張優(yōu)幼

【摘? ?要】自然數(shù)概念是小學“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的重要分支。從大單元視角組織教學，關(guān)注教學的共性，區(qū)分不同階段的教學屬性，基于學生的認知特點開展教學活動，有助于學生感悟自然數(shù)的豐富內(nèi)涵。通過比較自然數(shù)概念的本質(zhì)屬性，學生能夠更好地建構(gòu)抽象的數(shù)概念，促進數(shù)感培養(yǎng)。

【關(guān)鍵詞】大單元;自然數(shù);計數(shù)單位;概念教學

自然數(shù)概念的教學可以分為四個階段：“20以內(nèi)數(shù)的認識、100以內(nèi)數(shù)的認識、萬以內(nèi)數(shù)的認識、大數(shù)的認識”。這四個階段的自然數(shù)概念教學既有聯(lián)系又有區(qū)別。教師在教學時應(yīng)基于大單元視角，關(guān)注自然數(shù)概念的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學生在數(shù)數(shù)的過程中感悟計數(shù)單位的疊加，讓學生在寫數(shù)、讀數(shù)和多元表征過程中感悟數(shù)的含義。如何在不同階段實現(xiàn)數(shù)概念本質(zhì)的同化和順應(yīng)？怎樣選取合適的結(jié)構(gòu)化學具，設(shè)計具有層次的教學活動？筆者試圖從大單元視角出發(fā)，以點及面，把一節(jié)課的教學思考推廣到一類系列課中，將理性的思考與教學實踐結(jié)合起來，引發(fā)對階段性學法遷移的深度研究。

一、關(guān)注數(shù)概念的本質(zhì)屬性，解讀教學的共性

教師只有很好地把握自然數(shù)概念的本質(zhì)屬性，才能更好地解讀這一類系列課的教學共性。自然數(shù)概念的本質(zhì)可以從以下幾個方面來解讀。

（一）計數(shù)單位的疊加

自然數(shù)是由若干個計數(shù)單位疊加得到的。自然數(shù)的計數(shù)單位有“一（個）、十、百、千……”。數(shù)（shù）來源于數(shù)（shǔ），自然數(shù)概念課的起點是數(shù)數(shù)。數(shù)數(shù)是基于計數(shù)單位的基礎(chǔ)上進行的。學生首先從小到大或從大到小“一個一個”地數(shù)（非進位制），接著過渡到“一組一組”地數(shù)（進位制）。這個“一組”，就是進位，就是計數(shù)單位，“一組一組”地數(shù)就是計數(shù)單位的疊加過程。整十、整百從小到大數(shù)，則是疊加計數(shù)單位“十”和“百”。往后延伸，小數(shù)和分數(shù)也可以理解為由小數(shù)計數(shù)單位和分數(shù)計數(shù)單位疊加產(chǎn)生。只是它們的計數(shù)單位是“均分”得到的，但在計數(shù)單位疊加的方法上與自然數(shù)具有一致性。

（二）位值制的統(tǒng)一

十進制源于生活中數(shù)數(shù)的經(jīng)驗，人們往往將十個物品作為一個整體。以此類推，產(chǎn)生了將一百、一千等作為一個整體的按群計數(shù)法。教師可以借助十進制計數(shù)法描述數(shù)是怎樣由計數(shù)單位組成的。位值制對于學生而言則比較陌生，它是數(shù)學結(jié)構(gòu)化的表現(xiàn)形式，賦予不同位置不同的含義，即相同的數(shù)字填寫在不同的位置上表示不同的含義。例如3202，百位的2表示2個百，個位的2表示2個一。位值制使計數(shù)單位疊加的過程可視化。某一位置上沒有相應(yīng)的計數(shù)單位，需要用0來占位。各個階段的自然數(shù)教學都以十進制和位值制作為基石。學生把握自然數(shù)系列課中十進制和位值制這條隱形的主線，就能循序漸進地認識更大的數(shù)。

（三）數(shù)感的培養(yǎng)

