李建良

【摘? ?要】“教、學(xué)、評” 一致性是當前學(xué)科教學(xué)的重要研究內(nèi)容?！皢栴}提出”作為教學(xué)手段、學(xué)習目標和評價工具，兼具教、學(xué)、評三者功能于一體。在“雞兔同籠”問題的教學(xué)中，借助基礎(chǔ)性問題提出和發(fā)展性問題提出，圍繞“以‘問題提出為教學(xué)手段，架構(gòu)教學(xué)活動；以‘問題提出為學(xué)習目標，培養(yǎng)學(xué)生能力；以‘問題提出為評價工具，分析學(xué)習效果”的教學(xué)實踐，實現(xiàn)“教、學(xué)、評”一致性。

【關(guān)鍵詞】問題提出；教學(xué)評一致性；基礎(chǔ)性；發(fā)展性

“教、學(xué)、評”一致性是當前學(xué)科教學(xué)的重要研究內(nèi)容?！皢栴}提出”作為教學(xué)手段、學(xué)習目標和評價工具，恰好能與教、學(xué)、評活動相匹配，以此作為促進“教、學(xué)、評”一致性的手段，可以有效達成教學(xué)與研究的目標。近年來，筆者在這一方面作了一些實踐與探索，本文將以“雞兔同籠”一課為例，探討其中的具體做法。

一、“問題提出”促進“教、學(xué)、評”一致性的條件分析

根據(jù)教學(xué)時機和教學(xué)目的，“問題提出”活動可以分為基礎(chǔ)性問題提出和發(fā)展性問題提出。兩類活動功能各有側(cè)重，相輔相成（如圖1）。

基礎(chǔ)性問題是指針對知識與技能的理解與掌握這一基本目標，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)問題情境，結(jié)合已有知識經(jīng)驗，提出的與當前教學(xué)內(nèi)容相關(guān)的問題。其目標相對比較單一，指向也比較明確，不同的學(xué)生都可以提出符合自身水平的問題，共同構(gòu)建有效的問題序列作為學(xué)習素材，為探究指明方向，促使學(xué)生全員參與。

發(fā)展性問題是指針對思維與能力發(fā)展的高層次目標，引導(dǎo)學(xué)生提出的開放性問題，以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維并提供額外的學(xué)習資源。發(fā)展性問題的目標比較多元，學(xué)生提出的問題存在多種可能性，需要綜合運用各種知識技能，因此主要在應(yīng)用環(huán)節(jié)組織學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)對象提出此類問題。發(fā)展性問題還可以作為課后全面檢測學(xué)生學(xué)習水平的有效工具和有力依據(jù)。

問題提出作為教學(xué)手段、學(xué)習目標和評價工具，與教、學(xué)、評等活動都有著密切的關(guān)系。精心設(shè)計、有效實施、準確把握問題提出的教學(xué)活動，可以找到教、學(xué)、評三者的融通點，促進其一體化及螺旋式上升。（如圖2）

二、基于“問題提出”的“教、學(xué)、評”一致性設(shè)想

“雞兔同籠”問題作為一個經(jīng)典數(shù)學(xué)問題，其教學(xué)難點主要來源于三方面：課前，作為數(shù)學(xué)名題，它早已在學(xué)生中口口相傳，容易使部分學(xué)生望而卻步；課中，諸多解法，包括一些思維含量較高的“獨門秘技”，容易使學(xué)生淺嘗輒止、顧此失彼；課后，多種變式，包括數(shù)據(jù)變化、對象變化等，使之更加披上了一層變幻莫測的外衣。

根據(jù)問題提出的特點，結(jié)合“雞兔同籠”的教學(xué)難點，本內(nèi)容將在導(dǎo)入和拓展環(huán)節(jié)各安排一個問題提出活動。在導(dǎo)入環(huán)節(jié)，借助問題提出，把復(fù)雜的問題分解成簡單的問題，將特殊的問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐话愕膯栴}。例如，只提供“總頭數(shù)”這一條件：“籠子里有一些雞和兔，共8只?！庇蓪W(xué)生提出關(guān)于雞兔數(shù)量的簡單問題，使每個學(xué)生都可以嘗試用順向思維解決問題，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。比如，有學(xué)生提出這樣的問題：“其中雞有3只，雞兔一共有多少條腿？”這樣的解決問題過程使他們不必專門去掌握一些特殊的技巧。在解決問題、掌握模型的基礎(chǔ)上，再請學(xué)生提出相關(guān)的數(shù)學(xué)實際問題。如請學(xué)生根據(jù)雞兔同籠的模型，通過改變其中的數(shù)據(jù)或?qū)ο?，或同時改變兩者，提出一個新的問題。這樣既能考查學(xué)生對雞兔同籠問題的理解，也可以拓寬學(xué)生的視野，提供更多豐富且有深度的素材。

