題有一些不同 ，但是本質(zhì)上還是已知兩個路程的關(guān)系 ，即兩個路程相等 ，或者說兩個路程差為 0 （比值為 1）。那么 ，要求什么 ？

生 要求路程。

師 雖然是同一個路程 ，但是 ，也可以看成兩個相等的路程。這樣一看 ，第二題第一問是不是和第一題第一問在本質(zhì)上是一樣的 ？那么 ，可以根據(jù)什么等量關(guān)系設(shè)未知量 ，列出方程呢 ？

生 還可以反過來。根據(jù) “步行的時間 -乘公交車的時間 =2.1h”，設(shè)乘公交車的時間是 xh、步行的時間是 （x+2.1）h;再根據(jù) “步行的路程 =乘公交車的路程”，列出方程 ：40x=5（x+2.1）。

師 很好 ！這個問題和之前的問題看似不同，實則相通。理清已知的和要求的之間的關(guān)系 ，把握其本質(zhì) ，就很容易用類似的方法列出這兩個方程了。這兩個方程也是什么方程 ？生一元一次方程。師現(xiàn)在來看第二問 ，你能編制出怎樣的實際問題 ？

（學(xué)生獨立完成 ，教師巡視。）

師 很多同學(xué)都有了想法 ，誰來說說 ？

師 你是怎么想到的 ？

生 類似于第一題的第二問 ，只要已知 “路程 ”這個 “總數(shù) ”就好了 ，然后給出兩個 “速度 ” （相當于 “每份數(shù) ”）之間的關(guān)系以及兩個 “時間 ”（相當于 “份數(shù) ”）之間的關(guān)系。

師 很好 ！那么 ，設(shè)未知量 ，列出方程有幾種方法呢 ？

（三）第三題的教學(xué) ：在復(fù)雜關(guān)系中體會直觀工具的價值

師 最后 ，來看第三題。 （教師出示第三題 ：“某項工程 ，需要在規(guī)定的時間內(nèi)完成。若由甲隊去做 ，恰能如期完成 ;若由乙隊完成 ，需要超過規(guī)定日期 3天?，F(xiàn)在由甲、乙兩隊合做 2天后，余下的工程由乙隊獨自去做 ，恰好在規(guī)定的時間內(nèi)完成。規(guī)定的時間是多少天？”學(xué)生獨立完成 ，教師巡視。）

師 一些同學(xué)有了想法 ，一些同學(xué)還在思考?，F(xiàn)在 ，請大家停下來。別急著回答 ，還是先思考 ：這道題題和第一題有相同的地方嗎 ？也有類似于 “單價 ×數(shù)量 =總價 ”的數(shù)量關(guān)系嗎 ？

生 有，應(yīng)該是 “工作效率 ×工作時間 =工作總量 ”。

師 同樣地 ，有幾個這樣的數(shù)量關(guān)系 ？

生 兩個 ，分別是甲隊的和乙隊的。

師 仔細分析題目條件 ，兩隊各只有一個這樣的數(shù)量關(guān)系嗎 ？

生 （若有所悟 ）兩隊都有兩次這樣的數(shù)量關(guān)系。甲隊第一次以它的工作效率 （不知道）工作了規(guī)定天數(shù) （不知道 ，要求的 ），完成了相應(yīng)的工作總量 （工程總量 ，具體不知道 ）;第二次以它的工作效率 （不知道）工作了 2天，完成了相應(yīng)的工作總量 （不知道）。乙隊第一次以它的工作效率 （不知道 ）工作了規(guī)定天數(shù) （不知道 ，要求的）多3天，完成了相應(yīng)的工作總量 （工程總量 ，具體不知道 ）;第二次以它的工作效率 （不知道 ）工作了規(guī)定天數(shù) （不知道，要求的 ），完成了相應(yīng)的工作總量 （不知道）。

