游學文

[摘要] 學習數(shù)學的課程內(nèi)容不能局限于公式、規(guī)律等表征，更應當深入理解數(shù)學知識發(fā)展與形成的過程，理解蘊含其中的數(shù)學思想方法。以HPM的視角進行初中數(shù)學“實數(shù)”教學設計，具體過程：構(gòu)建巧妙關聯(lián)發(fā)展區(qū)，導入研究問題;隱性引入數(shù)學史，進行學科實踐;設問引導后歸納，完成概念辨析;隨堂練習再反饋，展示文化理解，從而培育學生數(shù)學核心素養(yǎng)。

[關鍵詞] 初中數(shù)學;HPM;核心素養(yǎng);數(shù)學文化;實數(shù)

HPM是數(shù)學史與數(shù)學教育的縮寫，其給予了數(shù)學文化本體的生成過程，且有助于學生數(shù)學文化的深度理解。追溯HPM的誕生歷史，其標志性事件應當是1972年第二屆國際數(shù)學教育大會成立數(shù)學史與數(shù)學教學關系國際研究小組[1]。HPM能夠?qū)⒍吆弦?，并成為一個專有名詞的關鍵在于數(shù)學史中蘊藏著大量的思維方式、研究方法與情境文化。通過把握數(shù)學發(fā)展的脈絡，貫通數(shù)學的發(fā)展歷史，往往可以加深學生對數(shù)學概念、方法、思想及應用的理解，從而強化數(shù)學文化的傳承，提升數(shù)學的人文價值。目前，數(shù)學教育界對HPM的研究，有很大一部分集中于數(shù)學教科書中數(shù)學史的融入、呈現(xiàn)與育人價值。如部分學者近期對20世紀初美國數(shù)學教科書中的數(shù)學史內(nèi)容進行了分析[2]。就蘇科版初中數(shù)學教科書來看，其在章節(jié)后面都會呈現(xiàn)相應的數(shù)學史閱讀材料，且主要與我國的數(shù)學發(fā)展歷史有關。為了進一步挖掘數(shù)學史育人價值，研究者嘗試進行融入數(shù)學文化的HPM教學研究。

一、HPM價值：教學融入數(shù)學文化的載體

（一）HPM提供數(shù)學文化本體的生成過程

文化的形成自始至終伴隨著人們的生產(chǎn)與實踐過程，借由生產(chǎn)生活的各種實踐活動形成便于使用的文化符號與規(guī)則，進而讓后輩繼承并約束他們后來的實踐[3]。無獨有偶，數(shù)學文化的生成過程同樣如此，在人們需要解決部分現(xiàn)實問題中產(chǎn)生了數(shù)學符號、規(guī)則與關系，并在共同體的認可與使用下進行了一系列的共通性表達。而數(shù)學史從數(shù)學的由來及其流變的角度提供了數(shù)學文化生成過程，一方面歷史的由來告訴了此類數(shù)學知識從哪些現(xiàn)實問題衍生而來，另一方面數(shù)學史為文化的生成提供了從問題到符號，再到精神內(nèi)核的演變過程。實則，任何的數(shù)學符號或規(guī)則的創(chuàng)生都應當具備簡約的特性，以便于人們交流、使用與表達，且這些符號或規(guī)則也均為了讓人們更好地進行生產(chǎn)生活而存在?？梢?，HPM不僅給予了數(shù)學文化的符號與背后來源的解釋，還提供了文化的價值意義與精神追求。因而，在實際教學過程中，透過數(shù)學史的條分縷析及協(xié)同思考，不難發(fā)現(xiàn)其背后文化本體的價值力量，是一種將數(shù)學文化表層符號與內(nèi)容功能集成的育人載體。

