［摘? 要］ 在小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師要重視新概念的認(rèn)知根源——前概念。在教學(xué)中教師要適時結(jié)合數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和兒童思維水平，妙用數(shù)形結(jié)合、喚醒學(xué)生抽象經(jīng)驗、提升分類理性等數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行概念學(xué)習(xí)，有效轉(zhuǎn)化“前概念”，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

［關(guān)鍵詞］ 以思啟思；前概念；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》明確了數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)以培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)。義務(wù)教育階段學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)植根于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，與數(shù)學(xué)思想方法密切相關(guān)。學(xué)生總是帶著“前概念”來到課堂，對新概念的學(xué)習(xí)常常會基于“前概念”的理解。核心素養(yǎng)導(dǎo)向的背景下，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思想方法融入學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，以思啟思，推進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者以“數(shù)與代數(shù)”的教學(xué)為例，以概念教學(xué)為重點，談?wù)劸唧w的做法。

一、妙用數(shù)形結(jié)合，探索概念

數(shù)形結(jié)合就是在研究數(shù)學(xué)問題時，由數(shù)思形，見形思數(shù)。數(shù)形結(jié)合是學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題時常用的數(shù)學(xué)思想方法。小學(xué)生的邏輯思維能力比較弱，因此，教材在編排時常常采用數(shù)形結(jié)合的方式予以呈現(xiàn)。在教學(xué)實踐中，數(shù)形結(jié)合方法是教師幫助學(xué)生修正“前概念”認(rèn)知的常用利器，能很好地培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的意識和習(xí)慣。

在“因數(shù)和倍數(shù)”教學(xué)中，不少教材采用矩形排列的實物圖或方格圖，讓學(xué)生列乘法算式來揭示因數(shù)和倍數(shù)的概念，這種矩形圖在一定程度上能幫助學(xué)生理解概念。不過，筆者在學(xué)生預(yù)習(xí)后，與學(xué)生的交談中發(fā)現(xiàn)這樣的數(shù)形結(jié)合并未消除學(xué)生頭腦中的“前概念”造成的困惑。比如，同樣是“倍”，過去叫“倍”，現(xiàn)在為什么叫作“倍數(shù)”？同樣是乘法，過去叫作“因數(shù)”和“積”，現(xiàn)在為什么叫作“因數(shù)”和“倍數(shù)”？學(xué)生們尤其困惑的是過去的因數(shù)可以是小數(shù)、分?jǐn)?shù)，現(xiàn)在為什么只限于自然數(shù)？

“因數(shù)和倍數(shù)”單元是數(shù)論中最基礎(chǔ)的部分，它們的產(chǎn)生源于數(shù)的內(nèi)部發(fā)展，“因數(shù)和倍數(shù)”的學(xué)習(xí)意味著學(xué)生將再次走進(jìn)“數(shù)的認(rèn)識”。在以前的學(xué)習(xí)中，學(xué)生對自然數(shù)已經(jīng)有了深刻的理解：即“1”是組成自然數(shù)的最基本的元素。而從本單元開始，自然數(shù)將基于新的運(yùn)算（乘法）和新的構(gòu)成元素（因數(shù)）進(jìn)行重構(gòu)，其中素因數(shù)是最基本的新元素，這樣的重構(gòu)意味著更高層次的抽象。

為了幫助學(xué)生實現(xiàn)這樣的抽象，教材采用了數(shù)形結(jié)合的思想方法。不過筆者在教學(xué)時進(jìn)行了適當(dāng)?shù)倪x擇和改進(jìn)：在實物圖和方格圖中選用方格圖；在呈現(xiàn)矩形排列的方格圖之前呈現(xiàn)學(xué)生十分熟悉的十進(jìn)制記數(shù)法方格圖，即呈現(xiàn)10和2的組合。接著，筆者引導(dǎo)學(xué)生思考：12個小方格還可以怎么擺？你能想到多少種不同的擺法？

不少學(xué)生很快有了想法，自主重構(gòu)出3種不同的矩形圖：即排列成一行（1個12）、兩行（2個6）和三行（3個4），并借助乘法自主探索出了新概念。

相較于實物圖，矩形方格圖更貼近學(xué)生熟悉的“數(shù)的認(rèn)識”場景。在矩形圖之前加入一個圖形“組織者”——同數(shù)不同形的十進(jìn)制方格圖，便于教師引導(dǎo)學(xué)生打破舊的數(shù)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建新的數(shù)結(jié)構(gòu)。巧妙的數(shù)形結(jié)合方法讓學(xué)生的“前概念”困惑得到清晰修正：“數(shù)的認(rèn)識”背景下的“因數(shù)和倍數(shù)”，本質(zhì)上不是學(xué)生以前學(xué)過的乘法算式，也不是以前所比較的倍數(shù)關(guān)系，而是自然數(shù)重構(gòu)的新元素。教師精巧的教學(xué)設(shè)計讓學(xué)生感受到數(shù)形結(jié)合的魅力和積淀了幾何直觀的素養(yǎng)。