雖然自然數(shù)概念教學分布在各個學段，但數(shù)感培養(yǎng)的目標是相同的。因此，即使在不同的自然數(shù)教學課堂中，也應(yīng)該讓學生通過齊性學具（具有直觀性、齊性、結(jié)構(gòu)性的學具）充分感悟數(shù)與數(shù)量的關(guān)系，重視估計意識的培養(yǎng)，使學生形成主動理解數(shù)和不自覺利用數(shù)知識的能力。然而，由于學生認知特點具有階段性，不同階段數(shù)感培養(yǎng)的側(cè)重點有些不同。例如：20以內(nèi)數(shù)的教學過程更注重引導(dǎo)學生感悟數(shù)有基數(shù)、序數(shù)兩層含義;100以內(nèi)數(shù)的認識、萬以內(nèi)數(shù)的認識的教學過程側(cè)重于讓學生感受位值制思想;大數(shù)的認識的教學過程側(cè)重于讓學生感受數(shù)級和無限思想。

二、區(qū)分不同階段的教學屬性，體現(xiàn)教學的一致性

雖然自然數(shù)概念的本質(zhì)具有共性，但不同階段的自然數(shù)教學是有不同側(cè)重點的。教師應(yīng)基于大單元視角，立足自然數(shù)概念的整體性、結(jié)構(gòu)性和一致性，在不同的階段選擇合適的素材，發(fā)揮齊性教具的作用，運用合適的教學方式讓教學更具有層次性和學段性。

（一）學習素材的選擇策略

學習素材是開展數(shù)學學習活動、感悟數(shù)學概念本質(zhì)的基礎(chǔ)。在素材的選擇上，教師要遵循學生的認知規(guī)律。第一階段可以從生活素材出發(fā)，重視自然數(shù)的基數(shù)與序數(shù)兩層含義。例如：在“11～20以內(nèi)數(shù)的認識”教學中，教師可以設(shè)計數(shù)一堆無序的小棒的活動來讓學生理解11這個數(shù)的組成，再在數(shù)尺上找到這個數(shù)，感悟基數(shù)和序數(shù)這雙層含義（如圖1）。第二、三階段可以從生活素材走向數(shù)學結(jié)構(gòu)化素材，凸顯位值制思想。第四階段可以將學生的經(jīng)驗作為媒介，開展類比、遷移的開放式學習促進數(shù)感的培養(yǎng)。例如：在“大數(shù)的認識”的教學中，教師呈現(xiàn)小、中、大三個杯子的素材，讓學生估測哪個杯子大約可以裝一萬粒米，再用一萬粒米作為度量單位認識更大的數(shù)。

（二）齊性學具的不同價值

在數(shù)的認識中，常用的齊性學具可以分為三類：（1）直觀操作型學具。例如：生活物件、圓片、第納斯方塊、小棒。這類學具有助于培養(yǎng)學生的量感，形成對于數(shù)的直觀認知。其中小棒的使用有助于學生感悟計數(shù)單位，促進十進制概念的建構(gòu)。（2）半直觀結(jié)構(gòu)型學具。例如：點子圖。它的結(jié)構(gòu)化更明顯，學生可以通過數(shù)量多少帶來的視覺刺激感受數(shù)的大小。學生可以點數(shù)、圈數(shù)，留下操作痕跡，讓數(shù)數(shù)過程可視化，便于過程性反饋。（3）抽象理解型學具。例如：計數(shù)器、數(shù)位筒、算盤、數(shù)位圖。計數(shù)器有助于抽象化數(shù)數(shù)活動的開展，便于學生理解位值制。教師要結(jié)合教學需要與學生認知，選擇合適的齊性學具，助力教學目標的達成。

（三）學習方式的序列遞進

各個階段自然數(shù)概念教學是有共性的，將新知識與舊知識進行溝通，能幫助學生更好地建構(gòu)認知體系?；诖髥卧暯?，教師應(yīng)當充分利用自然數(shù)概念教學的特點，設(shè)計符合學生認知特點、序列遞進的學習活動。如在低段課堂中充分發(fā)揮齊性學具的作用，調(diào)動學生的感官進行學習，引導(dǎo)學生擺、數(shù)、圈，在操作中反思，在反思中積累活動經(jīng)驗;在高段課堂中不斷喚醒舊知，引導(dǎo)學生主動參與到知識的構(gòu)建中。教師應(yīng)指導(dǎo)學生運用多元表征方式理解數(shù)的內(nèi)涵，通過圖式表征抽象到符號表征，完善數(shù)概念的建構(gòu)。