三、“問題提出”引領(lǐng)“教、學(xué)、評”一致性的教學(xué)實踐

（一）以“問題提出”為教學(xué)手段，架構(gòu)教學(xué)活動

1.“問題提出”引領(lǐng)教學(xué)活動有序推進

用孤立的眼光看待不同水平的學(xué)生提出的問題，可能會覺得有些問題過于簡單，但如果把這些問題納入到問題序列之中，則將形成教學(xué)活動有序開展的重要路徑。

教學(xué)開始，教師出示基本信息：“籠子里有一些雞或兔，共8個頭?！闭垖W(xué)生提出數(shù)學(xué)問題。學(xué)生提出“雞有幾只”“兔有幾只”“腿一共有幾條”等基本問題并發(fā)現(xiàn)這些問題的答案是不確定的，這就自然引出了列表法。從表格中，學(xué)生發(fā)現(xiàn)了“腿數(shù)”的增減規(guī)律，并對現(xiàn)象背后的原因作出了解釋：少一只雞的同時會增加一只兔，相當于增加了2條腿。教師在肯定這一發(fā)現(xiàn)之后追問：“不相鄰的兩組數(shù)據(jù)是否也存在類似的規(guī)律？”學(xué)生通過舉例，證明了其中也存在相關(guān)的規(guī)律。教師給出完整的雞兔同籠問題：“籠子里有一些雞或兔，一共有8個頭，26條腿。雞兔各有幾只？”學(xué)生在獨立完成和相互交流中，得出了假設(shè)法這一通用的方法。

教師請學(xué)生概括雞、兔、腿的數(shù)量變化規(guī)律。經(jīng)學(xué)生獨立思考與表達、相互補充和完善，得出結(jié)論如下：不管列表法還是假設(shè)法，都只要抓住“雞兔每次增減都會相差2條腿”這個關(guān)鍵點即可。腿少了，就加兔減雞；腿多了，就加雞減兔。

2.“問題提出”促進教學(xué)層次顯著提升

在學(xué)生對問題的基本模型有了較為深刻的理解之后，由學(xué)生自主提出不同類型、不同層次的問題，可以幫助他們了解更多的變式問題，開展深度學(xué)習。

教師讓學(xué)生運用雞兔同籠模型，從不同的要求中選擇一個提出問題。三種不同水平的要求如下：①仍然用上8和26，但是更換事物；②仍然用雞和兔、頭和腿，但是改變數(shù)量；③既更換事物，又改變數(shù)量。學(xué)生提出三種類型的變式問題后，教師從中各挑選一個進行展示（如圖3）。第三類問題引起了學(xué)生的注意，大部分學(xué)生認為這個問題與前兩個問題不同，把動物的腿數(shù)換成了種菜的棵數(shù)，而且數(shù)量變成了2棵和3棵，男女生種菜的棵數(shù)是相差1而不是2。由此，學(xué)生體會到了雞兔同籠問題變化多樣，也加深了對其中包含的萬變不離其宗的數(shù)學(xué)模型的理解。

兩次問題提出活動首尾呼應(yīng)，搭建了結(jié)構(gòu)化的教學(xué)序列，使學(xué)生經(jīng)歷了完整的學(xué)習探究過程，對雞兔同籠問題形成了正確而深刻的認識。

（二）以“問題提出”為學(xué)習目標，培養(yǎng)學(xué)生能力

1.借助“問題提出”，提供平等的參與機會

通過對教材中教學(xué)內(nèi)容的適當改編，使之成為一個簡單又常見的情境，引導(dǎo)學(xué)生提出問題，可以為不同水平的學(xué)生提供參與的機會。

在雞兔同籠的教學(xué)中，學(xué)生根據(jù)信息提出基礎(chǔ)性問題之后，發(fā)現(xiàn)這些問題的答案是不確定的，由此聯(lián)想到了“租船問題”中所用過的列表法或枚舉法。正是在這些簡單、基礎(chǔ)的問題以及它們形成的問題串的引領(lǐng)下，全體學(xué)生都參與到了用列表法研究多種可能的結(jié)果的活動中來?；A(chǔ)性問題提出活動營造了一個共同探究的良好學(xué)習氛圍，激發(fā)了全體學(xué)生參與研究的動力。

2.借助“問題提出”，激發(fā)豐富的創(chuàng)造能力

在發(fā)展性問題提出的過程中，相當一部分學(xué)生愿意挑戰(zhàn)第三類變式問題（同時改變數(shù)量和事物），這反映出學(xué)生極大的想象力、創(chuàng)造力以及持續(xù)探究的熱情。學(xué)生提出的問題中包含多種不同類型的對象，如動物、植物、工作量、交通工具以及幾何圖形等。其中，有不少學(xué)生嘗試突破原題中“2條腿”和“4條腿”的限制，提出諸如“1條腿”“3條腿”乃至“100條腿”的問題。學(xué)生提出的數(shù)學(xué)問題中包含的現(xiàn)實對象的豐富性、數(shù)量關(guān)系的多樣性，以及對數(shù)量關(guān)系把握的準確性，遠超教師預(yù)期。

