陳春叢 石義霞

【摘要】在梯形的面積學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)文化融入，豐富對梯形面積的認識和體驗，不僅促進對梯形面積的問題性理解、應(yīng)用性理解。還能增強對梯形面積的關(guān)系性理解、方法性理解，豐富對梯形的文化體驗。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);梯形的面積;數(shù)學(xué)文化;數(shù)學(xué)理解

平面圖形的面積是小學(xué)數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，其主要內(nèi)容是面積公式的推導(dǎo)過程以及公式的理解并且在現(xiàn)實生活中的運用。對于求陌生的平面圖形面積，可以建立在已知的、熟悉的圖形基礎(chǔ)上，通過轉(zhuǎn)化等思想方法推導(dǎo)出來。在應(yīng)試教育的大背景下，大部分的老師在授課過程中，重技巧輕思想，重結(jié)果輕過程，尤其重視解決強化訓(xùn)練，機械練習(xí)，忽視在應(yīng)用上、思考上、文化上的體驗，以及對數(shù)學(xué)的理解。教學(xué)中融入數(shù)學(xué)文化目的就是要解決數(shù)學(xué)文化為何要融入數(shù)學(xué)教學(xué)教育中的問題，下面將圍繞著在豐富的歷史背景下如何推導(dǎo)出梯形的面積公式以及對面積公式的理解。

一、文化融入教學(xué)，促進對梯形的理解

數(shù)學(xué)理解是培養(yǎng)核心素養(yǎng)的基礎(chǔ)和前提，可以說是數(shù)學(xué)的精髓。要想做到運用數(shù)學(xué)解決問題，就必須認識其本質(zhì)與價值，同時也要掌握規(guī)律。數(shù)學(xué)文化融入可以豐富教學(xué)內(nèi)容，促進數(shù)學(xué)理解。可見，數(shù)學(xué)文化融入數(shù)學(xué)教學(xué)教育顯得十分必要。

學(xué)習(xí)需要理解，就是能對某個知識主題有深入的認識和深刻的思考，沒有理解就沒有真正的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)理解的本質(zhì)是對數(shù)學(xué)概念、規(guī)則或方法的理解且數(shù)學(xué)理解的水平具有層次性，包括對數(shù)學(xué)概念、公式、定理、問題的理解。

（一）聯(lián)想圖形時形成問題性理解

數(shù)學(xué)問題是引領(lǐng)學(xué)生進行數(shù)學(xué)思考的指揮棒，思考問題之間的聯(lián)系，達到解決問題的目的。通過陌生的、不熟悉的圖形可聯(lián)想到熟悉的圖形，求熟悉圖形的面積已有方法，陌生圖形如何化歸成熟悉的圖形求面積，創(chuàng)設(shè)問題情境，促進學(xué)生獲得對梯形面積更深層次問題性理解。例如利用兩個同樣三角形拼成平行四邊形或者長方形。但是歷史上有個叫劉徽的數(shù)學(xué)家將三角形沿高的中點剪下，再將得到的三角形分成兩個小三角形，最后和下面得梯形拼湊成長方形，這種方法也稱為“出入相補”法。

在遇到未知的平面圖形要求面積時，可以通過拼剪方式把未知的平面圖形轉(zhuǎn)化成已知的平面圖形，進而求面積，可以引導(dǎo)學(xué)生對梯形進行拼剪。

（二）深度思考中增進方法性理解

方法作用于思維，思維活動是方法多樣化的核心與動力。數(shù)學(xué)思想、轉(zhuǎn)化、割補等方法手段靈活運用有利于促進對梯形面積方法性理解。由于梯形是平面圖形之一，所以“轉(zhuǎn)化”方法成為探討梯形面積的靈魂。其面積可以通過轉(zhuǎn)換成已知平面圖形的面積，其中劉徽“出入相補”的經(jīng)典原理，在梯形面積中得到進一步的應(yīng)用。

師：同學(xué)們可以講一下自己的看法。

生1：如圖1，要求其面積，只需求平行四邊形與三角形的面積。

生2：如圖2，兩個完全重合的梯形組成一個平行四邊形，那平行四邊形的二分之一就是一個梯形的面積。

生3：如圖3，梯形由兩個一樣的小三角形和一個長方形組成，積梯形的面積=2×一個三角形的面積+長方形的面積。

生4：將梯形通過對折旋轉(zhuǎn)變成長方形如圖4，梯形的面積=長方形的面積。

師：這位同學(xué)的想法不錯，運用的原理和劉徽的“出入相補”原理是一樣的。

師：掌聲鼓勵他們。大家都很棒，都能把梯形轉(zhuǎn)化成熟悉的圖形進一步求得梯形得面積。轉(zhuǎn)化成熟悉的平面圖形，那能找到求梯形面積的公式嗎？

（三）關(guān)聯(lián)圖形中形成關(guān)系性理解

數(shù)學(xué)的關(guān)系性理解是指對事物意義和結(jié)構(gòu)的認識，不僅要認識替代物的本身結(jié)構(gòu)，還要從替代物遷移到關(guān)聯(lián)的事物，從而獲得新事物的概念與新認識。通過各種數(shù)學(xué)方法尋找、確立、形成各種聯(lián)系，建立其種概念、屬概念間的聯(lián)系，形成更精細、更復(fù)雜的只是體系，聯(lián)系越多，理解越豐富，認識越深刻。

