胡磊

[摘要] 以HPM的視角分析數(shù)學教科書的數(shù)學史內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)其育人價值：明晰學科發(fā)展，鍛煉理性思考;感受數(shù)學美感，涵養(yǎng)審美情趣;體驗數(shù)學精神，促進德性養(yǎng)成。以西師版小學數(shù)學教科書為例，總結出教科書的數(shù)學史內(nèi)容具有注重圖文并茂、覆蓋面較廣博和遵循認知規(guī)律進階編排等特點。為深化教科書中數(shù)學史的育人功能，可以適時補充數(shù)學史，響應學生興趣探究;整理經(jīng)典數(shù)學史，設置專業(yè)學習活動;漸進組織數(shù)學史，設計學科實踐活動。

[關鍵詞] 小學數(shù)學;西師版教科書;HPM;數(shù)學史;核心素養(yǎng)

數(shù)學史與數(shù)學教育（簡稱HPM）是數(shù)學教育中重要的研究領域，其強調(diào)將數(shù)學史的演進歷程融入數(shù)學教育中，從而讓學生更好地理解學科知識的由來，以及背后重要的思想方法。HPM作為數(shù)學史與數(shù)學教育的融合，它的誕生說明了數(shù)學史內(nèi)容存在獨特的育人價值。數(shù)學史是研究數(shù)學產(chǎn)生、發(fā)展與規(guī)律的一門科學，簡單地說就是追溯數(shù)學概念、方法和思想的形成過程[1]。新頒布的《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》中明確提出，教科書設計要介紹數(shù)學文化、數(shù)學發(fā)展前沿等，要反映數(shù)學在自然與社會中的應用 [2]?？梢?，數(shù)學教科書中應當充分體現(xiàn)并編排數(shù)學發(fā)展史的相關內(nèi)容，做到內(nèi)容適宜、分布合理與融入巧妙。為此，研究者結合HPM視角深入剖析了教科書中數(shù)學史內(nèi)容的育人價值，并總結歸納了西師版小學數(shù)學教科書數(shù)學史內(nèi)容的基本特征，以此為實踐教學提供實踐參考。

一、小學數(shù)學教科書中數(shù)學史的育人價值

（一）明晰學科發(fā)展，鍛煉理性思考

西師版小學數(shù)學教科書數(shù)學史所包含的內(nèi)容比較廣泛，例如楊輝、華羅庚、高斯等數(shù)學家及其成果介紹，田忌賽馬等數(shù)學史趣聞故事，阿拉伯數(shù)字的由來等重要數(shù)學歷史事件及相關數(shù)學背景材料。根據(jù)研究者自主統(tǒng)計，在西師版小學數(shù)學教科書中共涉及34處數(shù)學史料。這些數(shù)學史材料的涵蓋面較廣，可以讓學生補充了解數(shù)學學科下統(tǒng)計概率、數(shù)與代數(shù)、圖形幾何等各二級學科領域的發(fā)展歷程。然而，數(shù)學史知識內(nèi)容的提供并非僅為了讓學生理解學科發(fā)展史，更是為了讓學生經(jīng)由古代先輩們解決問題的數(shù)學方法學習，鍛煉自身的理性思考，從而運用數(shù)學知識解決現(xiàn)實問題。因為數(shù)學學科發(fā)展中數(shù)系的擴充與趣味故事往往潛藏著數(shù)學知識的現(xiàn)實應用，而各類公式、定理的證明方式則包含著數(shù)學知識探究的各類思維方式。如果僅在教學中采用趣味性的游戲教學提升學生的興趣，自然是淺表化、片面化。透過數(shù)學發(fā)展史，理解數(shù)學知識由來的基本方法與思路，看到數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的關聯(lián)并嘗試進行實踐，這才是數(shù)學史融入數(shù)學教育的關鍵價值所在。

