林運(yùn)來

【摘要】 本文對(duì)幾道有顯著特色的數(shù)學(xué)競(jìng)賽小題給予解答、評(píng)析，旨在激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生解題能力.

【關(guān)鍵詞】 競(jìng)賽；特色小題；解題能力

例1 已知實(shí)數(shù)x，y滿足26x3y3x6-27y6=1，且x2≠y2，則x2+y2x2-y2的值為（? ）

（A）54.（B）45.（C）12.（D） 2.

解 由26x3y3x6-27y6=1，得

x6-26x3y3-27y6=0，

所以（x3-y3）（x3-27y3）=0，

又因?yàn)閤2≠y2，

所以x3≠y3，

于是x3=27y3，

所以x=3y，

所以x2+y2x2-y2=（3y）2+y2（3y2）-y2=54.

應(yīng)選（A）.

注 此題注重對(duì)學(xué)生恒等變換能力的考查.因式分解是一種重要的恒等變換手段，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)非常有用.當(dāng)然，借助特殊與一般的思想，也可以令y=1，再根據(jù)已知條件求出x的值，再代入計(jì)算.

例2 將形如3m和2n（m，n為正整數(shù)）的正整數(shù)從小到大排列，并依次記為a1，a2，a3，…，若第k個(gè)數(shù)ak=2022，則k的值為（? ）

（A）682.??? （B）683.

（C）684.（D）685.

解 易知對(duì)任意的正整數(shù)m，n，都有3m≠2n.

現(xiàn)將形如3m（m為正整數(shù)）的正整數(shù)按從小到大的順序排列，

由于2022=3×674，

所以2022是其中的第674個(gè)數(shù).

又因?yàn)?10=1024，211=2048，

所以從1到2022之間有10個(gè)形如2n（n為正整數(shù)）的正整數(shù).

所以k=674+10=684.

應(yīng)選（C）.

注 計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中?？嫉膯栴}.本題求解的關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)“對(duì)任意的正整數(shù)m和n，3m和2n不可能相等”這一規(guī)律，于是先對(duì)兩組數(shù)分類計(jì)數(shù)，再結(jié)合加法原理求k.

例3 已知正整數(shù)a，b，c，d滿足a<b<c<d，a+b+c+d=2022，d2-c2+b2-a2=2022，則這樣的4元數(shù)組（a，b，c，d）共有（? ）組.

（A）251.??? （B）252.

（C）502.（D）504.

解 因?yàn)閍，b，c，d是正整數(shù)，

且a<b<c<d，

所以a+3≤b+2≤c+1≤d，

所以2022=d2-c2+b2-a2

=（d-c）（d+c）+（b-a）（b+a）

≥（d+c）+（b+a）

=2022.

因此d-c=1，b-a=1，

即d=c+1，b=a+1.

故a+b+c+d=a+（a+1）+c+（c+1）=2022，

所以a+c=1010.

因?yàn)閍+2≤c，

所以1010=a+c≥a+（a+2），

又因?yàn)閍是正整數(shù)，

所以1≤a≤504.

因?yàn)椋╝，b，c，d）=（a，a+1，1010-a，1011-a），

所以符合條件的4元數(shù)組（a，b，c，d）共有504組.

應(yīng)選（D）.

注 本題的求解利用到整數(shù)的一個(gè)常用性質(zhì)：若a，b，為整數(shù)，且a<b，則a+1≤b.

例4 已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足abc=1，a+1b=3，b+1c=17，則c+1a=.

解 因?yàn)閍bc=1，

所以b=1ac，1b=ac，

由已知得3=a+1b=a+ac，

即ac=3-a.

又因?yàn)閎+1c=1ac+1c=1+aac=17，

則1+a3-a=17，

解得a=259.

由此可得c=225，

所以c+1a=225+925=1125.

注 這種解法只用到最樸素的消元思想（先消去b，再利用恒等變換消去c，于是可以求解得出a的值，達(dá)到“各個(gè)擊破”的效果），進(jìn)而輕松得到答案.

例5 若素?cái)?shù)p使得4p2+p+81是一個(gè)完全平方數(shù)，則p=.

解 若p=2，則4p2+p+81=97不是完全平方數(shù).于是p為奇數(shù)，4p2+p+81是偶數(shù).不妨設(shè)4p2+p+81=（2m）2，其中m是正整數(shù).

因?yàn)椋?m）2=4p2+p+81>（2p）2，

所以m>p，

所以m≥p+1.

所以4p2+p+81=（2m）2≥［2（p+1）］2，

解得p≤11.

