鄭麗穎， 楊永清， 許先云

（江南大學 理學院，江蘇 無錫 214122）

引 言

隨著多智能體系統(tǒng)的協(xié)調控制在無人駕駛飛行器、分布式小衛(wèi)星群的編隊飛行以及高速公路系統(tǒng)設計等領域的廣泛應用，多智能體系統(tǒng)的一致性、穩(wěn)定性和時變性已經(jīng)成為控制界的研究熱點[1-3].

通過區(qū)分是否存在一個領導，多智能體系統(tǒng)中的一致性問題可以分為兩種：領導跟隨一致性和無領導跟隨一致性.在文獻[4]中，Wu等根據(jù)不同的動力學系統(tǒng)，研究了具有執(zhí)行器故障和外部系統(tǒng)干擾的領導跟隨多智能體系統(tǒng)容錯一致性跟蹤控制問題.在過去的十幾年中，很多學者都專注于研究多智能體系統(tǒng)的二階一致性問題.文獻[5]基于切換拓撲結構，研究了多智能體系統(tǒng)的領導跟隨集群問題.文獻[6]以相互獨立的波動偏微分方程組為模型，探討了大型多智能體系統(tǒng)的編隊跟蹤控制問題.文獻[7]為了解決符號網(wǎng)絡結構平衡問題，提出了一種適用于有向網(wǎng)絡結構的算法，研究了具有非線性動力系統(tǒng)和帶有有向拓撲圖的奇異多智能體系統(tǒng)領導跟隨一致性問題.文獻[8]中為了顯著降低通信負擔，提出了一種事件觸發(fā)控制算法來解決二階多智能體領導跟隨一致性問題.

與具有固定拓撲結構的時不變系統(tǒng)相比[9-11]，帶有外部擾動的時變系統(tǒng)的研究更具挑戰(zhàn)性和難度.例如，時不變系統(tǒng)=Ax 是穩(wěn)定的，當且僅當矩陣A是Hurwitz矩陣.但是，對于線性時變系統(tǒng)=A(t)x(t)而言，這個結論就不再成立了[12].從過去十幾年里研究時變系統(tǒng)穩(wěn)定性的文獻[13-18]中可以看出，由于耦合項和時變節(jié)點動力學的共存，很難將時變網(wǎng)絡的穩(wěn)定性結果推廣到多智能體時變網(wǎng)絡的一致性.總而言之，研究具有時變節(jié)點的多智能體網(wǎng)絡動態(tài)系統(tǒng)比研究具有時不變節(jié)點的更具挑戰(zhàn)性和實用性.文獻[12]研究了時變拓撲下帶有采樣的一階多智能體系統(tǒng)的一致性問題，而對二階多智能系統(tǒng)在時變拓撲下的采樣一致性問題并沒有更深一步的研究.另一方面，在過去的一段時間內，很多學者針對切換拓撲的問題進行了研究.文獻[19]中最終取得一致性的充分必要條件是所采用的切換網(wǎng)絡是聯(lián)合連通的，文獻[20-23]也使用了切換系統(tǒng)來模擬時變拓撲系統(tǒng).但值得注意的是，該拓撲結構由于僅在確定的切換時刻變化，所以具有一定的局限性.由此可見，時變拓撲下二階多智能體系統(tǒng)的采樣一致性問題是一個值得研究的話題.

此外，現(xiàn)有文獻中多智能體系統(tǒng)的研究總是假設智能體和其鄰居之間是連續(xù)通信的.與連續(xù)通信相比，采樣策略因為提高了資源的有效利用從而顯示出了其優(yōu)越性[24-29].多智能體的領導跟隨一致性[30-33]已經(jīng)被許多學者研究過并得出了很多的結論和成果.但遺憾的是，具有時變拓撲結構的多智能體系統(tǒng)采樣一致性的理論成果還比較少.

基于上述討論，本文在固定時間間隔采樣的機制下，研究了具有時變拓撲的二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題.主要工作和貢獻如下：

1) 研究了采樣數(shù)據(jù)通信下帶有時變特征的二階多智能體系統(tǒng)的一致性問題.首先根據(jù)Laplace矩陣存在一個零特征值，將具有時變特征的一致性問題等價轉化為幾個線性時變系統(tǒng)的穩(wěn)定性.然后利用Lyapunov方法推導出達到一致性的充分條件.

2) 通過構造虛擬領導者，將無領導跟隨一致問題轉化為有領導跟隨一致問題，從而可以采用有領導一致問題的研究方法進行分析.

3) 給出了一個在采樣數(shù)據(jù)通信下帶有時變特征的二階多智能體系統(tǒng)的仿真實例來驗證所得結論的有效性和正確性.

