摘要：數(shù)學實驗是教師引導學生在特定的任務（問題）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，在數(shù)學思維參與下，理解數(shù)學知識、驗證數(shù)學猜想和發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論的一種學習方式。 教師要引導學生經(jīng)歷完整的數(shù)學學習過程，積累“定位實驗—驅(qū)動實驗—引領實驗—策劃實驗—優(yōu)化實驗—反思實驗”的經(jīng)驗，從而形成實驗探究的能力。

關鍵詞：數(shù)學實驗；探究過程；學會學習

中圖分類號：G623.5 文獻標志碼：A 文章編號：1673-9094（2023）24-0084-05

數(shù)學實驗是教師引導學生在特定的任務（問題）情境中，借助一定的工具，以“做”為支架，在數(shù)學思維參與下，理解數(shù)學知識、驗證數(shù)學猜想和發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論的一種學習方式。數(shù)學實驗具有工具性、操作性、情境性、探究性等基本特征，可以解決學習資源缺乏、學習方式單一以及學習過程不完整等問題，促進學生學會認知、學會做事、學會共同生活、學會生存[1]。《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》的課程理念部分也明確指出，要“引導學生在真實情境中發(fā)現(xiàn)問題和提出問題，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理、驗證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問題和解決問題”[2]。可見，實驗是分析和解決數(shù)學問題的重要方法，教師要以核心素養(yǎng)為導向，讓學生經(jīng)歷完整的探究過程，形成實驗探究的能力，學會數(shù)學學習。

一、結構化思考，定位實驗

實驗是以理解數(shù)學知識、驗證數(shù)學猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學結論為目的的數(shù)學學習方式。任何一個實驗活動都應有清晰的目標定向，沒有目標指引的活動失去了其數(shù)學學習的價值，只是動手操作而已。教師應用結構化、系統(tǒng)化的視角將實驗與學習內(nèi)容、實驗與實驗進行勾連，對實驗進行精準定位，發(fā)揮實驗應有的教育功能。

（一）實驗活動要與教學內(nèi)容相關聯(lián)

實驗是學生學習某個數(shù)學內(nèi)容所采用的一種方式。教師要正確認識實驗和教學內(nèi)容的關系，防止出現(xiàn)“為活動而活動”的情況，將實驗和內(nèi)容有機對接，把實驗嵌入到適合的知識體系中，真正實現(xiàn)實驗的價值。如教學圖形分割時，教師沒有止步于讓學生學會“找中心分割圖形”的方法，而是進一步引導學生用“繞中心旋轉(zhuǎn)180o ”的方法檢驗兩邊圖形是否重合。這樣的教學沒有將實驗定位于掌握一種特殊分割方法，而是將其與中心對稱圖形關聯(lián)，把實驗作為認識和理解中心對稱圖形的方法，為實驗找到內(nèi)容依附，賦予其新的、更大的意義。

（二）實驗活動之間要有關聯(lián)

教學中，通常要通過幾個實驗活動才能解決某個問題。這幾個實驗活動不是孤立存在的，而是彼此關聯(lián)，共同引領和推進學生的探索。教學時，教師要基于教學目標，對各個實驗進行準確定位，妥善安排實驗的順序，為學生的探索提供思維路徑。如為了能讓學生發(fā)現(xiàn)三角形的三邊關系，教師設計了兩個實驗活動?；顒右唬贸咭?guī)作圖法將3條等長線段圍成三角形；活動二，用尺規(guī)作圖法將3條不等長的線段圍成三角形。以上兩個活動是教師基于對學生認知邏輯和知識內(nèi)在邏輯的認識做出的最佳設計。三角形三邊關系的知識內(nèi)在邏輯是“任意兩邊長度和大于第三邊”到“兩短之和大于最長邊”，而學生認知邏輯是“兩短之和大于最長邊”。兩個實驗活動的設計和安排，有效解決了知識邏輯和認知邏輯之間的矛盾?；顒右粡奶厥馊吶胧?，得出“等長的三邊能圍成三角形”；活動二研究“不等長三邊”，得出“兩短邊之和大于最長邊”。在此基礎上，回到“特殊”，用活動二得出的結論解釋活動一的結論，推出“任意兩邊長度和大于第三邊”。