（二）感受數(shù)學美感，涵養(yǎng)審美情趣

數(shù)學知識發(fā)展的內(nèi)在驅動可能是各種數(shù)學思維應用，但其發(fā)展仍舊存在一個驅動誘因，即采用簡約的符號進行表達與美的傳遞。如西師版小學數(shù)學教科書中的楊輝三角等展示了數(shù)學對稱的形式美感，以及數(shù)學家華羅庚研究精神蘊含的實踐美學，都可以作為讓學生感受數(shù)學美感、提升審美情趣的重要素材。誠然，自“德智體美勞”五育并舉的教育改革以來，如何在學科教學中滲透美育、深化育人功能成為實踐落地的關鍵所在[3]。美育具有重要的功能，其不僅可以引導學生認識美、審辨美，并且還有助于學生創(chuàng)造美，生成健全的人格品質(zhì)。數(shù)學作為一種自然科學家交流的符號與工具，其強調(diào)簡約的形式表達[4]。這一方面導致了數(shù)學教科書中的數(shù)字符號和概念命題等具有極強的抽象性，另一方面也造就了教科書在選擇相應的數(shù)學史內(nèi)容時，不可避免地會涉及形式簡約的美學要素，以及為追求簡約與表達而強調(diào)的數(shù)學家奮斗與實踐美。例如，在學習五年級下冊“古老的方程”中，學生會發(fā)現(xiàn)人類對于方程的研究由來已久，為了找到等量關系構建平衡的方程式，這不僅體現(xiàn)了平衡、和諧的方程形式之美，也可由此通過數(shù)學史探究激發(fā)學生發(fā)現(xiàn)美，在欣賞數(shù)學知識美的同時增進創(chuàng)造美的能力。

（三）體驗數(shù)學精神，促進德性養(yǎng)成

如上文所述，教學中充分利用教科書中的數(shù)學史內(nèi)容進行滲透轉化，能夠提升學生創(chuàng)造美的基本能力。這在一定程度上就促進了學生透過數(shù)學發(fā)展的歷史長河，感受先輩們進行數(shù)學研究的精神，從而熏陶自身德性的養(yǎng)成。尤其是教科書中大量數(shù)學家的故事，能夠讓學生從中深度了解并模仿，進而影響自身必備品格的涵養(yǎng)[5]。詳細說來，通過數(shù)學史的學習能夠體現(xiàn)出如下兩個方面的德性涵養(yǎng)目標。一方面，數(shù)學史中大量的事跡有助于引導學生養(yǎng)成正確的數(shù)學精神。小學生自我判斷能力比較差，但是他們的模仿能力比較突出。而數(shù)學史含有大量的優(yōu)秀數(shù)學案例，尤其是數(shù)學史中有關數(shù)學家的介紹，可以讓學生形成崇拜數(shù)學家的感情，以此引導學生在日常學習中按照榜樣的思維開展學習。例如，在西師版五年級下冊的“陳景潤與哥德巴赫猜想”教學中，可以讓學生通過對哥德巴赫猜想難度的描繪與陳景潤的簡單介紹，了解到其人格魅力，從而激發(fā)學生學習數(shù)學、探索數(shù)學的精神。另一方面，數(shù)學史的學習能夠讓學生看到數(shù)學家通過對數(shù)學方法應用，解決現(xiàn)實生活問題、為人們生活謀福祉的基本過程，從而在一定程度上理解數(shù)學學習的價值取向。由此，在幫助學生進行價值判斷的同時，涵養(yǎng)他們科研奉獻、積極運用學科知識為自己及他人服務的良好品質(zhì)。

二、小學數(shù)學教科書中數(shù)學史的內(nèi)容特征

西師版小學數(shù)學教科書中數(shù)學史的內(nèi)容主要通過數(shù)學史事件、數(shù)學概念、數(shù)學公式歷史及歷史命題展現(xiàn)，通過對西師版小學數(shù)學教科書的統(tǒng)計，數(shù)學史的整體分布較為均衡，僅低年級涉及數(shù)學史的內(nèi)容略少。由于學生年齡、思維發(fā)展特征及接受能力的差異性，使得西師版小學數(shù)學教科書中的數(shù)學史在內(nèi)容上呈現(xiàn)出知識難度的梯度性，即在各個知識點的呈現(xiàn)中，穿插數(shù)學文化內(nèi)容。具體特征如下：