（二）HPM有助于學生深度理解數(shù)學文化

借助HPM教學將數(shù)學文化元素融入數(shù)學教育中，可以進一步傳承與弘揚數(shù)學文化。因而，在邏輯上我們必須要厘清兩個基本問題：為什么要研究數(shù)學史知識？數(shù)學史知識具備何種價值？通過分析上述兩個問題，數(shù)學文化的味道自然而然就出來了。首先，數(shù)學發(fā)展史中蘊含著數(shù)學學科的發(fā)展脈絡，彰顯了數(shù)學發(fā)展與社會科技進步的內(nèi)在關系，具有數(shù)學思想方法與邏輯思維等方面的豐富意蘊。其次，數(shù)學史知識具備何種價值，回答這個問題就必須要思考數(shù)學史知識有什么時代價值、對社會經(jīng)濟發(fā)展有什么貢獻。將數(shù)學史知識融入教學中，必然不可能僅通過古老的歷史讓學生產(chǎn)生興趣，更多的是要借由數(shù)學史凸顯其背后的思想方法。數(shù)學思想方法是數(shù)學文化的精髓，通過揭示這類思想方法，可以讓學生接觸到數(shù)學家的理性科學精神，從而彰顯深奧的數(shù)學文化精神。由此可見，HPM有助于學生對數(shù)學文化的深度理解，便于其經(jīng)由表象歷史分析到深層歷史品悟，逐步達成對數(shù)學文化價值的認同與理解。

二、HPM實踐：蘇科版“實數(shù)”HPM教學設計

（一）基于HPM理念的教學設計原則

構(gòu)建初中HPM教學方案不僅要根據(jù)具體的教學內(nèi)容選擇相應的數(shù)學史，而且還要結(jié)合學生的學情與初中數(shù)學考核目標等因素。概言之HPM教學設計需要遵循以下原則：

第一，可靠性原則。這是最基本的原則，強調(diào)實事求是、求真務實。在構(gòu)建HPM教學方案時必須要確保數(shù)學史內(nèi)容的真實可靠，不能為了完成教學任務而虛構(gòu)修改原始史料。要讓學生能夠以客觀的角度了解數(shù)學史，并且在了解數(shù)學史的過程中逐漸形成自我分辨與辯證懷疑的能力，養(yǎng)成良好的數(shù)學素養(yǎng)。

第二，趣聞性與隱蔽性原則。增強HPM教學趣味性是吸引學生學習注意力的關鍵，因此，教師在具體的教學設計時要采取多元化手段提升課堂的趣味性[4]。數(shù)學史融入數(shù)學教學分為顯性與隱性，教科書編排使用的是顯性融入，例如蘇科版初中數(shù)學“閱讀”模塊就是顯性融入方式。隱性融入則是從重構(gòu)角度出發(fā)，根據(jù)初中數(shù)學教學內(nèi)容而對數(shù)學史進行重新設計，以此將數(shù)學知識歷史形成過程生動地展現(xiàn)給學生，加深學生對相關數(shù)學知識的認知能力。相對而言，隱性融入的效果比顯性融入要好，因此在具體的教學中教師要遵循隱性融入的原則。

第三，探索性原則。通過分析，初中數(shù)學教科書中都會有不同形式的數(shù)學發(fā)展史閱讀素材，然而在實踐過程中教師對于已經(jīng)編排好的數(shù)學史料大多數(shù)是以“附加”的方式融入教學中，存在機械學習的情況，并未實現(xiàn)育人的功能[5]。因此，在具體的設計中教師要結(jié)合學生的學情，適當豐富史料，采取循序漸進的方式有效融入數(shù)學課堂教學，通過教師的細致引導、層層設疑，逐步滲透數(shù)學文化并發(fā)揮其育人價值。

（二）HPM理念下初中數(shù)學“實數(shù)”教學過程

由于“實數(shù)”是八年級上冊學習的內(nèi)容，雖然初二學生相對于初一學生在抽象思維上得到鍛煉與提升，但基于傳統(tǒng)學習方式的影響，學生在學習上仍然表現(xiàn)出較大的依賴性，不容易接受抽象的知識點。并且，“實數(shù)”內(nèi)容雖然相比“冪的運算”“勾股定理”較為直觀，但是無理數(shù)和實數(shù)的概念比較抽象，學生在學習的時候普遍感到有理解難度，容易產(chǎn)生認知混亂。其實，有理數(shù)系的擴充是人類對數(shù)的認知的一次飛躍，是生產(chǎn)和生活發(fā)展的需要。無理數(shù)、有理數(shù)的出現(xiàn)和理論體系建立對學生的認知發(fā)展起著關鍵性的作用，教師要讓學生明白數(shù)學發(fā)展并不是隨意的，而是以現(xiàn)實需求為基礎的。教科書中有關“實數(shù)”教學內(nèi)容的設置，主要是通過學生將一些整數(shù)和分數(shù)化成小數(shù)的過程，說明任何一個有理數(shù)都可以轉(zhuǎn)化為無限循環(huán)的小數(shù)和有限小數(shù)形式[6]。在教學中學生存在如下困惑：無理數(shù)的產(chǎn)生原因是什么？無理數(shù)是如何出現(xiàn)的？無理數(shù)與有理數(shù)有何區(qū)別？其現(xiàn)實作用是什么？基于學生所存在的各種疑惑問題，設計“實數(shù)”HPM教學過程。A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