師不錯 ，你用語言文字表述了題目中蘊含的四組 “工作效率 ×工作時間 =工作總量”。但是 ，這樣表述顯然不夠清晰 ，或者說不夠簡潔、直觀。你能借助其他表達工具或方式 ，更加清晰地表示這四組數(shù)量關(guān)系嗎 ？ （教師引導(dǎo)學(xué)生得到表 1。）

師 很好 ！借助表格顯示 ，條件之間的關(guān)系就清楚多了。因為題目條件比較復(fù)雜 ，所以最好再檢查一下 ：還有遺漏條件嗎 ？

生 甲、乙兩隊第二次的工作總量之和為工程總量。

師 也就是 ，表中最后一列的兩個未知量之和為工程總量。題目條件比較清楚了 ，你能列出方程了嗎 ？你準備依據(jù)哪些等量關(guān)系設(shè)哪些量 ，表示出哪些量 ？再依據(jù)哪個等量關(guān)系列出方程 ？

師 他依據(jù) “甲隊第二次的工作總量 +乙隊第二次的工作總量 =工程總量 ”列出了方程 ，不過 ，這個方程解起來有點麻煩?？梢院喕@里的數(shù)量關(guān)系和方程嗎 ？想想工程總量還可以怎么表示 ？不同的表示之間有關(guān)系嗎 ？或者看看上述方程的求解過程給我們什么啟發(fā) ？

師 非常好 ！這個等量關(guān)系以及相應(yīng)的方程不僅非常簡潔 ，而且經(jīng)過轉(zhuǎn)化 ，讓我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)其和第一題第二問一樣的數(shù)量關(guān)系本質(zhì) ：知道兩個 “工作總量 ”的大小 （都是單位 “1”）、兩個 “工作時間 ”的差 （3）以及兩個 “工作效率 ”的比 （3∶

2），要求兩個 “工作時間 ”的大小。（稍停）確實 ，表格、線段圖等常見的直觀工具可以幫助我們理清題意 ，找到等量關(guān)系，尤其是題目條件比較復(fù)雜時。而且這時 ，題目中的等量關(guān)系通常比較多 ，借助直觀工具可以得到它們之間的聯(lián)系，從而優(yōu)化等量關(guān)系 ，列出更為簡潔、好解的方程。 （學(xué)生反思、體會。）

師 當然 ，同學(xué)們也要一分為二地看待這個事情。方程思想的根本追求是正向思維，即更容易想。而最容易想的處理方式其實就是遇到等量關(guān)系就列 ，遇到未知量就設(shè) ，把所有等量關(guān)系都列出來、所有未知量都設(shè)出來后 ，要處理的也就是解一個可能有點復(fù)雜的方程組。雖然同學(xué)們只學(xué)過二元一次方程組 （可能選學(xué)過三元一次方程組 ），但是解多元的方程組的基本思想是相同的 ，即消元 ，具體包括代入消元、加減消元等。這樣就把 “想”的困難轉(zhuǎn)化到了 “算”上，而 “算”的難更多地表現(xiàn)為繁 ———“算 ”是相對機械、程序化的事情。第三題實際上是工作任務(wù)問題。相比

于前兩題 ，不再鋪墊設(shè)問 ，而直接讓學(xué)生利用分式方程解決實際問題 ;同時 ，其數(shù)量關(guān)系更為復(fù)雜 ，不容易看清本質(zhì) ，不容易 “題型化”“套路化 ”。由此 ，一方面 ，可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會借助圖表分析題意 ，簡潔扼要、條理清晰地表達數(shù)量關(guān)系 ，凸顯直觀工具的運用價值;另一方面 ，則可以引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會借助條件關(guān)系優(yōu)化數(shù)量關(guān)系 ，培養(yǎng)思維的靈活性。特別值得一提的是 ，教師最后的總結(jié)上升到了方程思想的層面 ，基于堅實的知識、經(jīng)驗基礎(chǔ) ，促進學(xué)生的認識提升到素養(yǎng)、大概念的層面。