（一）注重圖文并茂，深化數(shù)學知識

數(shù)學史在小學數(shù)學教科書中應用的最大價值就是激發(fā)學生學習數(shù)學的積極性，拓展學生數(shù)學知識面，增強學生的數(shù)學應用能力。數(shù)學是一門強調(diào)探索的學科，小學生具有很強的探索能力，因而如何將數(shù)學知識內(nèi)化為體系是數(shù)學教學的核心要求?？v觀西師版小學數(shù)學教科書數(shù)學史的展現(xiàn)形式，其更多突出了與生活實際的結合性，讓學生將生活中的情境與數(shù)學知識相結合，以此提高對數(shù)學知識的把控力。西師版小學數(shù)學教科書中數(shù)學史的內(nèi)容與小學數(shù)學教學的重心相符，能夠激發(fā)學生實踐應用的動力。經(jīng)調(diào)查在西師版中一共有34處數(shù)學史料，通過對比新舊教科書版本可以看出新教科書中增加了部分數(shù)學史教學內(nèi)容，就數(shù)學史的內(nèi)容而言其與社會生活的聯(lián)系更加緊密;根據(jù)統(tǒng)計，教科書中作為補充數(shù)學史資料與背景知識的內(nèi)容為17處，占據(jù)了50%的比例?？梢姡瑪?shù)學史更多作為學生學習的延伸性資料在教科書中予以呈現(xiàn)，借由補充追問學科發(fā)展來深化數(shù)學知識。而相較于人教版小學數(shù)學教科書中大多以補充性板塊“你知道嗎”進行呈現(xiàn)，西師版教科書則占據(jù)著大量版面，并單獨列出。此外，數(shù)學史內(nèi)容多以圖文為載體，這樣更加符合小學生的學習特點。在小學數(shù)學教科書數(shù)學史板塊中，關于數(shù)學原理的介紹更多的是通過圖文并茂的方式展現(xiàn)的，這樣符合小學生的學習特點，通過圖片的輔助可以加深學生對數(shù)學歷史的理解程度，激發(fā)學習熱情。A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8

（二）多板塊呈現(xiàn)，覆蓋面較廣博

西師版小學數(shù)學教科書主要以數(shù)學家趣事、數(shù)學原理、數(shù)學公式歷史等呈現(xiàn)數(shù)學史內(nèi)容，豐富的板塊可以為學生提供廣泛的學習素材，激發(fā)學生學習的積極性。具體而言，一是數(shù)學史的內(nèi)容類型較多。有學者調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，西師版數(shù)學教科書中數(shù)學家趣事介紹的比例為24.2%，經(jīng)典數(shù)學問題或歷史事件的比例達9.1%，數(shù)學成果的比例為18.2%，相關數(shù)學知識背景資料達48.5%;其中涉及數(shù)與代數(shù)的比例為70.5%，圖形與幾何的比例為26.5%，統(tǒng)計與概率的比例為3%[6]。因此，所涉及的板塊比較多，基本涵蓋小學階段數(shù)學的所有知識點，能夠突出數(shù)學實際應用能力培養(yǎng)的要求。二是數(shù)學史所涉及的國家更多地突出中國古代的數(shù)學知識。經(jīng)統(tǒng)計西師版小學數(shù)學教科書的數(shù)學史料更多以中國為主，含有德國、英國、法國及古希臘?？梢?，數(shù)學史分布國度比較廣泛，這與當前小學數(shù)學教學的核心目標有關，通過多元化的數(shù)學史料可以進一步豐富小學生的視野，尤其能將多元化的文化學習元素展現(xiàn)給學生，讓學生在數(shù)學學習中既理解多元文化中數(shù)學知識的穩(wěn)定性，也能涵育他們的家國情懷。三是數(shù)學史的展現(xiàn)方向比較豐富，提高了覆蓋面。西師版小學數(shù)學教科書中，關于數(shù)學史的介入在小學高年級較多，且貼近生活實際，豐富生動，符合小學階段教學任務，能夠讓學生體會到數(shù)學知識的重要性，增強應用數(shù)學知識的意識。