三、基于認知特征的教學設(shè)計，關(guān)注數(shù)概念的形成過程

教師基于大單元教學框架進行教學設(shè)計，力求引導(dǎo)學生感悟自然數(shù)概念的本質(zhì)。不同階段的自然數(shù)概念教學的重點不同，呈現(xiàn)的學材各具特點。其中“10000以內(nèi)數(shù)的認識”一課包含了自然數(shù)認識的所有要素，在數(shù)位、數(shù)級的建構(gòu)過程中有重要的承接作用。教學時需要進一步深化十進制和位值制思想，為“億以內(nèi)數(shù)的認識”的教學夯實基礎(chǔ)。

（一）內(nèi)容整合依序遞進，關(guān)注數(shù)概念的形成

數(shù)量多少是直觀的，數(shù)概念是抽象的。筆者教學人教版教材二年級下冊“10000以內(nèi)數(shù)的認識”時，呈現(xiàn)了2577顆星星的主題圖，借助量感培養(yǎng)學生的數(shù)感。請學生先估數(shù)，無論估得對不對，學生都產(chǎn)生了數(shù)數(shù)的需要。學生在圈一圈、數(shù)一數(shù)的過程中，感悟數(shù)是由計數(shù)單位疊加得到的。學生數(shù)數(shù)策略不同（如圖2），是因為計數(shù)單位的選擇不同。怎樣數(shù)得又對又快？教師可引導(dǎo)學生優(yōu)化數(shù)數(shù)策略。

【教學片段1】

師：星星圖上的2577，如果用小正方體圖怎么表示？在計數(shù)器上怎么撥？

（學生在小正方體千、百、十、個的模型上圈2577，在計數(shù)器的相應(yīng)數(shù)位上畫珠子）

師小結(jié)：千位有2顆珠子，在千位寫2;百位有5顆珠子，在百位寫5;十位有7顆珠子，在十位寫7;個位有7顆珠子，在個位寫7。一起讀一讀這個數(shù)。

生：二千五百七十七。

師：為什么星星圖、小正方體、計數(shù)器這三幅圖都可以表示2577呢？

生：因為都由2個千、5個百、7個十和7個一組成。

片段中，教師借助星星圖幫助學生初步建構(gòu)萬以內(nèi)數(shù)的組成，并對比星星圖、第納斯方塊和計數(shù)器幫助學生理解2577這個數(shù)的組成。教師從圖式表征逐步抽象到符號表征，豐富數(shù)的內(nèi)涵，將讀寫法與數(shù)的組成進行整合，幫助學生形成數(shù)的概念。

（二）按計數(shù)單位數(shù)數(shù)，體會數(shù)概念的本質(zhì)

位值制思想對于二年級學生來說比較抽象，課堂上要關(guān)注學生的認知障礙。本節(jié)課中，筆者發(fā)揮齊性學具的作用，把抽象知識形象化。學生通過計數(shù)單位的疊加創(chuàng)造出新的數(shù)，感悟十進制和位值制思想，體會自然數(shù)概念的本質(zhì)。