二、設計挑戰(zhàn)性任務，驅(qū)動實驗

學生是實驗活動的主體，只有喚起學生內(nèi)在的學習動機，才能幫助學生調(diào)用所有的經(jīng)驗和智慧，參與到探究過程。教師要通過設計學習任務或問題將教學目標轉(zhuǎn)化為學生的學習目標，引導和激勵學生探究數(shù)學知識。設計指向?qū)W生高階思維發(fā)展的學習任務（問題），是將學生引入到實驗探究“軌道”的關鍵。教師要關注真實性、實踐性和挑戰(zhàn)性任務的設計，引發(fā)學生思考，激活學生實驗的內(nèi)需。

（一）真實性

任務中的情境應該是真實的，真實情境不是指在現(xiàn)實生活中真實存在的，可以是模擬真實情境的卡通情境，只要事件、場景的問題是合理的，能引發(fā)學生真實思考的，都具有真實性。教師要設計基于真實情境的任務，激活學生的生活經(jīng)驗和情緒體驗，讓學生感受到數(shù)學學習的價值，引發(fā)“共情”，從而主動投入到問題的解決過程中。如教學“認識長方體和正方體”時，要求學生“求出教師制作的長方體紙盒（指定），至少需要鐵絲多少厘米？硬紙板多少平方厘米？”這個任務對于學生來說就是真實、可信的，在日常生活中，制作長方體紙盒需要考慮到鐵絲和硬紙板的用料，這個計算又是為老師解決問題，這些都能讓學生產(chǎn)生完成任務的沖動。

（二）實踐性

數(shù)學實驗教學中的任務解決要有利于學生開展實踐活動。設計時，要考慮任務具有實踐性，也就是能讓學生借助實驗活動探索問題。如“圖形的分割”一課，教師先布置了分割圖形的任務，即“畫一條直線，將給定圖形分成2個完全相同的部分”，再分兩批出示軸對稱圖形和平行四邊形。這樣安排的目的是讓學生從軸對稱圖形轉(zhuǎn)向?qū)Ψ禽S對稱圖形的關注，啟發(fā)學生從全新的視角思考平行四邊形的多種分割方法。但是，無論怎么畫分割線，學生都要根據(jù)圖形之間的關系，通過動手操作驗證自己的猜想。

（三）挑戰(zhàn)性

挑戰(zhàn)性任務是指有一定的思維難度，需要學生通過自身的努力或同伴合作，運用已有的知識和方法、借助外在的工具、憑借意志和耐力等才能完成的任務。挑戰(zhàn)性任務的解決路徑、方法和答案都可以是開放的，通常采用主題學習和項目學習的方式解決問題。如：教學“升和毫升”單元，可以讓學生“了解自己家庭一周用水情況”。這一任務的完成需要至少一周的時間，學生要和家庭成員一起協(xié)作，通過觀察、記錄、計算和推算等活動才能夠完成。

三、引發(fā)合情猜想，引領實驗

學生的實驗需求一旦被激活，就會遵循原有的思維習慣，自覺運用自己熟悉的方式進行實驗。這是未經(jīng)加工和雕琢的原生態(tài)的操作，是學生現(xiàn)有思維狀態(tài)的外在體現(xiàn)，可能產(chǎn)生一些錯誤和偏差。教師要在學生產(chǎn)生實驗動機后，幫助學生進一步澄清和明確問題，并基于直觀或借用已有經(jīng)驗，對問題結論進行數(shù)學猜想，在發(fā)展學生直覺思維的同時，明確行動的方向。教學時，教師要引導學生通過觀察、分析和推想，形成實驗假設。