將p=3，5，7，11分別代入4p2+p+81驗(yàn)算可知只有p=11符合題意，此時(shí)

4p2+p+81=576=242.

因此p=11.

注 通過利用整數(shù)的性質(zhì)“若a，b為整數(shù)，且a<b，則a+1≤b”對(duì)所列等式的一邊進(jìn)行“放縮”，通過“不等”駕馭“相等”，縮小p的取值范圍，再逐一驗(yàn)算，求得最終結(jié)果.

例6 同余數(shù)是一個(gè)三邊均為有理數(shù)的直角三角形的面積，即如果存在三個(gè)正有理數(shù)a，b，c，使得a2+b2=c2，且12ab=n，則稱n為同余數(shù).如果正整數(shù)n為同余數(shù)，則稱n為整同余數(shù).例如，由于5是三邊長(zhǎng)分為32，203，416的直角三角形的面積，6是三邊長(zhǎng)分別為3，4，5的直角三角形的面積，7是三邊長(zhǎng)分別為17560，28860，33760的直角三角形的面積，所以5，6，7都是同余數(shù)，且是整同余數(shù).

如何判斷一個(gè)正整數(shù)是否為同余數(shù)至今尚未完全解決.關(guān)于同余數(shù)的第一個(gè)重要結(jié)論是費(fèi)馬（Fermat）在17世紀(jì)證明的1不是同余數(shù).

在a2+b2=c2，12ab=n中，令x=n（a+c）b，y=2n2（a+c）b2，可得y2=x3-n2x.因此，若正整數(shù)n是同余數(shù)，則二元三次不定方程y2=x3-n2x有有理數(shù)解；若正整數(shù)n使得二元三次不定方程y2=x3-n2x有有理數(shù)解，則n是同余數(shù).這樣，古老的同余數(shù)問題與現(xiàn)代的橢圓曲線上的有理點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)）之間建立了聯(lián)系.

閱讀上述材料，請(qǐng)你寫出橢圓曲線y2=x3-202x（其中xy≠0）上的一個(gè)有理點(diǎn)坐標(biāo)（x，y）=.

解 類比y2=x3-n2x ，在y2=x3-202x中，可知n=20.

因?yàn)?是同余數(shù)，且5是三邊長(zhǎng)分為32，203，416的直角三角形的面積，而20=5×4=5×22，所以20可以看成是三邊長(zhǎng)分為32×2，203×2，416×2的直角三角形的面積.

于是a=32×2=3，

b=203×2=403，

c=416×2=413，

n=20.

將上述數(shù)據(jù)代入x=n（a+c）b，y=2n2（a+c）b2，可得x=25，y=75.

于是（25，75）是橢圓曲線y2=x3-202x（其中xy≠0）上的一個(gè)有理點(diǎn).

注 本題是一道閱讀理解型問題，要求考生讀懂所給材料并揭示“同余數(shù)”這一概念的內(nèi)涵，考查考生對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解能力，重點(diǎn)考查學(xué)生在閱讀理解的基礎(chǔ)上運(yùn)用新知識(shí)解決問題的能力.題設(shè)條件滲透數(shù)學(xué)文化，有助于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，激勵(lì)學(xué)生積極投入到數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中.當(dāng)然，此題在立意方面具有創(chuàng)新性，解法具有探索性，結(jié)論具有多元性，如，可以填（-16，48），（180，2400）等.因此，本題是一道優(yōu)秀的考題.

例7 已知a>0，拋物線y=ax2+bx+c與直線y=ax+c及y=cx+a中的每一條都至多有一個(gè)公共點(diǎn)，則ca的最大值為.

解 聯(lián)立y=ax2+bx+c，y=ax+c，

消去y，整理得

ax2+（b-a）x=0，

解得x1=0，x2=a-ba.

由題設(shè)條件可知 a=b.

聯(lián)立y=ax2+bx+c，y=cx+a，結(jié)合a=b，

消去y，整理得

ax2+（a-c）x+c-a=0.

由已知得Δ=（a-c）2-4a（c-a）≤0，

即5a2-6ac+c2≤0.

又因?yàn)閍>0，

所以ca2-6·ca+5≤0，

解得1≤ca≤5.

經(jīng)檢驗(yàn)，ca=5符合題意，所以ca的最大值為5.

注 要求ca的最大值，考慮消去變量b，同時(shí)將已知條件“拋物線與直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)”等價(jià)轉(zhuǎn)化為“一元二次方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)根”，進(jìn)而建立關(guān)于a，c的不等式求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化與化歸的解題思想，值得認(rèn)真體會(huì).