符號說明：對任意向量 x∈Rn，定義其轉置和歐式范數(shù)分別為 xT和 ||x||.In為 n維單位矩陣， 1N為元素全為1的 N 維列向量.N代表自然數(shù)集， N+代表正整數(shù)集.令Sn為n 維對稱矩陣集，是n 維對稱正定矩陣集，是 n維對稱半正定矩陣集.對 A,B∈Sn， A＞(≥)B 意味著A-B是正定（半正定）的.

1 預備知識和模型構建

1.1 預備知識

這一部分，回顧了一些圖論的概念、定義、引理和假設，對后續(xù)研究起到了重要作用.

當這個網(wǎng)絡拓撲是時變的情況下，本文用G (t) 和L(t) 分別表示交互拓撲圖及其對應的Laplace矩陣.

注1本文所討論的時變拓撲圖的Laplace矩陣L(t)與已有文獻中的Laplace矩陣一樣具有列和為零的性質，即：1NTL(t)=0N，?t≥t0.這一性質在式（2）的推導中有使用到.

接下來是一些有用的定義、假設、性質和引理.

1.2 模型構建

本文考察如下帶有時變拓撲的多智能體系統(tǒng)：

其中xi(t),vi(t)∈Rn,ui(t)∈Rm分別是第i個 智能體的狀態(tài)、速度和控制輸入；A(t)∈Rn×n，B(t)∈Rn×m是連續(xù)矩陣值函數(shù).

為了實現(xiàn)領導跟隨一致性，設計如下的采樣時間分布式一致協(xié)議：

這里， {tk}k∈N={t0,t1,t2,···} 是 一個嚴格遞增的采樣序列，t0=0 ；D∈Rm×n是控制增益矩陣.考慮采樣機制為固定間隔采樣，間隔是h=tk-tk-1，k∈N+.

注2從式（2）中可知，本文所設計的控制協(xié)議只使用了采樣時刻鄰居的速度差信息，可以減少信息收集成本.

為便于對系統(tǒng)（1）多智能體一致性問題進行理論分析，引入虛擬領導者作為一致的目標，虛擬領導者設計為其動力學模型如下：

其中x0(t),v0(t)∈Rn分別是虛擬領導者的位移和速度，則系統(tǒng)（1）無領導跟隨一致問題一致轉化成系統(tǒng)（1）與（3）的有領導跟隨一致問題.

定義3如果

則稱多智能體系統(tǒng)達到一致，其中c是常數(shù)位移差.

注3本文所設計的虛擬領導者不參與多智能體系統(tǒng)各節(jié)點之間的信息交互，也就是說，它不改變智能體相互連接拓撲的Laplace矩陣L(t).

因此，原系統(tǒng)（1）和（2）實現(xiàn)領導跟隨一致性等價于誤差系統(tǒng)（5）的穩(wěn)定性問題.

2 主要結論

則時變系統(tǒng)（5）能夠達到一致.

證明構造Lyapunov函數(shù)

則式（12）兩邊關于t求導得

將式（8）代入式（13），即可得式（12）中的Lyapunov函數(shù)沿著式（8）兩邊關于t的導函數(shù)：

根據(jù)引理1，可以得到

應用引理3可從式（8）中推導出

由式（16），易得

于是從式（16）和（17）可得到如下不等式：

將式（15）～ （20）代入式（14），即可得

注4從定理的證明中可以發(fā)現(xiàn)，各個智能體與虛擬領導者的位移差是一個常數(shù)，這個常數(shù)的大小與哪些因素有關，是我們下一步的研究目標.

3 仿真實驗

本節(jié)以時變網(wǎng)絡拓撲結構為例驗證所提結果的有效性.這里多智能體系統(tǒng)（1）中含有三個智能體，每個智能體有兩個維度，它所對應的Laplace矩陣如下：

又由于G (t)關于T =2是平均一致連通的，所以

圖1 采樣數(shù)據(jù)控制協(xié)議下三個智能體的位移軌跡及其與虛擬領導者軌跡的誤差Fig.1 The position trajectories of 3 agents under the sampled-data control protocol and the errors from their virtual leader trajectories

圖2 采樣數(shù)據(jù)控制協(xié)議下三個智能體與其虛擬領導者速度的誤差Fig.2 Errors of speeds between 3 agents and their virtual leader under the sampled data control protocol

4 結 論

基于采樣控制方法，分析了時變拓撲下二階多智能體的采樣一致性.通過引入虛擬領導者構造誤差系統(tǒng)，將一致性問題轉化為穩(wěn)定性問題，并設計了合適的Lyapunov函數(shù)來證明誤差系統(tǒng)達到穩(wěn)定的充分條件.最后的數(shù)值實驗驗證了多智能體系統(tǒng)一致性分析的準確性和有效性.各個多智能體與虛擬領導者的固定位移差大小與哪些因素有關這一問題尚未得到解決，將是我們下一步的研究目標.

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