（一）在“觀察”中形成猜想

觀察是智慧最重要的能源。與動手操作相比，數(shù)學實驗的展開需要基于對結論的猜想。教師要引導學生通過對研究對象全面、細致的觀察和分析，感悟和發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象之間的共同之處以及各要素之間的關聯(lián)，從而形成數(shù)學猜想。如教學“圖形分割”時，教師將學生個性化的圖形分割圖作為觀察對象，引導學生通過觀察多條分割線的位置，發(fā)現(xiàn)所有的分割線都相交于中心一點——中心，進而引導學生反向思考，得出“只要是經(jīng)過中心點的直線就能將平行四邊形分割成2個完全相同的部分”的猜想。

（二）在“變化”中提出假設

教師通過改變研究對象的某個要素，引發(fā)學生對關鍵點的關注，并基于“變”與“不變”的思考，產(chǎn)生對新研究對象特征和對象之間關系的猜測。如教學平行四邊形時，可先出示長方形框架，復習面積計算方法，再拉動長方形框架將其變?yōu)槠叫兴倪呅?，組織學生觀察并思考“圖形變化過程中，什么不變？什么變了？”學生通過前后圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)圖形周長、邊長不變，面積和高在發(fā)生變化，自然產(chǎn)生“平行四邊形的面積和底、高有關系”“平行四邊形面積=底×高”等一系列連續(xù)性的猜想。

（三）在“類比”中進行推想

通過類比推理形成猜想是數(shù)學教學中常用的一種方式。在研究某個數(shù)學對象時，教師會引導學生關聯(lián)與具有相似屬性的研究對象，借助已有的學習經(jīng)驗推斷、猜想新研究對象特征或要素關系。類比推理形成的猜想具有一定的合理性，教學時教師要相機運用。如教學圓錐體積時，可以先讓學生明確圓錐體積與底面積和高有關，再進一步提問“是不是底面積乘高算出的就是圓錐體積？為什么？”引導學生將圓錐和圓柱進行關聯(lián)，并通過直接觀察，猜想“圓錐體積可能是與它等底等高圓柱體積的? ?或

”，為后續(xù)的實驗探究指明方向。

四、聚焦關鍵要素，策劃實驗

學生對數(shù)學結論的猜想不是事實，僅僅是一種數(shù)學假設，可能正確也可能錯誤。為了能得到正確的結論，需要進一步通過實驗活動加以驗證，如證實則猜想正確，如果證偽則猜想錯誤，需要重新猜想，開始新一輪實驗探究。從猜想到驗證是培養(yǎng)學生推理能力的重要路徑，教師要指導學生自主策劃實驗方案，驗證自己的猜想。

（一）思路構想

實驗活動的策劃要經(jīng)歷從整體到局部，不斷細化的過程。教師要先帶領學生構想實驗路徑，明確研究的思路。如教學三角形內(nèi)角和時，教師通過提問“怎么知道任意一個多邊形內(nèi)角和呢？”啟發(fā)學生想到“先找?guī)讉€圖形研究，找到規(guī)律，再運用規(guī)律求內(nèi)角和”。當學生對實驗思路有了大致的規(guī)劃后，再引導學生細化方案，使得各個實驗環(huán)節(jié)清晰化、明朗化?？梢赃M一步追問“選幾個圖形研究，才能找到規(guī)律？”“從哪個圖形開始研究？”幫助學生明確“找規(guī)律”要遵循以下三點：一是由易到難，從簡單的入手；二是研究對象要滿足一定數(shù)量，至少有3個及以上；三是及時驗證規(guī)律。隨著實驗方案的不斷完善，實驗的可行性不斷增強。

（二）工具選擇

與其他學科實驗相比，數(shù)學實驗對材料、工具的要求比較低。只要具備操作性、可重復操作的實物、圖形或模具等都可以作為實驗的素材。在教學中，教師除了要為學生準備充足的實驗材料供學生自主選擇，還要幫助學生學會選擇合適的實驗材料（工具）。如教學圓錐體積時，可以出示圓錐體、長方體、正方體和圓柱體等一些底、高不一的容器，讓學生自主選擇實驗工具并說明理由，呼應猜想。另外，教師可以利用多媒體技術，讓學生借助幾何畫板或網(wǎng)絡畫板等工具完成實驗，提高實驗結果的精確度。

