許素貞

[摘要]高等數(shù)學中的定理具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，學生不易理解.以“反函數(shù)的求導法則”為例，將“問題串”融入高等數(shù)學定理教學中，可以引發(fā)學生自主思考，激發(fā)學生內(nèi)在潛力，培養(yǎng)學生邏輯思維，鍛煉學生分析、解決問題的能力.“問題串”的設(shè)置應(yīng)具有啟發(fā)性、連貫性、指向性.

[關(guān)鍵詞]“問題串”;數(shù)學定理;“反函數(shù)求導法則”;邏輯思維

[中圖分類號]G712[文獻標志碼]A??? [文章編號]2096-0603（2022）27-0150-03

高等數(shù)學中的知識點可劃分為概念、定理、計算和應(yīng)用四大類型，定理是其中占比較大且十分重要的內(nèi)容.高等數(shù)學中的數(shù)學定理具有高度的抽象性和嚴密的邏輯性，學生不易理解定理的含義，更難深度掌握定理中的內(nèi)在聯(lián)系.在實際教學中，一些教師采用教師講、學生聽的模式來講解定理，學生被動接受，學習效果不佳.一些教師通過弱化定理的探索、推導和證明過程，突出解題計算來展開教學[1]，學生不明原理，依靠記憶機械化的學習，久而久之，思維更加混亂.所以，在高等數(shù)學教學過程中，重視定理本身，重視定理的探究，重視定理的教授方法是尤為重要的.

一、“問題串”的內(nèi)涵

“問題串”是指基于學生知識基礎(chǔ)，結(jié)合學生思維發(fā)展，圍繞課程教學目標，設(shè)計提出的一系列具有內(nèi)在聯(lián)系的有效問題[2].“問題串”是教師課堂教學的有利工具，也是學生獲取知識的重要載體。將“問題串”融入課堂教學中，將具體的教學內(nèi)容落到每一個問題中，學生在解決問題的過程中可以獲取新知，可以發(fā)散思維，可以提高能力.

二、高等數(shù)學中定理學習的作用

學習高等數(shù)學除了使學生掌握必要的數(shù)學知識以外，更重要的是培養(yǎng)學生的數(shù)學意識，鍛煉學生的邏輯思維能力，提升學生解決問題的能力.高等數(shù)學中的定理知識雖然較難理解，但它對學生數(shù)學意識的形成和思維能力的培養(yǎng)起著舉足輕重的作用.定理的探索和證明需要的是嚴密的推理，對這些推理過程的理解，可以使學生體會數(shù)學的嚴謹性、邏輯性，從而形成思考問題、分析問題時思維的縝密性和邏輯性.

三、“問題串”在高等數(shù)學定理教學中的應(yīng)用

以“反函數(shù)的求導法則”為例.

（一）復習導入

教師設(shè)計復習“問題串”，引導學生復習導數(shù)和反函數(shù)的相關(guān)內(nèi)容，為新課的學習做好鋪墊.

1.對導數(shù)內(nèi)容的復習

問題1：函數(shù)f（x）可導是什么含義？

問題2：函數(shù)f（x）連續(xù)是什么含義？

問題3：函數(shù)f（x）可導與連續(xù)有什么關(guān)系？

2.對反函數(shù)內(nèi)容的復習

問題4：函數(shù)x=2y的反函數(shù)是什么？

問題5：函數(shù)y=arcsinx是哪個函數(shù)的反函數(shù)？（x=siny）

問題6：所有的函數(shù)都有反函數(shù)嗎？什么樣的函數(shù)才有反函數(shù)？

問題7：單調(diào)的函數(shù)是否有反函數(shù)？

問題8：如何求解反函數(shù)的導數(shù)呢？

（二）定理探究

1.大膽猜想

小組合作將探索圖（圖1）中的內(nèi)容填寫完整，大膽猜想反函數(shù)求導法則.

2.小心求證

（1）定理分析

設(shè)計如下分析“問題串”，引導學生分析定理條件和結(jié)論的內(nèi)在聯(lián)系.

問題1：定理中有幾個條件、幾個結(jié)論？分別列出條件和結(jié)論.

問題2：x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)對結(jié)論起到什么

作用？

由復習中的引導可知，x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)，則x=φ（y）有反函數(shù).

問題3：x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)可導且φ′（y）≠0，起到什么作用？

直觀分析定理，猜測x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)可導，可幫助得到反函數(shù)y=φ-1（x）可導及反函數(shù)的導數(shù)為直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)，φ′（y）≠0可以保證倒數(shù)中的分母不

為零.

問題3（1）：x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)可導，由可導的定義，可以進一步獲得什么結(jié)論？

問題3（2）：要說明反函數(shù)y=φ-1（x）在區(qū)間Ix=φ（Iy）內(nèi)也可導，由可導的定義，需要得到什么結(jié)果？

問題3（5）：Δx→0時，Δy→0嗎？

根據(jù)復習導入中連續(xù)的定義可知，若函數(shù)y=φ-1（x）連續(xù)，即可說明Δx→0時，Δy→0.由于x=φ（y）連續(xù)（可導一定連續(xù)），所以作為x=φ（y）的反函數(shù)y=φ-1（x）也是連續(xù)的.

（2）定理證明

由于函數(shù)x=φ（y）在區(qū)間Iy內(nèi)單調(diào)，可導（從而連續(xù)），因此有x=φ（y）的反函數(shù)y=φ-1（x）存在，且y=φ-1（x）在區(qū)間Ix內(nèi)也單調(diào)，連續(xù).

（三）定理應(yīng)用

1.例題精煉

例：求反正弦函數(shù)y=arcsinx的導數(shù).