可見，由學(xué)生自主提出變式問題，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，提高學(xué)生的思維品質(zhì)，有限的學(xué)習空間得到了無限的擴張，學(xué)生為自己爭取到了更多的學(xué)習機會。

（三）以“問題提出”為評價工具，分析學(xué)習效果

1.實時評價基礎(chǔ)性問題，指明探究方向

在以問題提出為主導(dǎo)的教學(xué)活動中，教師通常會對學(xué)生提出的基礎(chǔ)性問題作及時的分類、整理與評價，更好地發(fā)揮問題的導(dǎo)向作用。

在雞兔同籠教學(xué)中，學(xué)生提出了“雞有幾只”“兔有幾只”“腿一共有幾條”這三個非常簡單和常見的問題，教師及時組織學(xué)生對這些問題進行評價。通過這三個問題以及由此引出的評價，高水平的學(xué)生看到了與自己通過課外途徑了解到的“雞兔同籠”問題不一樣的研究切入點，激發(fā)了他們的好奇心；中下水平的學(xué)生則是看到了自己熟悉的數(shù)學(xué)問題，激活了已有的學(xué)習經(jīng)驗，引發(fā)了他們進一步探究的意愿。因此，不能僅僅為了提問而提問，更應(yīng)該發(fā)揮問題的全方位作用，尤其要通過學(xué)生的自評與互評，發(fā)現(xiàn)問題之間的關(guān)系和脈絡(luò)，探尋學(xué)習和研究的正確方向。

2.統(tǒng)計分析發(fā)展性問題，評價學(xué)習效果

問題提出是評價學(xué)生認知水平的重要手段。發(fā)展性問題提出一般采用書面的形式進行表達，這有利于在課后進行更加細致的統(tǒng)計與分析。筆者結(jié)合教學(xué)實際，對Silver和蔡金法研究得出的學(xué)生問題提出水平評價框架進行了適當?shù)暮喕?，使之更易于操作（如圖4）。課后，利用該評價框架，對學(xué)生提出的發(fā)展性問題進行了分類統(tǒng)計（如表1）。

教學(xué)活動中的三個變式問題提出要求按由易到難的順序呈現(xiàn)。統(tǒng)計顯示，學(xué)生選擇比例最高的是變式問題③，這表明學(xué)生愿意挑戰(zhàn)有一定難度的問題。所有學(xué)生提出的問題中，合理問題有28個，占問題總數(shù)的68.29%；不合理問題也主要集中在變式③這類較高難度的問題中。另外，問題提出的正確率明顯低于問題解決的正確率，學(xué)生的一些認知不足也得以暴露，這也為教師全面了解學(xué)生的學(xué)習狀況提供了客觀依據(jù)。

此外，若學(xué)生提出的問題中涉及的情境對象仍然是類同的動物（如兔變龜），則可以推斷其模仿成分大于創(chuàng)造成分。如果能提出涉及其他事物的問題，則表明學(xué)生已經(jīng)脫離了表象的束縛，更加注重雞兔同籠問題的本質(zhì)。對學(xué)生提出的問題中包含的現(xiàn)實情境進行分析可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生提出的問題中包含的情境種類有動物、植物等8種（如圖5）。另外，經(jīng)統(tǒng)計，共有10名學(xué)生突破了“2條腿”和“4條腿”腿數(shù)之差的限制。從問題情境和數(shù)量關(guān)系的角度而言，這部分學(xué)生已經(jīng)能大膽突破認知局限，準確抓住問題本質(zhì)。

因此，作為評價工具，問題提出能從知識技能、情感態(tài)度、方法策略、思維水平、學(xué)習習慣等方面對學(xué)生的學(xué)習情況作出全面的評價。并且，部分評價結(jié)果能在教學(xué)過程中及時反饋，直接體現(xiàn)在課堂上，反作用于教師的教與學(xué)生的學(xué)。

總之，解決“教、學(xué)、評”一致性問題的實質(zhì)在于提高教、學(xué)、評的相關(guān)性。教師在設(shè)計教學(xué)活動的過程中，不僅應(yīng)全面考慮借助問題提出活動充分發(fā)揮課堂中教、學(xué)、評三者的作用，使教有層次、學(xué)有發(fā)展、評有依據(jù)，更要使三者相互作用，彼此促進?！皢栴}提出”的核心價值在于為學(xué)生提供更多的學(xué)習機會。在強調(diào)“問題提出”的課堂教學(xué)中，教師應(yīng)以開放的理念，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生參與和表達的學(xué)習空間。只有在開放、多元的環(huán)境中，學(xué)生才能盡情地提出問題和表達觀點。教師還應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生提出的問題中的教學(xué)價值，及時組織學(xué)生對問題進行梳理和評價。利用學(xué)生提出的特別有價值的問題開展深度學(xué)習，或借助其中的不合理問題，進一步理解和鞏固所學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)屬性。實踐證明，精心預(yù)設(shè)問題提出活動，創(chuàng)設(shè)有利于問題提出的學(xué)習氛圍，及時把握生成的問題資源，有助于實現(xiàn)“教、學(xué)、評”一致性。

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