二、喚醒抽象經(jīng)驗，理解概念

數(shù)學(xué)最本質(zhì)的特征就是抽象。抽象是對同類事物抽取其共同的本質(zhì)屬性或特征、舍棄非本質(zhì)屬性或特征的思想方法，抽象是形成數(shù)學(xué)概念的關(guān)鍵。教學(xué)中教師讓學(xué)生適度運(yùn)用抽象思維，有利于“前概念”的修正，更有利于培育學(xué)生理性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

在“分?jǐn)?shù)的意義”教學(xué)中，對分?jǐn)?shù)單位的教學(xué)常常被教師忽略，但這卻是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點。筆者在課前調(diào)研中發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生對分?jǐn)?shù)單位的理解常常存在錯誤。比如分?jǐn)?shù)5/8，有些學(xué)生認(rèn)為分?jǐn)?shù)單位是8，有5個這樣的單位；有些學(xué)生認(rèn)為分?jǐn)?shù)單位是1/8，有5個這樣的單位。這個學(xué)習(xí)難點并沒有得到高度重視，教師一般根據(jù)教材的編排，在歸納得出分?jǐn)?shù)的意義后簡單化處理，直接揭示分?jǐn)?shù)單位的定義。筆者在調(diào)研學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)時發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生雖能說出分?jǐn)?shù)單位，但并未把它與整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位關(guān)聯(lián)起來視為“一家人”。究其原因，教師的簡單告知式教學(xué)讓學(xué)生缺少了抽象思維的參與。

最新修訂的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)增加了“計數(shù)單位”的概念，這個概念深度揭示了所有“數(shù)與運(yùn)算”的本質(zhì)一致性。分?jǐn)?shù)單位的學(xué)習(xí)對分?jǐn)?shù)的意義以及核心概念“計數(shù)單位”的學(xué)習(xí)至關(guān)重要。因此，筆者曾做過這樣的嘗試：讓學(xué)生聯(lián)系已學(xué)過的整數(shù)、小數(shù)的計數(shù)單位，思考分?jǐn)?shù)是否有計數(shù)單位。筆者發(fā)現(xiàn)只有極少數(shù)學(xué)生對計數(shù)單位的認(rèn)識相對準(zhǔn)確，絕大多數(shù)學(xué)生仍然不明所以。如此看來，依靠從理性到理性的簡單化抽象教學(xué)，學(xué)生的“前概念”難以得到徹底的修正與轉(zhuǎn)化。

面對份數(shù)定義背景下帶有分割線的直觀模型——所分一物中的1份、所分計量單位中的1份、所分多個物體組成的整體中的1份等，在教學(xué)中筆者嘗試將學(xué)生拉回熟悉的“數(shù)數(shù)”活動中：你已經(jīng)會數(shù)數(shù)了，現(xiàn)在你能數(shù)一數(shù)圖片上的這些分?jǐn)?shù)嗎？

面對筆者的提問，不少學(xué)生愣了一會兒后，都激動地舉起了小手。在學(xué)生們磕磕絆絆的相互啟發(fā)中，很多學(xué)生都順利地從一個一個地數(shù)過渡到一份一份地“數(shù)”?！皵?shù)”過之后，學(xué)生們會發(fā)現(xiàn)：“違背常理”的分?jǐn)?shù)也是可以“數(shù)”的！分?jǐn)?shù)跟整數(shù)、小數(shù)一樣也是有單位的！“單位1”被平均分成了幾份，分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一。

從分?jǐn)?shù)定義直接揭示分?jǐn)?shù)單位，這是從一般到特殊的強(qiáng)抽象，容易導(dǎo)致學(xué)生將分?jǐn)?shù)單位窄化成一種特殊的分?jǐn)?shù)，從而偏離了“單位”的本質(zhì)。從整數(shù)、小數(shù)的單位遷移到分?jǐn)?shù)單位，進(jìn)而抽象到“計數(shù)單位”，這是從特殊到一般的弱抽象。這樣的弱抽象雖然也抵達(dá)數(shù)學(xué)本質(zhì)，但不容易被學(xué)生感知，這種簡單告知、強(qiáng)拉硬拽式的教學(xué)難以達(dá)成教學(xué)目標(biāo)。

筆者嘗試從肢體性的“數(shù)數(shù)”活動出發(fā)，喚醒了學(xué)生在“數(shù)的認(rèn)識”學(xué)習(xí)中所經(jīng)歷的抽象活動及其經(jīng)驗，讓學(xué)生在分?jǐn)?shù)單位的學(xué)習(xí)中經(jīng)歷了“具象—表象—抽象”的過程，讓學(xué)生能夠清晰建立分?jǐn)?shù)單位的認(rèn)知，讓學(xué)生能夠領(lǐng)悟核心概念——“計數(shù)單位”。這種對抽象經(jīng)驗的反復(fù)運(yùn)用和拓展深化，能夠讓學(xué)生膚淺或不正確的“眼光”得到自主修正，促進(jìn)學(xué)生思維走向深邃睿智。