（三）遵循認知規(guī)律，編排螺旋上升

小學生認知能力、接受知識水平的差異性要求小學數(shù)學教科書的內(nèi)容必須遵循學生的差異性原則，采取螺旋式上升的結構模式[7]。通過觀察分析西師版數(shù)學教科書數(shù)學史的內(nèi)容設置情況，可以清晰地看出數(shù)學史內(nèi)容設置上體現(xiàn)了以下特點：一是數(shù)學史內(nèi)容設置以學生的認知規(guī)律為導向，突出學生的學習興趣。小學生具有天生的好動性，隨著年齡的增長及接受文化的增多，他們對數(shù)學探索的欲望也會不斷增加。因此，在西師版小學數(shù)學教科書中數(shù)學史的設置，在第一學段主要以游戲和簡要的背景知識介紹為主，符合小學一二年級學生的特點：他們對枯燥的知識不感興趣，因此通過游戲設置可以讓他們在游戲中獲得知識。第二學段則是根據(jù)高年級學生具有一定的認知能力和判斷能力，以推理和數(shù)學閱讀為主要方式進行教學，這樣能夠滿足學生的數(shù)學探索欲望，培養(yǎng)他們的發(fā)散性思維。二是在數(shù)學史融入上突出了隱性與顯性相結合的方式。具體而言就是在小學低年級主要通過顯性的引入方式，讓學生對數(shù)學史有一個清晰的了解。而隱形的引入則是通過對不太明顯的人名、地名的知識引入，讓學生形成一定的探索欲望，調(diào)動學生的課堂學習積極性。

三、小學數(shù)學教科書中數(shù)學史的教學建議

數(shù)學史內(nèi)容作為激發(fā)學生學習熱情，擴展他們知識廣度與深度的重要元素，在教學中進行巧妙轉化與教學滲透顯得尤為重要。就研究者自身的體悟而言，西師版數(shù)學史教學過程中易受教學課時、學生參與積極性，以及教師自身知識結構等諸多方面因素的影響，進而難以完成教科書知識調(diào)適或創(chuàng)生的教學轉化。基于此，結合新課標核心素養(yǎng)的育人理念，建議從如下方面入手優(yōu)化數(shù)學史教學。

（一）適時補充數(shù)學史，響應學生興趣探究

只有理解人類如何獲得事實或概念的知識，我們才能對孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷[8]。數(shù)學是一門追求探索的科學，數(shù)學知識是自由的，數(shù)學文化應該是根植于學生內(nèi)心的。雖然西師版小學教科書數(shù)學史內(nèi)容是根據(jù)教學知識進度安排的，但從內(nèi)容契合度上而言，其存在內(nèi)容之間過渡、銜接的不順暢。以五年級上冊教科書“小數(shù)點惹的禍”為例，課堂中對于數(shù)學嚴謹性的認識會更上一層，但從活躍的氛圍到嚴謹?shù)囊话憬虒W過程著實單調(diào)了些。這時候，教師可以嘗試講述阿爾·花拉子模的故事，告訴學生他的生平事跡，及其解決的相關問題。最后，從烏茲別克斯坦印發(fā)的該數(shù)學家郵票作結尾，讓學生體會到數(shù)學研究對于國家與社會具有重要意義，在鍛煉他們嚴謹表達數(shù)學符號的同時，埋下了學生對數(shù)學專業(yè)知識探索的種子。

