史非凡

摘 要：數(shù)學是小學學習的重要科目之一，其中，使學生掌握計算技能，形成良好的計算能力是學習數(shù)學的重中之重。而運算能力的培養(yǎng)不僅僅是使學生會算，更應該讓學生理解計算的算理過程。要知其然，更知其所以然。本文以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學為例，探究計算教學過程中怎樣讓學生掌握算理算法，進一步使學生真正提高數(shù)學的運算能力。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學；算理算法；運算能力

【中圖分類號】G623.5? ? ? ? ? ?【文獻標識碼】A? ? ? ? ? ? ?【文章編號】2097-2539（2023）06-0209-04

在計算教學中，學生對算理的理解會直接影響到學生運算能力的提升。所以教師在計算教學中，不僅使學生熟練掌握算法，更應該讓學生理解計算算理，因為在教學計算中，算理與算法是兩個不可或缺的關(guān)鍵，算理是對算法的解釋，是理解算法的前提，而算法是對算理的總結(jié)與提煉，他們之間是互相聯(lián)系的，有機統(tǒng)一的整體，透徹理解算理和熟練掌握算法是提高學生計算能力的重要保證，從而真正達到計算能力的提升以及思維上的拓展。

1.緣起：小學生數(shù)學計算的現(xiàn)狀

在小學階段，幾乎所有學生都認為計算比較簡單，但是從任教的2個班級的計算作業(yè)來看，錯誤率還是非常高。筆者在計算教學的過程中主要采取了兩種方法：①每天上課5分鐘的口算訓練；②回家作業(yè)每日優(yōu)化計算。從認知層面來看，學生是知曉計算方法，然后按照方法來計算，但在計算的過程中還是出現(xiàn)不同類型的錯誤。以人教版三年級下“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，此內(nèi)容在小學階段有很重要的作用，是學習多位數(shù)乘法的基礎(chǔ)。研讀教材后，發(fā)現(xiàn)主要以“口算”→“筆算”（進位與不進位）→“解決問題”為活動序列，具體結(jié)構(gòu)如圖1：

所以下面以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例，對學生在計算過程出現(xiàn)的錯誤進行了簡單的歸類，折射出運算中出現(xiàn)的一些現(xiàn)狀（如表1）：

第一類錯誤是學生不會計算，即是算理不理解；第二類錯誤和第一類有些相似，學生可能算理不理解，也可能是計算錯誤；第三類錯誤是學生在計算過程中沒有進位。

（1）不理解算理（例如錯誤）

算理即為計算的道理，學生只是初步了解了算法，并不懂為什么要這樣算？甚至不能很清楚地說出每個數(shù)字所表示的含義。所以在學習計算這里，筆者認為應該將算理和算法融匯起來，讓學生在做題目就不會出現(xiàn)這種現(xiàn)象了。

（2）稀里糊涂算法（例如錯誤）

在教學的過程中，出現(xiàn)這種現(xiàn)象的同學還是非常多，出現(xiàn)這種錯誤的學生有可能是不理解算理，有可能是在計算的過程中粗心導致，其實學生在計算的過程中看清楚題目，理解算理，正確率就會提高。

（3）忽視進位（例如錯誤）

學生出現(xiàn)這類錯誤的概率還是非常高，在計算的過程中，學生缺乏良好的運算習慣。學生往往注意到了計算，忽視了一些小細節(jié)，比如進位，或者抄錯數(shù)字等導致錯誤，所以學生要加強運算能力?？偠灾?，筆者認為錯誤的背后還有很多，比如，計算教學中教師對算理的重視不足，在小學階段數(shù)學計算教學中，很多教師在處理計算內(nèi)容時，僅僅針對“算法”的教學，忽視“算理”的教學，比如教學三年級上兩位數(shù)乘兩位數(shù)時，算法是著重講解的，學生可以很快計算出得數(shù)，但當提問為什么要這樣算？以及豎式中每一個數(shù)字代表的含義是什么？學生就會出現(xiàn)大量的錯誤，歸咎原因，還是對理沒有掌握。如果像這樣的教法，學生只知如何算，不知為何如此算？甚至不知每個數(shù)字的含義？那么這樣的學習就是死板的，長此以往，學生只會機械模仿的學習，失去了思考以及運算能力。再比如，計算過程中學生對算理認識不足，興趣是學習的法寶，而計算數(shù)學在不理解算理的基礎(chǔ)上就會顯得枯燥，學生的機械性的重復操作，興趣逐漸下降，造成了中計算頻繁的錯誤。另外，學生認為計算內(nèi)容過于簡單，不要多寫多練，特別是中高段的學生，認為知道了就可以做到正確，其實，在這個過程中，運算能力的培養(yǎng)的就錯失了，導致準確率下降。

2.思考：追本思源

（1）基于教材

以下是關(guān)于兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法的教材，這里以人教版和北師大版為例（如表2）：

教材的相同之處：設(shè)計都是比較貼近生活的情境進行教學，使學生感受到學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)是一種需要；同時都是借助點子圖即數(shù)形結(jié)合來解釋乘數(shù)的拆分以及乘的結(jié)果，再用算式表征出乘的過程，同樣轉(zhuǎn)化為學生熟悉的兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算，都是將知識進行了遷移。

