［摘? 要］ 核心素養(yǎng)強(qiáng)調(diào)的不是知識(shí)與技能本身，而是獲取知識(shí)與技能的能力. 培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)最好的途徑是將其滲透于學(xué)科教學(xué)中. 因此，研究者嘗試將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)概念教學(xué)相結(jié)合，從小處入手，試探究在“排列”的概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教法.

［關(guān)鍵詞］ 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)；概念教學(xué)；排列

排列，既是分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，又是學(xué)習(xí)組合與組合數(shù)公式的基礎(chǔ)，它的教學(xué)蘊(yùn)含了對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)培養(yǎng)的豐富內(nèi)容. 雖然許多教師對(duì)此課的教學(xué)進(jìn)行了多方面的有益探索，但是將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)滲透其中的教學(xué)嘗試尚嫌不足，可以借鑒的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)有限，且當(dāng)前很多因素制約了數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)在教學(xué)中的滲透. 為此，筆者結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)“排列”這節(jié)概念課，就如何在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)做了一些探究.

課堂實(shí)錄

1. 問(wèn)題情境，引入新課

師：考察下面兩個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題1：高二（5）班準(zhǔn)備從甲乙丙這3名學(xué)生中選出2人分別擔(dān)任班長(zhǎng)和副班長(zhǎng)，有多少種不同的選法？

問(wèn)題2：從1，2，3這3個(gè)數(shù)中取出2個(gè)數(shù)組成兩位數(shù)，這樣的兩位數(shù)共有多少個(gè)？

師：上面兩個(gè)問(wèn)題有什么共同特征？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)問(wèn)題的提出，促使學(xué)生觀察，歸納出兩個(gè)問(wèn)題的共同特征，有助于提升數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).

師：我們先考察問(wèn)題1中所有可能的選法，哪位同學(xué)愿意分享一下你的想法？

生1：共6種. 窮舉法：先選班長(zhǎng)后選副班長(zhǎng). 選法如下：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.

師：正確，請(qǐng)呈現(xiàn)你的思維過(guò)程.

設(shè)計(jì)意圖：窮舉法是學(xué)生最容易想到的方法，但若問(wèn)題加深難度，窮舉法的效率則頗低.

生1補(bǔ)充：我們可以用樹(shù)形圖來(lái)解答. 共6種：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙.

師：好！利用樹(shù)形圖來(lái)解答，方法直觀，可以保證所求個(gè)數(shù)不重不漏.

師：那么問(wèn)題2呢？

生2：因?yàn)?，2，3這3個(gè)數(shù)任何一個(gè)都可能在十位，也都可能在個(gè)位，用樹(shù)形圖來(lái)表示，得到共有6種不同的選法：12，13，21，23，31，32.

師：很好！請(qǐng)大家繼續(xù)思考：?jiǎn)栴}1和問(wèn)題2有什么共同點(diǎn)？

生3：從形式上來(lái)看，都是從3個(gè)……中選2個(gè).（眾生笑）

師：沒(méi)錯(cuò)，生3觀察得很仔細(xì). 對(duì)于“……”部分，我們通常把問(wèn)題中被取的對(duì)象叫做“元素”. 很明顯上面兩個(gè)問(wèn)題中的3個(gè)元素是不同的.

師追問(wèn)：如果將問(wèn)題1中的班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)視為第1位、第2位；同理，將問(wèn)題2中的十位、個(gè)位也視為第1位、第2位（師板書(shū)）. 那么，這兩個(gè)問(wèn)題還有什么共同點(diǎn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖：此處師板書(shū)旨在培養(yǎng)學(xué)生直觀想象、邏輯推理等核心素養(yǎng)，期待學(xué)生可以通過(guò)直觀感知，推理得出兩個(gè)問(wèn)題中存在的共同特征.

此時(shí)生3面露難色，沒(méi)有回答.

生4（踴躍）：老師，這兩個(gè)問(wèn)題都是將取出來(lái)的2個(gè)元素按順序排成一列.