（三）數(shù)據(jù)收集

實驗數(shù)據(jù)是產(chǎn)生實驗結論的參考和依據(jù)。實驗數(shù)據(jù)的數(shù)量和質(zhì)量，直接關系到結論的得出。實驗前，教師要組織學生討論收集實驗數(shù)據(jù)的方法，以提高實驗結果的可信度。如教學“可能性”時，可以通過教師示范摸球和提問等方式，讓學生明確為得到正確的實驗結果需要多次摸球。另外，為了解決課堂時間和摸球次數(shù)之間的矛盾，需要對各個小組摸球數(shù)據(jù)匯總。在進行“怎樣滾得遠”這一實驗時，還需要讓學生計算出平均數(shù)，使實驗數(shù)據(jù)具有代表性。

五、關注數(shù)學本質(zhì)，優(yōu)化實驗

實驗方案涉及活動選擇的材料、工具和大致的實驗流程，對學生開展實驗具有一定的指導作用，但不是萬能的。實際操作過程中，學生可能因?qū)χR本質(zhì)理解不到位，無法精準使用正確的、高效的實驗方法，從而影響到實驗的結果。為此，教師要根據(jù)實際教學情況，引導學生關注數(shù)學知識的本質(zhì)，改進和優(yōu)化實驗方法，從而提高實驗品質(zhì)，提升學生的思維能力。

（一）發(fā)現(xiàn)本質(zhì)，調(diào)整活動

教師要關注實驗活動與知識本質(zhì)的契合度，及時引導學生在原有的活動經(jīng)驗基礎上，聚焦本質(zhì)調(diào)整實驗活動。如教學“圖形分割”時，為了讓學生認識到中心對稱圖形的特征，教師在學生用原始的測量方法分割圖形后，引導學生從圖形名稱入手，聚焦“中心”對實驗方法進行再思考，進而發(fā)現(xiàn)“繞中心旋轉(zhuǎn)180o”觀察圖形兩邊是否重合這一方法，從而在用新方法實驗時不斷感悟中心對稱圖形的本質(zhì)。

（二）確認本質(zhì)，修正活動

實驗能使學生內(nèi)隱的思維過程外顯化，反過來，外在的操作活動能夠反應出學生的思維動態(tài)。教師應該根據(jù)學生的實驗情況分析和判斷學生思維狀態(tài)，及時調(diào)整教學策略。特別是在學生出現(xiàn)錯誤操作時，要相機引導，幫助學生回歸數(shù)學本質(zhì)，修正數(shù)學實驗。如學生在用分三角形的方法求多邊形內(nèi)角和時，出現(xiàn)了隨意分成三角形的情況。其根本原因是對三角形內(nèi)角和本質(zhì)沒有正確的認知。此時，教師要引導學生再次回歸概念本身，重新理解“內(nèi)角和”的本質(zhì)，進而選擇適切的用分三角形方法求內(nèi)角和。

（三）強化本質(zhì)，優(yōu)化活動

學生在判斷直角三角形是否按2∶1的比放大時，很容易受制于概念本質(zhì)，在驗證對應斜邊的比中出現(xiàn)困難。教師要及時介入，基于學生的活動經(jīng)驗，幫助學生進行方法的優(yōu)化?？梢韵冉M織學生思考“2條對應直角邊的比相同，能否判斷對應斜邊也具有相同的比？”，并組織學生通過測量或重疊的方法研究斜邊比，證明猜想。從而得出，用對應直角邊的比判斷圖形放大或縮小的簡單方法。接著，讓學生通過判斷任意三角形的放大檢驗新方法，進一步明確新方法的局限性。在以上過程中，學生經(jīng)歷了判斷方法的由“繁”到“簡”，再到有選擇使用的過程，加深了對圖形放大本質(zhì)的理解。

六、回顧探究過程，反思實驗

波利亞在《怎么解題》中指出，數(shù)學問題的解決僅僅只是一半，而更重要的是解題之后的回顧與反思。對探究過程的回顧和反思，可以深化對問題的理解，增進對數(shù)學知識本質(zhì)的理解，優(yōu)化思維過程，促進知識和方法的遷移與運用。教學中，教師要引導學生回顧借助實驗探究數(shù)學知識的歷程，聚焦探究的關鍵進行反思，幫助學生將學習經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為學習經(jīng)驗，從而學會實驗，學會借助實驗學習數(shù)學。