三、提升分類理性，意會概念

分類是根據(jù)對象的相同點和差異點將對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類有現(xiàn)象分類和本質(zhì)分類的區(qū)別，現(xiàn)象分類依據(jù)的是外部特征或外部聯(lián)系，而本質(zhì)分類依據(jù)的是本質(zhì)特征或內(nèi)部聯(lián)系。分類是認(rèn)識事物的基本方法?；跀?shù)學(xué)的學(xué)科特點，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中要努力應(yīng)用本質(zhì)分類的思想方法，推動學(xué)生轉(zhuǎn)化“前概念”，建立新概念，感悟概念表層下隱含的算法、模型等深層意蘊(yùn)。

在“認(rèn)識方程”教學(xué)中常常能看到教師應(yīng)用分類思想：出示天平，讓學(xué)生寫出大量式子，包括等式和不等式、含有未知數(shù)和不含有未知數(shù)的式子。接著，大多數(shù)教師會引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行多層次的分類：先分成等式與不等式，再將等式分為含有未知數(shù)和不含有未知數(shù)兩類。然后，教師在此基礎(chǔ)上揭示方程的定義：含有未知數(shù)的等式叫作方程。不過，在隨后的辨析練習(xí)中筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生被字母、符號等非本質(zhì)的因素困擾，導(dǎo)致辨析練習(xí)的正確率不高。

其實在“認(rèn)識方程”學(xué)習(xí)時，學(xué)生對方程并非一無所知。筆者在課前對學(xué)生的訪談中發(fā)現(xiàn)：學(xué)生判斷方程的依據(jù)主要是看式子中是否含有字母或符號，認(rèn)為只要是含有字母或符號的式子，不管是否為等式都?xì)w入方程。經(jīng)過上述多層次的分類比較活動后，筆者發(fā)現(xiàn)非本質(zhì)的字母和符號對學(xué)生來說是一個強(qiáng)刺激。這讓不少教師倍感困惑：為什么學(xué)生經(jīng)歷了方程的兩級分類學(xué)習(xí)后，方程的本質(zhì)內(nèi)涵仍未被學(xué)生掌握？

“含有未知數(shù)的等式”只是字面上的說法，并非方程的本質(zhì)含義。中國古代數(shù)學(xué)文化更強(qiáng)調(diào)“求未知數(shù)”的算法價值。張奠宙教授曾提出基于價值視角的方程定義——方程是為了尋求未知數(shù)，在未知數(shù)和已知數(shù)之間建立起來的等式關(guān)系。如此看來，常規(guī)性的兩級分類只是揭示了方程外在形式上的特點，并未彰顯方程的本質(zhì)。方程的定義相對復(fù)雜，小學(xué)生面對的簡易方程難以體現(xiàn)必要性，最新的課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)將“方程”的學(xué)習(xí)移入第四學(xué)段。不過，面對新老課程兩年的過渡期，教師該如何作為？

在“認(rèn)識方程”的教學(xué)中，筆者基于“求未知數(shù)”的算法思想進(jìn)行了相關(guān)教學(xué)探究。

在學(xué)生根據(jù)天平寫出多個式子后，筆者引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)能否求出未知數(shù)將上面的式子分為兩類——能求出未知數(shù)的和不能求出未知數(shù)的式子。分類的標(biāo)準(zhǔn)直指本質(zhì)后，可以看到分類活動的教學(xué)變得輕松。通過這樣的分類活動，讓學(xué)生意識到能求出未知數(shù)的式子有兩個特點：一是要含有未知數(shù)，這些未知數(shù)一般處于待求條件的位置；二是要為等式，如果不是等式，就不能確定這些未知數(shù)的數(shù)值，而只能確定一個范圍。借助這樣的分類活動，學(xué)生能自主歸納出方程的字面定義，并且在后續(xù)的辨析練習(xí)中表現(xiàn)良好：對似是而非的——含有字母的式子有了更敏銳的感知力；對似非而是的——過去學(xué)習(xí)中用圖形（如括號、方框等）表示未知數(shù)的式子也能初步體會方程的含義；對有爭議的算術(shù)化方程也能給出自己合理的解釋等。

基于本質(zhì)的分類活動，不僅層級減少了、效率提高了，還讓學(xué)生體會到方程這種新模型、新算法的魅力，自主消除了很多錯誤理解。雖說還不能讓學(xué)生全面理解方程的本質(zhì)內(nèi)涵，但筆者能從學(xué)生的眼中看到他們對這種獨(dú)特的模型充滿了好奇和期待。

總之，落實《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的相關(guān)要求需要教師把“學(xué)”的諸多因素充分考慮進(jìn)來。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師需要探尋學(xué)生學(xué)習(xí)新概念的認(rèn)知根源——“前概念”。數(shù)學(xué)概念教學(xué)中教師對數(shù)學(xué)思想方法的及時應(yīng)用，能引導(dǎo)學(xué)生素樸的認(rèn)知根源向上生長。教師唯有瞄準(zhǔn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)和學(xué)生數(shù)學(xué)前概念的精巧化、創(chuàng)新性應(yīng)用，才能推進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)進(jìn)階，達(dá)成培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的目標(biāo)。

作者簡介：朱潔芬（1966—），本科學(xué)歷，教育碩士，中小學(xué)高級教師，江蘇省小學(xué)數(shù)學(xué)特級教師。