教材的不同之處：北師大教材的編排是分為兩課時，第一課時沒有總結(jié)到列豎式的環(huán)節(jié)，而人教版的教材編排除了借助點子圖即數(shù)形結(jié)合來解釋乘數(shù)的拆分以及乘的結(jié)果，最后還體現(xiàn)了列豎式的方便性以及每一個數(shù)字的含義。

（2）割裂狀態(tài)下的計算學習

碎片化教學，局限于課時教學，割裂了知識的本質(zhì)的結(jié)構(gòu)，導致學生機械式的訓練，對知識之間的關(guān)聯(lián)與認知結(jié)構(gòu)不夠明確，從而學生的計算能力就會有所缺失。

（3）算理算法互通結(jié)合的重要性

計算是數(shù)學教學過程中最基礎(chǔ)也是最重要的內(nèi)容之一，運算的能力是學生應具備的基礎(chǔ)能力。而提高運算能力，就必須理解算理，掌握算法。什么是算理？筆者認為就是在計算過程中為什么要這樣算，也就是計算的道理。什么是算法？就是在計算過程掌握的方法。算理和算法是互通的，不能單獨的存在。在計算的過程中，教師應該帶領(lǐng)學生追根溯源，也就是明算理，同時也需要和學生一起探索和總結(jié)計算的方法。比如，例題呈現(xiàn)的算式14*12=，在筆算乘法豎式計算時，不單單是讓學生掌握熟練每一步驟過程，知道如何計算？更應該讓學生知道每一步甚至進位的數(shù)字代表什么意思？例如，題目問豎式計算中進位的4表示什么？題目中的兩個1有什么不同？2又表示什么？在進行教學時，嘗試的提問班級中等學生，還是有很多不理解的，究其原因，還是對計算中的道理不理解。因此，讓學生理解運算的算理，掌握運算的算法。不僅能提高運算能力，還能提高學生的思維和思考能力。教師可以促使學生理解算理的同時，又對數(shù)學產(chǎn)生濃厚的興趣，改進了教學方式，提高了課堂教學效率。而這樣的改變，促使學生的學和教師的教都達到了質(zhì)的提升。

（4）信息加工的重要性

其實學習的過程就是一個將信息轉(zhuǎn)化和加工的過程，當學生遇到問題時，學生就會通過對已有知識的理解與掌握，將這部分知識加工與轉(zhuǎn)化成需要的內(nèi)容，比如，在學習兩位是乘兩位數(shù)的筆算乘法時，學生講算理和算法互通后，再遇到類似的題目，都會轉(zhuǎn)化為自己所學知識加以解決。

3.重構(gòu)：讓計算能力顯現(xiàn)

（1）內(nèi)容結(jié)構(gòu)解讀

小學里的計算內(nèi)容是復雜且零碎的，有效的計算教學從算理開始，也就是計算可以從意義和方法兩個方面解讀，使原來看起來零碎的知識點變得整合起來，有利于計算的探究。

（2）運算結(jié)構(gòu)的改變

①簡單的計算走向模型。有些計算看起來比較簡單，學生會將重點放在計算方法上，從而使學習變?yōu)橐环N被動的狀態(tài)，學生應該擁有舉一反三的能力。比如，在算“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時，可以想這樣問題：如果是“三位數(shù)乘三位數(shù)”，甚至“多位數(shù)乘多位數(shù)”時，能不能解決？讓學生突破“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的局部方法，走向模型建構(gòu)，提升計算能力。

②機械的計算走向思維。在課堂上，應該讓學生突破機械式的運算，比如模仿，刷題等，讓學生走向思維模型，重視數(shù)學思維能力的培養(yǎng)。比如在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”教學上，當出現(xiàn)14*12時，可以思考：能不能用舊的知識來解決新的知識？讓學生自主探究，其實都是把新的知識轉(zhuǎn)化成舊的知識，引導學生把思考的過程寫成乘法豎式計算，重視算理的探究，積累解決問題的經(jīng)驗。

4.策略：豐富學習支架

以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”的教學為例進行研究，希望對學生數(shù)學計算的能力提高有所幫助。

（1）利用情境創(chuàng)設(shè)理解計算算理

小學數(shù)學計算看似簡單，理解確實為重要。特別是低段的學生要理解算理的過程，教師要借助具體的情境將抽象問題具體化，便于學生理解。三年級下人教版的例題以生活中學生熟悉的買書作為情境導入，引出兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學內(nèi)容，不僅提高學生的學習興趣，并為進一步理解兩位數(shù)乘兩位數(shù)計算算理奠定了基礎(chǔ)。比如，根據(jù)情境學生很快可以說出算式14*12，而教師要引導學生對14*12=？算式的理解，14是什么含義？12是什么含義？學生根據(jù)前一節(jié)口算乘法的方法可以計算出得數(shù)168，這里教師要追問168的含義，以及口算乘法的方法，大部分同學會把12拆分為10與2，再分別于14相乘，最后相加。學生在此會明顯感受到14*12計算的過程，也就是先拆再乘后合。當然，也會有學生用其他的方法計算出這道題目的得數(shù)。在此基礎(chǔ)上，和創(chuàng)設(shè)的情境結(jié)合一起，學生就抓住每個數(shù)字的含義以及算理的內(nèi)在聯(lián)系，學生對筆算乘法的豎式計算算理和算法理解起來會更加容易，更加深刻。