1.巧妙關聯(lián)發(fā)展區(qū)，導入研究問題

上課前教師要帶領學生復習有理數(shù)的分類，為學習無理數(shù)及實數(shù)的分類做好準備。例如，在上課時教師要向?qū)W生提問是否記得有理數(shù)是如何分類的，并讓學生列舉一些有理數(shù)，重新回顧有理數(shù)可以分為整數(shù)和分數(shù)。當學生列出有理數(shù)后，組織學生將其轉(zhuǎn)化為小數(shù)的形式，然后讓學生探討，在將有理數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)后出現(xiàn)了什么規(guī)律。以此，讓學生意識到有理數(shù)轉(zhuǎn)化為小數(shù)形式后，其劃分成無限循環(huán)小數(shù)和有限小數(shù)。通過對學生自己動手操作過程的總結(jié)，得出小數(shù)除了無限循環(huán)小數(shù)和有限小數(shù)之外，還包括無限不循環(huán)小數(shù)，從而引導出本節(jié)課新知“無理數(shù)”。

如上的教學過程勾連了學生的最近發(fā)展區(qū)，讓學生從已學過的知識出發(fā)認識到之前有理數(shù)的分類無法涵蓋現(xiàn)實中全部的數(shù)。經(jīng)由這樣的研究過程，讓學生明確數(shù)學中數(shù)系的擴充是因應數(shù)學家的實際需要。此教學過程不僅復習了之前的學習內(nèi)容，還在一定程度上便于在下文教學中引入數(shù)學史，讓學生帶著現(xiàn)實需要去探尋數(shù)學發(fā)展史的源頭，進而深入思考數(shù)學文化中概括與表達的基本功能。

2.隱性引入數(shù)學史，進行學科實踐

“無理數(shù)”發(fā)展歷程比較久遠，關于“無理數(shù)”的研究探析一直是學術界的熱門話題。為了讓學生明白無理數(shù)的發(fā)展歷程，教師在正式講解新知識時要利用微視頻播放有關“無理數(shù)”的發(fā)展歷史。基于數(shù)學史背景創(chuàng)設問題情境，從而激發(fā)學生的學習興趣進行刨根問底式的研究[7]。最早的無理數(shù)起源與研究勾股定理有關，我們知道邊長為1的正方形，其對角線為，但人們卻不知道如何表達出來。畢達哥拉斯學派希帕索斯發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線與邊長是不可公度的，發(fā)現(xiàn)它不是有理數(shù)[8]。隨后，學術界對其研究主要從公式計算和幾何圖形證明兩個方面進行驗證。

教師通過播放無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)起源故事，讓學生了解無理數(shù)的發(fā)展歷史，以此掌握知識的來龍去脈。但學生在觀看數(shù)學史源頭后，仍會感覺到學習無理數(shù)時十分枯燥、難懂。因此，教師要結(jié)合學生學情，鼓勵學生實踐操作，以加強學生對無理數(shù)的認知能力。例如，教師可以向?qū)W生提出“無理數(shù)在現(xiàn)實中是否存在”的問題，然后讓學生對兩個面積為1的小正方形進行裁剪，目標就是要將其拼成一個面積為2的大正方形，并且計算大正方形的邊長。學生通過自己手動操作了解到小正方形的對角線的長度，以此具體感受到無理數(shù)就在我們身邊;通過動手操作不僅可以讓學生更加清晰地了解無理數(shù)的來源，而且還能進一步增強數(shù)學教學與實踐的聯(lián)系性。例如，在本次教學中讓學生以幾何圖形的方式驗證的大小，這樣可以讓學生明白拼圖是研究和解決幾何問題的重要方法，增強數(shù)學教學的具身實踐性。