師生概況出共同點(diǎn)：①?gòu)?個(gè)不同的元素里取出2個(gè)；②按照一定的順序排成一列. （師板書(shū)）

師：能否再舉幾個(gè)例子？

生5（男生）：從3朵玫瑰花中選2朵分別送給2個(gè)女生.（眾生大笑）

師：（笑過(guò)之后）我們考慮一下這個(gè)例子是否符合上述特征？

全體學(xué)生：符合.

師：對(duì). 這個(gè)例子比較貼近生活，還有么？

生6（女生）：從a，b，c這3個(gè)字母中取出2個(gè).

師：很好，兩位同學(xué)舉出的例子都很精彩，我們還可以嘗試通過(guò)改變數(shù)字來(lái)得到其他例子.

2. 數(shù)學(xué)建模，深化概念

問(wèn)題3：從1，2，3，4這4個(gè)數(shù)中，每次取出3個(gè)排成一個(gè)三位數(shù)，能得到多少個(gè)不同的三位數(shù)？

師：將問(wèn)題1、問(wèn)題2放在一起，去偽存真，可以抽象成：從3個(gè)不同的元素中取出2個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排法？那么，問(wèn)題3可以抽象成什么？

生7：從4個(gè)不同的元素中取出3個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排法？

師：正確. 下面請(qǐng)同學(xué)們將它們推廣到更一般的情形.

生8：從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，然后按照一定的順序排成一列，一共有多少種不同的排法？

師：推廣得很好！尤其引入了變量m，n，并給出了“m≤n”，考慮到了變量的實(shí)際大??！另外，通過(guò)由特殊到一般，把具體問(wèn)題抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題，自己建立了本節(jié)課的數(shù)學(xué)模型——“排列”，非常厲害！

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生通過(guò)問(wèn)題探究，自行建模，活躍了課堂氣氛，培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模等能力.

3. 例題講解，難點(diǎn)突破

概念辨析：判斷下列哪些命題是排列.

①?gòu)?0名學(xué)生中抽取2名作為正、副組長(zhǎng)；

②從10名學(xué)生中選取2名去開(kāi)會(huì)；

③從2，3，5，7，11中任取2個(gè)數(shù)相乘；

④從2，3，5，7，11中任取2個(gè)數(shù)相除；？搖

⑤有3本不同的書(shū)，從中選取2本送給2名同學(xué)，每人各1本；

⑥有3種不同的書(shū)（每種不少于2本），從中選2本送給2名同學(xué)，每人各1本.

生9：①是，它相當(dāng)于從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)，然后按照一定的順序排成一列，符合“排列”的定義.

師：說(shuō)得好，判斷命題是否是“排列”的依據(jù)便是“排列”的定義.

生10：②不是，它相當(dāng)于從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)，然后不需要考慮順序排成一列，不符合“排列”的定義.

師：正確！再次強(qiáng)調(diào)“排列”定義中的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：①元素不能重復(fù)；②按一定的順序排成一列. 缺一不可！

例1 寫(xiě)出從a，b，c，d這4個(gè)字母中，取出2個(gè)字母的所有排列.

生板演.

設(shè)計(jì)意圖：考查學(xué)生的應(yīng)用能力，滲透數(shù)學(xué)素養(yǎng).

生11：板演樹(shù)形圖（略），有12個(gè)不同的排列，它們是ab，ac，ad，ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.

思考1：ab與ac是相同的排列嗎？ab與ba呢？

生12：都不是. 前者元素不同，后者順序不同.

師：正確，抓住了“排列”定義的本質(zhì). 兩個(gè)排列相同，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)排列中的元素完全相同，且元素的排列順序也完全相同.

思考2：a不排在首位的排列有哪些？

生13：在原問(wèn)題結(jié)果的基礎(chǔ)上，去掉a排在首位的排列，共有9個(gè)：ba，bc，bd，ca，cb，cd，da，db，dc.