2.步驟梳理

在求解反函數(shù)的導數(shù)時，首先要找出直接函數(shù)，并確定好定義區(qū)間;然后驗證直接函數(shù)是否單調(diào)、可導，并且導數(shù)不為零;最后利用反函數(shù)的導數(shù)是直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)來求出反函數(shù)的導數(shù).

在“反函數(shù)的求導法則”教學過程中，教師基于學生知識基礎(chǔ)，關(guān)注學生思維發(fā)展，指向課程教學目標，設(shè)計提出有效的問題，串聯(lián)知識點，引發(fā)學生的深入思考.在問題串的幫助下，學生能夠深入挖掘定理中的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，真正理解定理的含義.

四、應(yīng)用于高等數(shù)學定理教學的“問題串”設(shè)計的基本原則

為提高“問題串”應(yīng)用于高等數(shù)學定理教學的有效性，在設(shè)計“問題串”時，應(yīng)遵循以下幾個基本原則：

（一）基于學生基礎(chǔ)，具有啟發(fā)性[3]

在高等數(shù)學定理教學中應(yīng)用“問題串”，目的是區(qū)別于傳統(tǒng)教學方式，借助問題來引導學生對定理進行深入探究，因此，“問題串”的設(shè)計應(yīng)該具有啟發(fā)性.要設(shè)計出真正能起到啟發(fā)作用的“問題串”，問題的創(chuàng)設(shè)很重要.創(chuàng)設(shè)問題時，要充分了解學生的學習基礎(chǔ)，關(guān)注學生的思維發(fā)展，創(chuàng)設(shè)出的問題既要值得學生探索，又要讓學生能夠探索，既要符合學生認知規(guī)律，又要直擊學生思維障礙之處.例如，在“反函數(shù)的求導法則”中，已知直接函數(shù)的導數(shù)存在，為了幫助學生探索反函數(shù)的導數(shù)，設(shè)計了問題3（1）、3（2）.這兩個問題的設(shè)計既建立在學生的知識基礎(chǔ)上，又符合學生的思維發(fā)展規(guī)律，可以直擊定理條件與結(jié)論之間的內(nèi)在聯(lián)系，突破思維困境.

基于學生基礎(chǔ)，創(chuàng)設(shè)出具有啟發(fā)性的問題，可以幫助學生降低學習難度，增強學習積極性，提高解決問題的能力.

（二）基于問題本身，具有連貫性

在數(shù)學課堂上，用“提問”的方式展開教學已經(jīng)是一種常態(tài)了，但一些問題的提出都太過隨意.“問題串”并不只是擺在一起隨意提出的多個問題，它應(yīng)該具有連貫性.在設(shè)置“問題串”中的每一個問題時，應(yīng)仔細斟酌，考慮問題本身是否具有內(nèi)在聯(lián)系，是否邏輯連貫，是否層次遞進.

在設(shè)計“問題串”時，可能只設(shè)計一串主干“問題串”，也可能在主干“問題串”的下面設(shè)計了分支“問題串”（就像問題3下面還設(shè)置了分支“問題串”）.主干“問題串”要具有連貫性，分支“問題串”也要具有連貫性.只有這樣，才能使整個教學過程自然流暢，才能使學生的邏輯思維不被分散，才能發(fā)揮出“問題串”的最好效果.

（三）基于教學目標，具有指向性

教學目標是教學設(shè)計和實施的依據(jù)，“問題串”是根據(jù)某個教學目標設(shè)置的一串有效問題，所以“問題串”應(yīng)具有明確的指向性.設(shè)計“問題串”時，要把握“問題串”的最終指向目標是什么，也要明確“問題串”中每個問題的設(shè)計目的是什么，是為了考查學生對定理的理解程度，還是為了激發(fā)學生對下一個問題的探索熱情？或是為了啟發(fā)學生更深入地思考？每個問題的設(shè)置都應(yīng)有其值得被設(shè)置的理由.

在高等數(shù)學定理教學中，確定好“問題串”要指向的目標，再設(shè)置連貫性、邏輯性強的問題引導課堂教學，不僅能促進學生對定理的深度理解，更能促進思維的深度開發(fā)[4]，最終達到事半功倍的教學效果.

五、結(jié)語

數(shù)學是思維的“體操”，思維是數(shù)學的“靈魂”[5].學習高等數(shù)學課程，不僅要掌握知識，更要掌握思維方式.教師基于學生基礎(chǔ)、問題本身、教學目標設(shè)置具有啟發(fā)性、連貫性、指向性的“問題串”，學生通過自主思考來解決“問題串”中的一個個問題，這種教學模式既可以幫助學生深刻理解高等數(shù)學中的定理，又可以深入激發(fā)學生思考的內(nèi)在潛力，對培養(yǎng)學生邏輯思維，鍛煉學生分析、解決問題的能力都具有非常明顯的作用.

參考文獻：

[1]楊茸.走出“計算”誤區(qū)，體會真正的數(shù)學：關(guān)于高等數(shù)學教學中抽象定義定理處理方法的研究[J].職業(yè)，2015（9）：132-133.

[2]程麗華.問題鏈教學法在高中思想政治課中的應(yīng)用研究[D].成都：四川師范大學，2020.

[3]何義婷.“問題串”在初中數(shù)學概念教學設(shè)計中的應(yīng)用研究[D].重慶：重慶師范大學，2017.

[4]肖雪娟.論問題導學法在初中數(shù)學教學中的應(yīng)用策略[J].數(shù)學學習與研究，2018（20）：42.

[5]余海蓉.小學數(shù)學問題鏈構(gòu)建的策略探究：以人教版小學數(shù)學“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例[J].齊齊哈爾師范高等?？茖W校學報，2021（5）：98-100.