（一）反思實驗數(shù)據(jù)

受實驗工具、條件和方法等制約，由實驗獲得的數(shù)據(jù)往往會有誤差。實驗誤差會讓學生陷入思維困境，懷疑和動搖學生的猜想，阻礙和影響數(shù)學結論的得出。為此，教師要引導學生直面實驗誤差，反思實驗數(shù)據(jù)的成因，幫助學生走出思維的“迷障”。如認識“三角形內(nèi)角和”時，學生通過量角器測量計算得到180o、179o、174o等不同的內(nèi)角和，顯然，這些不同的數(shù)據(jù)不利于驗證“三角形內(nèi)角和是180o”的猜想。為此，教師要引導學生對“174o”和“179o”這兩個與“180o”不同的數(shù)據(jù)進行成因分析和數(shù)據(jù)再測，從而認識到174o是實驗錯誤，179o是由量角器、手測和所畫三角形邊線的粗細等所導致的實驗誤差。實驗錯誤可以避免，但實驗誤差是客觀存在。

（二）反思實驗結論

基于觀察、操作和推理等活動得到的實驗結論是歸納推理的結果，不是嚴格意義上的數(shù)學結論。為了增強實驗結論的可靠性，教師要盡可能地通過追溯原理幫助學生從本質(zhì)上理解和解釋結論。如學生通過實驗得到多邊形內(nèi)角和“（n-2）×180o”后，教師要通過提問算式意義并追問“為什么要計算（n-2）個180o？”讓學生進一步根據(jù)將多邊形分三角形的經(jīng)驗，用“頂角與對邊‘一一對應”或“分割線和三角形‘一一間隔”等個性化的、樸素的語言進行解釋。這樣從不同的角度認識規(guī)律，不僅能加深學生對數(shù)學結論的理解，還能豐富實驗的經(jīng)驗，提高數(shù)學推理能力。

（三）反思實驗方案

學生按預定的實驗方案進行數(shù)學探究時并不總是順利的，常常會根據(jù)實際需要調(diào)整方案。教師要通過引導學生反思探究過程，幫助學生認識到實驗方案需要不斷地調(diào)整和優(yōu)化。如探究“釘子板上的多邊形”時，原定的實驗方案是同時研究“邊點數(shù)”“內(nèi)點數(shù)”兩個變量，找到釘子板上多邊形的面積公式。事實上，大多數(shù)學生沒有能力通過幾個例子的觀察和研究，發(fā)現(xiàn)“邊點數(shù)”“內(nèi)點數(shù)”與多邊形面積之間的關系。此時，教師讓學生反思實驗方案“邊點數(shù)和內(nèi)點數(shù)都在變化，同時研究不容易看出它們與面積之間的關系，怎么辦？”幫助學生想到通過控制變量探索面積公式。

回顧實驗探究數(shù)學知識的過程時，除了引導學生反思數(shù)據(jù)、結論和方案，還可以反思工具、方法等。只要能幫助學生獲得數(shù)學學習思想和方法的活動環(huán)節(jié)，都要經(jīng)由反思幫助學生將活動經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為數(shù)學學習的能力。

綜上所述，教師要引導學生在具體的學習情境下，將數(shù)學實驗作為解決問題的重要方法，貫穿于整個數(shù)學探究的全過程；幫助學生將“做”和“思”有機融合，親歷數(shù)學學習全過程；形成和發(fā)展自主設計和優(yōu)化實驗方案，搜集和選用實驗工具，調(diào)整和改進實驗活動，回顧和反思實驗過程等能力，積累借助實驗探究數(shù)學問題的經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]董林偉.數(shù)學實驗：初中生數(shù)學學習方式的變革[J].全球教育展望，2020，（9）.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022：3.

責任編輯：顏瑩

收稿日期：2023-11-05

作者簡介：吳靜，江陰市澄江中心小學校長，正高級教師，無錫市學科帶頭人。