師：正確，在前人工作的基礎(chǔ)上，我們可以利用“排除法”很快得到答案. 還有別的想法么？

設(shè)計(jì)意圖：此種解法是學(xué)生容易想到的，窮舉后利用“排除法”能很快找到符合條件的結(jié)果. 可以培養(yǎng)學(xué)生舉一反三的創(chuàng)新意識(shí).

生14：樹(shù)形圖中第一行只列b，c，d，不列a.

師小結(jié)：直接運(yùn)用樹(shù)形圖，活學(xué)活用，值得學(xué)習(xí)！這個(gè)問(wèn)題是“有限制條件的排列”，大家可以采用“直接法”或“排除法”兩種方法來(lái)處理.

例2 寫(xiě)出從a，b，c，d這4個(gè)字母中，取出3個(gè)字母的所有排列.？搖

生15：從4個(gè)字母中取出2個(gè)字母的排列有12個(gè)，在這樣的每一種排列后面排上其余2個(gè)字母中的任何一個(gè)，就可以得到結(jié)果（作樹(shù)形圖）.

思考：你能寫(xiě)出這4個(gè)字母都取出的所有排列嗎？

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)學(xué)生的分析思考，進(jìn)一步加深學(xué)生對(duì)樹(shù)形圖的認(rèn)識(shí).

4. 課堂小結(jié)，布置作業(yè)

略.

教學(xué)反思

教學(xué)反思是教師以個(gè)人教學(xué)為思考對(duì)象，對(duì)自身教學(xué)理念、實(shí)踐及因此而產(chǎn)生的結(jié)果進(jìn)行深入的分析，達(dá)到既提高教學(xué)質(zhì)量又提升教學(xué)水平的過(guò)程［1］.

（1）反思教學(xué)設(shè)計(jì).本節(jié)課正是通過(guò)幾個(gè)排列問(wèn)題，讓學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)、歸納小結(jié)，迫使他們找出這些排列問(wèn)題中的共同特征，再由特殊到一般、由具體到抽象，得到排列模型.從而引發(fā)學(xué)生強(qiáng)烈的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和應(yīng)用意識(shí)，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)滲透到數(shù)學(xué)概念教學(xué)中.

（2）反思問(wèn)題情境的創(chuàng)設(shè). 筆者有如下體會(huì)：①問(wèn)題情境應(yīng)當(dāng)在學(xué)生知識(shí)的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行設(shè)計(jì)，循序漸進(jìn)，由淺入深，激發(fā)學(xué)生對(duì)新知識(shí)的渴望；②抓住概念的本質(zhì)特征，設(shè)計(jì)一些練習(xí)題，可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，鞏固已學(xué)知識(shí)；③利用例題與思考題相結(jié)合進(jìn)行分層教學(xué)，使學(xué)生既能熟悉掌握基本方法，又能加深學(xué)習(xí). 這樣，不僅使這節(jié)概念課教學(xué)的內(nèi)容進(jìn)一步得到了升華，又為下一階段推導(dǎo)排列組合公式做了鋪墊.

值得注意的是，將數(shù)學(xué)素養(yǎng)滲透到數(shù)學(xué)概念教學(xué)中的手段不是孤立的，也不是矛盾的，可以將排列組合綜合應(yīng)用. 總之，教起來(lái)“枯燥乏味”的內(nèi)容其實(shí)用對(duì)了方法也能教出希望，開(kāi)出理想之花. 筆者希望借此論文，引起更多的專家學(xué)者關(guān)注如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，使新課程理念下的數(shù)學(xué)教學(xué)可以向蓬勃的方向發(fā)展.

參考文獻(xiàn)：

［1］? 蔡勇全. 也談數(shù)學(xué)教學(xué)反思［J］. 數(shù)學(xué)通訊，2016（05）：1-3.

作者簡(jiǎn)介：李永永（1986—），碩士研究生，中學(xué)一級(jí)教師，從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.