3.設問引導后歸納，完成概念辨析

無理數(shù)分為很多種形式，為了讓學生掌握無理數(shù)的形式，教師要采取提問的方式。例如“學生已經(jīng)知道無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，那么π是無理數(shù)嗎？”組織學生進行討論。通過合作交流，讓學生了解到無理數(shù)的形式主要包括圓周率π、開方開不盡的數(shù)與有一定規(guī)律但是不循環(huán)的小數(shù)。由于學生對圓周率π還不太理解，因此教師可以將其發(fā)展歷程進行簡單的介紹：人們很早就知道圓的周長為2πr，面積為πr2，其中r是圓的半徑，π為圓周率。但是，計算π是非常困難的，人們希望用一個公認的大致數(shù)來近似得到π。因為尼羅河的泛濫，為了調(diào)整泛濫后的土地，古埃及人掌握了土地面積測量與計算的技術，他們對于計算圓面積的π給出了很好的近似值。這一教學過程讓學生從生產(chǎn)實踐的角度延展數(shù)學發(fā)展史，進一步使學生明確了無理數(shù)整理與研究的現(xiàn)實意義。

實數(shù)主要可以分為有理數(shù)和無理數(shù)，但是在具體的學習中學生往往會因為固定分類的方式而限制自身思維的發(fā)展。可見，在實際教學中教師需要重點講解實數(shù)的分類問題，進而讓學生完成對概念的辨析。為了讓學生完全掌握實數(shù)的分類問題，教師要讓學生嘗試自己對實數(shù)進行分類。在分類的過程中，教師不要過多干預，而是讓學生按照自己的認知進行分類。有學生將其分為有理數(shù)與無理數(shù)，而有學生將其分為正實數(shù)、零和負實數(shù)[9]。這樣獨立思考再展示的過程，能夠讓學生在充分了解實數(shù)分類思想的基礎上，增強他們的獨立學習、獨立思考能力，并且全面對所學知識進行概念辨析及系統(tǒng)的匯總與應用。當然，為了增強學生對實數(shù)的認知能力，教師應當設置概念圖繪制的任務，幫助學生理解概念本身。

4.隨堂練習再反饋，展示文化理解

隨堂練習的及時評價反饋是讓學生明確自身對數(shù)學概念理解與掌握程度的重要方式，也是提升初中數(shù)學教學質(zhì)量的重要舉措。而在“實數(shù)”的HPM課堂教學后，教師可以讓學生在課后進一步查閱資料，根據(jù)相關無理數(shù)研究的數(shù)學史資料，完成數(shù)學敘事的小故事。小故事的撰寫，建議學生從無理數(shù)實例、研究需求、現(xiàn)實意義及應用等多個方面進行論述。此外，在整理資料讓學生進行數(shù)學寫作的過程中，可以參考部分學者提出的“證據(jù)—推理—主張”的框架，讓學生進一步使用學習[10]。透過小故事的寫作，一方面檢測學生對實數(shù)整體內(nèi)容的學習掌握情況，另一方面，也展示出學生對數(shù)學文化的理解深度，便于教師在以后的教學中及時調(diào)整。

對HPM教學課堂的評價需要采用內(nèi)容表征、認知需求、學習過程、學生課堂表現(xiàn)與評價標準等維度構(gòu)建的“四位一體”評價量規(guī)。其中，內(nèi)容表征是數(shù)學史料的準確、連貫與合理性程度，認知需求是數(shù)學史應用對學生理解和掌握數(shù)學概念的支持程度，學習過程是數(shù)學史學習活動對全體學生獲得學習機會的支持程度，學生課堂表現(xiàn)是數(shù)學史學習活動中學生任務完成、想法提出及促進交流討論上的貢獻程度，評價標準是數(shù)學史學習活動中教師揭示學生思維、利用學生想法或處理學生錯誤的程度[11]。在具體的“實數(shù)”HPM教學中，教師可設置如下表所示的學生評價體系。

在構(gòu)建HPM教學模式時，教師要具有一定的數(shù)學史素養(yǎng)，并根據(jù)學生學情、教材內(nèi)容而合理應用數(shù)學史。然而，很多時候數(shù)學教師在教學中卻不知道如何使用數(shù)學史，因此要加強數(shù)學教師的教學觀念轉(zhuǎn)變工作。具體而言，一方面，需要加強專業(yè)素養(yǎng)培養(yǎng)，讓教師理解初中數(shù)學知識較為抽象，融入數(shù)學史能夠切實融入數(shù)學文化，深化數(shù)學學科的育人功能。另一方面，要強化HPM教學模式的課例研究等職后教師培訓工作，采取切實有效的舉措提升數(shù)學教師應用數(shù)學史的教學能力。在研讀文獻學習HPM教學方法的同時，還可以開展研學活動，鼓勵教師到經(jīng)驗成熟的學校開展交流，學習其先進的教學方法，以此推動HPM教學的實踐落地。

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