（二）整理經(jīng)典數(shù)學史，設置專業(yè)學習活動

基于核心素養(yǎng)理念的課程改革逐步推進，尤其是“雙減”政策實施后，小學數(shù)學教學的功利性色彩越來越淡化。但是，針對數(shù)學教學中所存在的教師對數(shù)學史理解與應用能力不足的問題，學校需要加強教師研學培訓，提升教師的數(shù)學史素養(yǎng)：一是要加強教育培訓，讓教師樹立正確的數(shù)學文化理念。數(shù)學理念是開展數(shù)學教學工作的基礎，在數(shù)學教學中教師樹立怎樣的數(shù)學觀念就會有怎樣的教學活動。數(shù)學史已然列入西師版數(shù)學中，因而在教學中不應當出現(xiàn)教師不重視該環(huán)節(jié)的現(xiàn)象，而應當充分認識到數(shù)學史的育人價值。因此，學校要立足于實際，加強對教師數(shù)學文化理念的引導，讓教師充分認識到數(shù)學史的重要性，并且利用數(shù)學史章節(jié)調(diào)動學生的積極性。二是整理經(jīng)典數(shù)學史，設置專業(yè)學習活動，用于提升教師的數(shù)學史教學技能。數(shù)學史屬于西師版教科書重要的內(nèi)容，其應該滲透到具體的數(shù)學知識體系中，這樣既能滿足學生學習需求，又能拓展小學數(shù)學教學的內(nèi)涵。由于數(shù)學史所涵蓋的內(nèi)容比較豐富，如涉及人文、歷史等，因而要求教師加強整理記錄與新技術學習。例如，教師在上課前要做好備課工作，通過網(wǎng)絡等平臺收集數(shù)學知識資料，及時掌握數(shù)學史的拓展知識點與應用信息技術展示數(shù)學史的新方法。

（三）漸進組織數(shù)學史，設計學科實踐活動

數(shù)學史教學的重要目標就是增強學生實踐應用能力，教師可以通過豐富多彩的社會實踐活動增強學生對數(shù)學史的應用：一方面，以組織學生積極參加社會實踐活動的方式，學習、把握教科書中有關數(shù)學史的知識體系。例如，在學習圓周率時，組織學生開展系列的圓周率實踐調(diào)查活動，讓學生到圖書館、科技館等觀察圓的規(guī)律。另一方面，學校還可以組織各種演講比賽，通過演講比賽讓學生得到對信息再加工的技能，并圍繞數(shù)學史知識，要求學生談談自己的感悟。學生可以從祖沖之的圓周率計算比外國早一千年而獲得民族自豪感，可以從陳景潤等人研究數(shù)學奧秘的辛苦中獲得探索的勇氣。另外，教師還要巧妙設置考核，實現(xiàn)對學生的綜合評價。具體的考核方式：一是教師通過試題的方式進行考核。如教師可以將數(shù)學史中的相關知識點以試題的方式納入平時的訓練中，這樣既能檢驗學生的掌握情況，也告知學生此種題目非常重要。在學生學習完四年級的格子乘法之后，教師則可以按照要求讓學生用畫格子的方式求出兩數(shù)相乘的結果，調(diào)動學生學習數(shù)學史的知識。二是通過比賽的方式讓學生參與到數(shù)學史的學習過程中。如在一年級“七巧板”中，教師組織比賽讓學生參與進來，通過比賽的方式調(diào)動學生的學習積極性，培養(yǎng)他們的創(chuàng)造性思維。

[參考文獻]

[1]徐章韜，汪曉勤.HPM教育價值剖析及應用取向的深度挖掘[J].數(shù)學教育學報，2016，25（06）：10-14.

[2]中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）[M].北京：北京師范大學出版社，2022.

[3]馬維林.家國情懷視域下高中歷史教學審美化建構[J].中國教育學刊，2022（03）：14-20.

[4]陳兵.適應：數(shù)學符號意識培育的應然路徑[J].中小學班主任，2021（18）：43-44，49.

[5]祖丹，孔凡哲.數(shù)學必備品格的組成要素分析：基于數(shù)學家的視角[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2020，21（02）：59-65.

[6]沈佳.小學數(shù)學教材中數(shù)學史內(nèi)容的比較研究[D].杭州：杭州師范大學，2018.

[7]劉令，徐文彬.我國小學數(shù)學教科書中數(shù)學史料的分析與建議[J].天津師范大學學報（基礎教育版），2008，9（02）：43-47.

[8]波利亞.怎樣解題[M].北京：科學出版社，1982.A0A7CFF6-7C29-4613-BA6E-9A87051CAEC8