【教學片段2】

師：剛才同學們都撥出了2577。請你在計數(shù)器上選一個數(shù)位再撥3顆珠子。撥好后，寫出這個數(shù)，讀給同桌聽，向同桌說出它的組成。

生：我把3顆珠子撥在個位，個位滿十，向十位進一。讀作：二千五百八十。2580是由2個千、5個百和8個十組成的。

師（用計數(shù)器呈現(xiàn)2607）：你知道這位同學又是怎么撥的嗎？

生：他把3顆珠子撥在了十位上。十位滿十，向百位進一。讀作：二千六百零七，2607是由2個千、6個百和7個一組成的。

師：不同數(shù)位撥珠得到了不同的兩個數(shù)。2607和2580都有0，讀法上有什么不同嗎？

生：萬以內(nèi)數(shù)的讀數(shù)、寫數(shù)與千以內(nèi)的數(shù)一樣，中間的0要讀，末尾的0不讀。

生：還可以在2577的百位上撥3顆珠子變成2877，在千位上撥3顆珠子變成5577。

師：5577這個數(shù)有什么特別？

生：百位的5表示5個百，千位的5表示5個千。兩個7分別是7個十和7個一。

師：同樣的數(shù)在不同的數(shù)位上表示的意義是不同的。通過剛才的選數(shù)位撥珠，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：哪一位上滿十就要向前一位進一。

撥珠子的活動，是為了讓學生用不同的計數(shù)單位進行數(shù)數(shù)（如圖3）。3顆珠子撥在個位，是計數(shù)單位“一”疊加;撥在十位，是計數(shù)單位“十”疊加……學生體會到數(shù)是由計數(shù)單位疊加得到的，相同數(shù)量的珠子在不同數(shù)位上表示的含義是不同的，進一步體會位值制和十進制。在操作過程中，比較聯(lián)系數(shù)的讀寫法和組成，讓學習活動更具層次性和整體性。

（三）逆向開放練習，培養(yǎng)數(shù)感

數(shù)概念教學需要培養(yǎng)學生的數(shù)感。數(shù)感的培養(yǎng)可以通過感悟數(shù)與量的關(guān)系，也可以通過感悟數(shù)與數(shù)之間的關(guān)系。例如：“10000以內(nèi)數(shù)的認識”新課內(nèi)容結(jié)束后，筆者引導(dǎo)學生逆向思考。筆者呈現(xiàn)一條只標著0和10000的數(shù)軸，讓學生估一估、數(shù)一數(shù)得到的兩個數(shù)“5577和2577”的位置。學生在探究中會想到將線段平均分成10份，先找到1000的位置，再進一步借助計數(shù)單位“千”來度量。筆者通過估數(shù)和驗證的過程逆向倒推，從而培養(yǎng)學生的數(shù)感。

數(shù)概念的練習設(shè)計指向能力的提升，旨在讓學生靈活運用自然數(shù)的知識。筆者呈現(xiàn)峨眉山、廬山、珠穆朗瑪峰和臺州白云山的高度數(shù)據(jù)，讓學生用畫圖的方式大致表示出四座山的高度。學生有的選擇在數(shù)軸上表示數(shù)，也有的讓山峰直立呈現(xiàn)，用自己定的線段長度代表1000米，再創(chuàng)造性地表示各山峰的高度（如圖4）。這個練習的設(shè)計再次逆向運用了數(shù)的組成，即將萬以內(nèi)的數(shù)按計數(shù)單位進行拆分。教師借助學生身邊熟悉的白云山高度，以156米這個千以內(nèi)的數(shù)，讓學生進一步感悟比千大的萬以內(nèi)數(shù)。

總之，基于大單元視角，思考自然數(shù)概念教學的相同和不同之處，分析不同階段數(shù)概念的本質(zhì)和學生認知特征之間的關(guān)系，有利于促進數(shù)概念的意義建構(gòu)，發(fā)展學生的數(shù)感。教學中，教師依據(jù)數(shù)學知識的邏輯關(guān)系，結(jié)合學生認知上的難點、興奮點、差異點，合理選擇學材，凸顯學材的典型性、適切性和新穎性;充分發(fā)揮齊性學具的價值，在多元表征中讓學生感悟數(shù)的內(nèi)涵，理解數(shù)的意義，體會數(shù)的關(guān)系，構(gòu)建數(shù)的概念。而對于自然數(shù)概念的意義建構(gòu)，需要貫穿在自然數(shù)教學的不同階段。教師要引導(dǎo)學生以類聚合，以序遞進，以網(wǎng)鏈接，在直觀感悟和經(jīng)驗的積累中，逐步理解，遷移應(yīng)用。

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（浙江省臺州市椒江區(qū)教育教學發(fā)展中心? ?318000）