梯形的關(guān)系性理解主要體現(xiàn)在它與平行四邊形等平面圖形之間的聯(lián)系，通過圖形間的關(guān)聯(lián)建立梯形面積的立體網(wǎng)絡(luò)體系，總結(jié)梯形面積公式，增強對面積公式的關(guān)系性理解。

梯形與三角形的關(guān)系 如圖5，將梯形中的陰影部分（1）剪下移到位置（2），于是梯形就拼成一個三角形。

梯形與平行四邊形的關(guān)系 如圖6 拼得的梯形面積是平行四邊形的倍，平行四邊形的底為梯形上、下兩底之和。

梯形與長方形的關(guān)系

如圖4，梯形通過對折旋轉(zhuǎn)變成長方形。

（五）追溯歷史中形成文化性理解

歐幾里德《幾何原本》中定義何為梯形和作為幾何發(fā)源地的古埃及因尼羅河泛濫而需重新分配土地，體現(xiàn)出梯形歷史之悠久。通過經(jīng)典的圖形、案例、歷史名題、數(shù)學(xué)家的不懈追求等資源的教學(xué)運用，有利提升情境創(chuàng)設(shè)的策略，提高教學(xué)效果，促進數(shù)學(xué)的文化性理解。數(shù)學(xué)文化滲透入梯形的面積公式，加深對公式的理解。

九章中的方法 早在《九章算術(shù)》就記載著邪田（直角梯形的田）術(shù)日：并兩邪而半之 ，以乘正從若廣，又可半正從若廣，以乘并，畝法而一。

意思是：求直角梯形的面積時，梯形上底加下底的和的再乘以高或者寬就是梯形的面積;或者梯形的高（寬）乘以，再與梯形的上、下底之和的乘積，也可以得到梯形的面積。

師：其實在《九章算術(shù)》中還有另外一種說法?；铮ǖ妊菪蔚奶铮┬g(shù)日：并踵舌而半之，以乘正從，畝法而一。

意思是：要求等腰梯形的面積時，用梯形的上底加下底的和的，與高的乘積就可以得到梯形的面積。

總統(tǒng)方（證）法比較有趣的具有代表性的歷史名題，能多方位理解、趣味應(yīng)用梯形的面積公式。1876年，美國總統(tǒng)伽菲爾德有個理解幾何的方法，用三個直角三角形拼成一個梯形如圖7，問這個圖形的面積等于多少？（若a=6，b=8，c=10）

方法一? 用梯形面積公式

梯形的面積=（a+b）×（b+a）÷2=（6+8）×（8+6）÷2=98

方法二? 三個直角三角形面積之和

梯形的面積=三個直角三角形面積之和=（a×b÷2）×2+c×c÷2=（6×8÷2）×2+10×10÷2=98

經(jīng)典圖形? 如圖8，邊長為a的正方形中，從邊上挖去一個邊長為b的小正方形，然后裁剪出兩個梯形，能求這兩個梯形的面積嗎？能求的話，梯形面積是多少？（若a=4，b=2）注：圖中兩個梯形的面積是相等的

解法一? 利用梯形公式計算

一個梯形的面積=（b+a）×（a-b）÷2=（4+2）×（4-2）÷2=6。兩個梯形的面積=6×2=12

解法二? 利用正方形面積公式計算

兩個梯形的面積=大正方形的面積-小正方形的面積=a×a-b×b=4×4-2×2=12。

師：除了上面那兩種解法，你們還能想到其他方法嗎？其實啊，還有另外一種解法。把兩個梯形拼成一個大的梯形，再根據(jù)我們學(xué)的梯形的面積公式，也可以求了，這個留到課后去你們?nèi)ソ獯稹?/p>

師：你們可以獨立完成這一道題目嗎？如圖9，邊長為a的正方形中，從中間挖去一個邊長為b的小正方形，然后裁剪出四個梯形，能求這四個梯形的面積嗎？能求的話，梯形面積是多少？（若a=4，b=2）注：四個梯形的面積是相等的。

這個課后思考。

二、結(jié)語

梯形的面積看似平面圖形面積的一個小章節(jié)，但是卻蘊含的豐富的歷史文化，以及具有承上啟下的作用。上承三角形、平行四邊形等平面圖形的面積，下啟一些公式與定理的證明。同時這也表明一個數(shù)學(xué)的知識點不是獨立存在的，而是有著千絲萬縷的;而數(shù)學(xué)理解就是能把個個知識點聯(lián)系起來，研究梯形的面積的公式，不僅要通過已有的研究手段去推導(dǎo)面積公式，還要理解其關(guān)系。文化的融入使得梯形的面積不僅僅局限在圖形與幾何那部分，對研究數(shù)與代數(shù)也起著重要的作用。不僅學(xué)到古人解決問題的方法，而且還可以了解到更多數(shù)學(xué)知識的發(fā)展、由來，更加理解數(shù)學(xué)、了解數(shù)學(xué)。

【本文系廣東教育學(xué)會十四五教育科研課題 “小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)滲透數(shù)學(xué)文化教育的研究”（編號：GDES14056）的研究成果】

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