（2）利用動手操作理解計算算理

特別是低段的學生，對問題的理解要借助一些工具，在前一節(jié)口算乘法的基礎(chǔ)上，學生已經(jīng)用提前準備好小棒工具進行了驗證，并在課堂上學生通過自己分一分，用已分的經(jīng)驗很快說出計算的原理以及答案。那么在動手操作的過程中對算式14*12=168每個數(shù)字的含義以及算理會更加深刻理解。而再后面多加練習，學生逐步到不需要小棒也可以很流利說出算理和算法。

（3）利用數(shù)形結(jié)合的思想理解算理思維

一般情況下，小學數(shù)學中遇到的復雜計算難以用簡單的邏輯理解，這時如果借用圖形等形象幫助理解是比較好的直觀教材。也就是“以形助數(shù)”。比如，在學習兩位數(shù)乘兩位數(shù)乘法時，教材先是給了一幅對話的情境圖，每套書14冊，王老師買了12套，求一共買了多少冊？讓學生根據(jù)圖來理解并說出算式，但在豎式計算的過程中學生可能不理解為什么這樣算？只是會死記住每一步怎么算，下一步怎么算，甚至變換一個算式就會出錯，歸其原因，還是在理解算理的過程中出現(xiàn)了問題。而教材上借助了2種直觀的點子圖幫助學生理解算理的過程。比如第一幅點子圖（小亮這樣想）：是把12套平均分成了3份，每份是4套，先求出一份的本數(shù)，再求3份的，也就是把兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計算轉(zhuǎn)化成了兩位數(shù)乘一位數(shù)的計算，而第二幅點子圖（小紅這樣想）：是把12套拆分成10套和2套，算出10套和2套各自的本數(shù)，后再合并。其實這個點子圖的過程就是口算乘法的計算方法，通過這幅點子圖，學生會對兩位數(shù)乘兩位數(shù)的豎式計算的算理有更深刻的理解。換言之，這個點子圖的過錯其實就是計算的算理。學生通過這種方法既掌握了算法，也理解了算理。

（4）利用多樣性練習理解算理，掌握算法

數(shù)學知識需要在理解的基礎(chǔ)上加以練習，才能達到深度的思維，尤其對小學階段的計算數(shù)學，更要達到深度的練習。筆者在教學生本節(jié)課的內(nèi)容時，發(fā)現(xiàn)學生可以根據(jù)題目說出每個數(shù)字的含義，以及算法，但是在練習的過程中，頻繁出錯，筆者認為是在算理和算法互通的過程中不夠深刻。所以，課堂上的有效練習很有必要，教師應選擇多樣性具有典型代表練習幫助學生提高計算水平。

（5）利用錯題設(shè)置激發(fā)學生的好奇心

如何通過練習讓學生提高計算技能？計算本身具有枯燥性，學生在做的時候會產(chǎn)生疲憊感，這時教師可以設(shè)計一些學生容易出錯的題目或者直接用學生錯題進行展示來激發(fā)學生的好奇心，促使學生快速有效地掌握計算技能。

（6）利用多樣的活動激勵學生以及培養(yǎng)學生的興趣

對小學生而言，興趣是極為重要的，如果讓學生達到眼、耳、腦、手一起動起來，那么學生的注意力以及興趣就會提上來。尤其是對枯燥的計算來說，學生會失去耐心，教師應該在課堂上創(chuàng)設(shè)一些有趣的環(huán)節(jié)和活動，良好的課堂氣氛可以激發(fā)學生的興趣，讓興趣成為最好的老師，不論是什么，將不再是難題。

（7）利用延遲評價激勵學生

所謂的延遲評價是當學生嘗試解決問題后，教師不應立刻給予肯定或者否定的評價，而應該聽取學生的不同解決方案，在交流中思考和完成問題的分析，這樣的評價有利于保持學生的興趣，體現(xiàn)學習的主動性。

5.結(jié)語

總之，在核心素養(yǎng)背景下，教師要保證課堂的教學成果，讓學生體會數(shù)學知識形成的過程，計算教學是小學階段的重點，對培養(yǎng)學生的思維能力具有關(guān)鍵的作用，而算理的理解和算法的掌握又是計算教學的重中之重，所以在教師在計算教學的過程中，應注意正確引導好學生理解計算中的算理和掌握計算的方法，同時教師應該采取合適的策略，提高學生的分析問題以及解決問題的能力。只有將算理和算法相結(jié)合，并將其應用到計算教學中，讓學生在深刻理解其中的算理過程的同時掌握并總結(jié)計算方法，這樣學生的思維能力才得以拓寬。

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